Transcript Obraz kružnice v perspektívnej afinite
Slide 1
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Margita Vajsáblová
25
Slide 2
Obraz kružnice v perspektívnej afinite
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
26
Veta 1: Obrazom kružnice v perspektívnej afinite roviny na rovinu ´, a tiež
v perspektívnej afinite roviny na seba, je elipsa (príp. kružnica).
k – kružnica v rovine ,
k = [S, r]
s
k
S
´
o
k0
S0
S´
k´
a) Perspektívna afinita ´ s osou o a smerom s zobrazí k k´, kde k´ je rovnobežný
priemet kružnice k. Premietacím útvarom je kružnicová valcová plocha, teda k´ je elipsa, príp.
kružnica.
b) Nech v otočení roviny do ´ okolo osi o je k0 otočená poloha kružnice k.
Potom rovnobežným priemetom perspektívnej afinity ´ v smere SS0 je perspektívna
afinita roviny ´ na seba, ktorá zobrazí k0 k´, jej smer je S0S´.
Slide 3
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
27
Afinné vlastnosti elipsy
Obrazom dotyčnice krivky v perspektívnej afinite je dotyčnica obrazu
danej krivky.
Definícia 1: Združené priemery elipsy nazývame také dva priemery elipsy, pre ktoré
platí, že dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru sú rovnobežné
s priemerom k nemu združeným.
Veta 3:
Nech perspektívna afinita (príp. ’) zobrazí kružnicu k do
elipsy k’. Potom obrazom ľubovoľných dvoch kolmých priemerov
kružnice k sú združené priemery elipsy k’.
Veta 2:
M
K
S
tK
tM
S
•
k
s
o
L
N
t
K
t
M
MN
KL
tL
t
K
t
N
S´
tN
k´
Poznámka: Dotyčnice v krajných bodoch
priemeru kružnice sú kolmé na tento priemer,
teda v perspektívne afinnom obraze sú
rovnobežné s obrazom kolmého priemeru
kružnice.
Slide 4
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Špeciálne perspektívne afinity medzi kružnicou a elipsou
Majme elipsu k danú vrcholmi AB, CD:
C´
k´
1) Perspektívna afinita roviny :
• os afinity o = AB A A´, B B´, S S´,
• k k´, k´ je hlavná vrcholová kružnica
k´ = [S, r = a],
• C C´, smer s = CC´ o,
• charakteristika
k
a
s C
k
b
o
A A´ a
S S´
B B´
.
b
2) Perspektívna afinita roviny :
• os afinity o = CD C C´, D D´, S S´,
• k k´, k´ je vedľajšia vrcholová kružnica
k´ = [S, r = b],
• A A´, smer s = AA´ o,
• charakteristika k
b
a
.
o
C C´
k
s
A
A´
k´
b
S S´ a
D D´
B
28
Slide 5
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Špeciálne perspektívne afinity medzi kružnicou a elipsou
M´
k´
Majme elipsu k danú združenými priemermi KL, MN:
s
M
k
3) Perspektívna afinita roviny :
• os afinity o = KL K K´, L L´, S S´,
• k k´, k´ je kružnica k´ = [S, r = |SK|],
• M M´, SM´KL, smer afinity je s = MM ´.
•
K K´
o
S S´
L L´
N
M
k
S
K
4) Perspektívna afinita roviny :
• os afinity o = tN N N ´,
• KL o k k´, k´ je kružnica s
polomerom r = |SK|,
• MN M´N´, M´N´ o, |S´N´|= r,
• S S´, smer afinity je s = SS´.
L
r
N N ´
o tN
•
r
S´
s
k´
29
Slide 6
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Zástavková (trojuholníková) konštrukcia elipsy
Majme elipsu k danú vrcholmi AB, CD, zostrojte ľubovoľný bod N, ktorý na nej leží:
1) Perspektívna afinita roviny :
• os afinity 1o = AB k 1k, 1k = [S, r = a],
• C 1C, smer 1s 1o.
2) Perspektívna afinita roviny :
• os afinity 2o = CD k 2k, 2k = [S, r = b],
• A 2A, smer 2s 2o,
3) Zvolíme priamku 1p 2p : S 1p 2p,
1p 1k = 1N, 2p 2k = 2N.
y o
1l
1p
2
1C
1N
1k
k
2s
A
2p
2A
2k
1s
C
S
2l
N
2N
B
1
o x
4) Zostrojíme priamky 1l : 1N 1l , 1l 1s,
: 2N 2l , 2l 2s.
5) Bod N: 1l 2l = N , N je bod elipsy.
2l
Dôkaz:
1o x, 2o y, S[0, 0];
1N 1k: x = a cos ,
y = a sin ,
2N 2k: x = b cos ,
y = b sin ,
N [x1N, y2N],
teda N [a cos , b sin ]
N k: x = a cos ,
y = b sin , čo je parametrické vyjadrenie elipsy.
30
Slide 7
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Rozdielová (prúžková) konštrukcia elipsy
• Zostrojme priamku q: N q, q p.
• Nech q 1o = K a q 2o = L.
2
o
1k
Aké sú dĺžky úsečiek NK
a NL ?
1N
C
k
2k
S a
L
Teda dĺžka úsečky KL je rozdielom hlavnej a
vedľajšej polosi: KL = a - b,
Postup rozdielovej konštrukcie
1) Zostrojíme kružnicu m = [N, r = a].
2
2) m 2o = L.
3) NL 1o = K.
4) NK = b.
A
q
b
K
A
Majme elipsu k danú vrcholmi AB a ľubovoľným bodom N,
ktorý na nej leží. Určte dĺžku vedľajšej polosi b elipsy.
p
N
2N
Z rovnobežníka SKN 2N vyplýva, e NK = b,
z rovnobežníka SLN 1N vyplýva, že NL = a.
B
a-b
1
o
C
k
b
N
a
S
m
b
K
L
B
1
o
o
31
Slide 8
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Rytzova konštrukcia
2
o
m
- Pomocou zástavkovej konštrukcie zostrojíme
1K
združené priemery KL, MN elipsy.
b
- K 1K 2K doplníme na obdĺžnik K 1K 2K N ´.
- 1K 2K N ´ 1N 2N N a sú otočené o 90° okolo S.
- Body 1, 2 sú priesečníky osí a Thalesovej 1 A
kružnice m, ktorej stred je O =stred KN ´.
- Z lichobežníka 1K 2KS vyplýva, že 1K = b,
tiež platí, že 2K = 1KS = a.
2
a
1N
N’
N
2N
O
•
2K
K
32
S
1
L
B
o
M
Postup Rytzovej konštrukcie
2
Majme elipsu k danú združenými priemermi KL, MN.
Zostrojte osi elipsy.
m
1) Otočíme N o 90° do N´.
a N’
2) O: stred KN ´.
3) Zostrojíme kružnicu m = [O, r = OS ].
4) m KN´ = {1, 2}.
5) 1S = 1o, 2S = 2o, hlavná os je v ostrom uhle
priemerov KL, MN.
6) 1K = b, 2K = a.
O
b
o
2
C
b
K
1
N
a
1
S
A
B
L
M
D
o
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Margita Vajsáblová
25
Slide 2
Obraz kružnice v perspektívnej afinite
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
26
Veta 1: Obrazom kružnice v perspektívnej afinite roviny na rovinu ´, a tiež
v perspektívnej afinite roviny na seba, je elipsa (príp. kružnica).
k – kružnica v rovine ,
k = [S, r]
s
k
S
´
o
k0
S0
S´
k´
a) Perspektívna afinita ´ s osou o a smerom s zobrazí k k´, kde k´ je rovnobežný
priemet kružnice k. Premietacím útvarom je kružnicová valcová plocha, teda k´ je elipsa, príp.
kružnica.
b) Nech v otočení roviny do ´ okolo osi o je k0 otočená poloha kružnice k.
Potom rovnobežným priemetom perspektívnej afinity ´ v smere SS0 je perspektívna
afinita roviny ´ na seba, ktorá zobrazí k0 k´, jej smer je S0S´.
Slide 3
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
27
Afinné vlastnosti elipsy
Obrazom dotyčnice krivky v perspektívnej afinite je dotyčnica obrazu
danej krivky.
Definícia 1: Združené priemery elipsy nazývame také dva priemery elipsy, pre ktoré
platí, že dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru sú rovnobežné
s priemerom k nemu združeným.
Veta 3:
Nech perspektívna afinita (príp. ’) zobrazí kružnicu k do
elipsy k’. Potom obrazom ľubovoľných dvoch kolmých priemerov
kružnice k sú združené priemery elipsy k’.
Veta 2:
M
K
S
tK
tM
S
•
k
s
o
L
N
t
K
t
M
MN
KL
tL
t
K
t
N
S´
tN
k´
Poznámka: Dotyčnice v krajných bodoch
priemeru kružnice sú kolmé na tento priemer,
teda v perspektívne afinnom obraze sú
rovnobežné s obrazom kolmého priemeru
kružnice.
Slide 4
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Špeciálne perspektívne afinity medzi kružnicou a elipsou
Majme elipsu k danú vrcholmi AB, CD:
C´
k´
1) Perspektívna afinita roviny :
• os afinity o = AB A A´, B B´, S S´,
• k k´, k´ je hlavná vrcholová kružnica
k´ = [S, r = a],
• C C´, smer s = CC´ o,
• charakteristika
k
a
s C
k
b
o
A A´ a
S S´
B B´
.
b
2) Perspektívna afinita roviny :
• os afinity o = CD C C´, D D´, S S´,
• k k´, k´ je vedľajšia vrcholová kružnica
k´ = [S, r = b],
• A A´, smer s = AA´ o,
• charakteristika k
b
a
.
o
C C´
k
s
A
A´
k´
b
S S´ a
D D´
B
28
Slide 5
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Špeciálne perspektívne afinity medzi kružnicou a elipsou
M´
k´
Majme elipsu k danú združenými priemermi KL, MN:
s
M
k
3) Perspektívna afinita roviny :
• os afinity o = KL K K´, L L´, S S´,
• k k´, k´ je kružnica k´ = [S, r = |SK|],
• M M´, SM´KL, smer afinity je s = MM ´.
•
K K´
o
S S´
L L´
N
M
k
S
K
4) Perspektívna afinita roviny :
• os afinity o = tN N N ´,
• KL o k k´, k´ je kružnica s
polomerom r = |SK|,
• MN M´N´, M´N´ o, |S´N´|= r,
• S S´, smer afinity je s = SS´.
L
r
N N ´
o tN
•
r
S´
s
k´
29
Slide 6
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Zástavková (trojuholníková) konštrukcia elipsy
Majme elipsu k danú vrcholmi AB, CD, zostrojte ľubovoľný bod N, ktorý na nej leží:
1) Perspektívna afinita roviny :
• os afinity 1o = AB k 1k, 1k = [S, r = a],
• C 1C, smer 1s 1o.
2) Perspektívna afinita roviny :
• os afinity 2o = CD k 2k, 2k = [S, r = b],
• A 2A, smer 2s 2o,
3) Zvolíme priamku 1p 2p : S 1p 2p,
1p 1k = 1N, 2p 2k = 2N.
y o
1l
1p
2
1C
1N
1k
k
2s
A
2p
2A
2k
1s
C
S
2l
N
2N
B
1
o x
4) Zostrojíme priamky 1l : 1N 1l , 1l 1s,
: 2N 2l , 2l 2s.
5) Bod N: 1l 2l = N , N je bod elipsy.
2l
Dôkaz:
1o x, 2o y, S[0, 0];
1N 1k: x = a cos ,
y = a sin ,
2N 2k: x = b cos ,
y = b sin ,
N [x1N, y2N],
teda N [a cos , b sin ]
N k: x = a cos ,
y = b sin , čo je parametrické vyjadrenie elipsy.
30
Slide 7
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Rozdielová (prúžková) konštrukcia elipsy
• Zostrojme priamku q: N q, q p.
• Nech q 1o = K a q 2o = L.
2
o
1k
Aké sú dĺžky úsečiek NK
a NL ?
1N
C
k
2k
S a
L
Teda dĺžka úsečky KL je rozdielom hlavnej a
vedľajšej polosi: KL = a - b,
Postup rozdielovej konštrukcie
1) Zostrojíme kružnicu m = [N, r = a].
2
2) m 2o = L.
3) NL 1o = K.
4) NK = b.
A
q
b
K
A
Majme elipsu k danú vrcholmi AB a ľubovoľným bodom N,
ktorý na nej leží. Určte dĺžku vedľajšej polosi b elipsy.
p
N
2N
Z rovnobežníka SKN 2N vyplýva, e NK = b,
z rovnobežníka SLN 1N vyplýva, že NL = a.
B
a-b
1
o
C
k
b
N
a
S
m
b
K
L
B
1
o
o
31
Slide 8
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Rytzova konštrukcia
2
o
m
- Pomocou zástavkovej konštrukcie zostrojíme
1K
združené priemery KL, MN elipsy.
b
- K 1K 2K doplníme na obdĺžnik K 1K 2K N ´.
- 1K 2K N ´ 1N 2N N a sú otočené o 90° okolo S.
- Body 1, 2 sú priesečníky osí a Thalesovej 1 A
kružnice m, ktorej stred je O =stred KN ´.
- Z lichobežníka 1K 2KS vyplýva, že 1K = b,
tiež platí, že 2K = 1KS = a.
2
a
1N
N’
N
2N
O
•
2K
K
32
S
1
L
B
o
M
Postup Rytzovej konštrukcie
2
Majme elipsu k danú združenými priemermi KL, MN.
Zostrojte osi elipsy.
m
1) Otočíme N o 90° do N´.
a N’
2) O: stred KN ´.
3) Zostrojíme kružnicu m = [O, r = OS ].
4) m KN´ = {1, 2}.
5) 1S = 1o, 2S = 2o, hlavná os je v ostrom uhle
priemerov KL, MN.
6) 1K = b, 2K = a.
O
b
o
2
C
b
K
1
N
a
1
S
A
B
L
M
D
o