Slide 1

Pytagorova veta
Autor: Matúš Halaj


Slide 2

Pytagorova veta
Autor: Matúš Halaj


Slide 3

Pytagorova veta
Čo je Pytagorova veta
Obdobie pred Pytagorom
Pytagoras
Dôkazy
Využitie

Ukončiť prezentáciu


Slide 4

Čo je Pytagorova veta
• Obsah štvorca
zostrojeného nad preponou
pravouhlého trojuholníka je
rovný súčtu obsahov
štvorcov zostrojených nad
jeho odvesnami.
• Pytagorova veta platí aj
obrátene
• Štvorce sa dajú nahradiť
inými plošnými útvarmi

c2=a2+b2

b

c
a

Späť na obsah


Slide 5

Obdobie pred Pytagorom
• Pytagorova veta bola používaná oveľa
skôr, ako sa Pytagoras narodil.
• Číňania poznali dôkaz Pytagorovej vety
pre trojuholník s dĺžkami strán 3, 4 a 5

Späť na obsah


Slide 6

Obdobie pred Pytagorom
• Pytagorova veta bola používaná oveľa
skôr, ako sa Pytagoras narodil.
• Egypťania zostrojovali pravý uhol
pomocou špagátu s 13 uzlami, z ktorého
vytvorili pravouhlý trojuholník.

Späť na obsah


Slide 7

Pytagoras
• starogrécky filozof,
nábožensko-morálny
reformátor, matematik,
astronóm, akustik
• žil v 6. stor. pred Kristom
• pochádzal z ostrova Samos
• založil spolok Pytagorejcov
Späť na obsah


Slide 8

Pytagoras
To, že niečo funguje v konkrétnom prípade,
neznamená, že to funguje vo všeobecnosti
32+42=52  a2+b2=c2 – hypotéza
Pytagoras podložil túto hypotézu dôkazmi

Späť na obsah


Slide 9

Dôkazy Pytagorovej vety
V súčasnosti existuje približne 300 dôkazov

Späť na obsah


Slide 10

1. dôkaz
a

a

b

b
a

c

a

c

a

b
b
b

c

a

a
b

b

c

c
c

b

a

b

S=4(1/2ab)+a2+b2=2ab+a2+b2

a

b

a

S=4(1/2ab)+c2= 2ab+c2
=

a2+b2=c2
Späť na obsah


Slide 11

2. dôkaz
a2=c*ca
b2=c*cb
a2+b2=c*ca+c*cb=c*(ca+cb)=c*c=c2
C
β α
b
v
α
A

a
ca β

cb
c

P

B

Späť na obsah


Slide 12

3. dôkaz
b

S= 2(1/2ab)+1/2c2= ab+1/2c2
a

b

c

c
a

=
1/2a2+1/2b2=1/2c2
a2+b2=c2

S=1/2(a+b)(b+a)=1/2(a2+2ab+b2)=1/2a2+ab+1/2b2

Späť na obsah


Slide 13

4. dôkaz
D

a*b

A

b*b

c*b

a*a

C

c*a
b*c

c*c

a*c

b*a

B

Späť na obsah


Slide 14

Dôkaz obrátenej Pytagorovej vety
Majme trojuholník so stranami a, b, c, pre ktoré
platí a2+b2=c2. Zostrojme ďalší trojuholník
so stranami dĺžok a, b, ktoré zvierajú pravý uhol.
Potom podľa Pytagorovej vety je prepona tohto
trojuholníka dlhá c=√a2+b2, teda je rovnako dlhá
ako tretia strana pôvodného trojuholníka. Čiže tieto
trojuholníky majú rovnaké dĺžky všetkých troch
strán, a teda sú zhodné. Vďaka tomu majú aj
rovnako veľké uhly, a teda aj pôvodný trojuholník
musí mať pravý uhol.
Späť na obsah


Slide 15

Využitie Pytagorovej vety
• Dĺžka uhlopriečky

Späť na obsah


Slide 16

Využitie Pytagorovej vety
• Konštrukcia úsečky s dĺžkou √n

Späť na obsah


Slide 17

Využitie Pytagorovej vety
• Vzdialenosť dvoch bodov v súradnicovej
sústave
• dĺžka vektora
y

B

yB

xA

A

0

xB

x

yA

Späť na obsah


Slide 18

Využitie Pytagorovej vety
• Vzťah medzi funkciami sínus a kosínus
(sin α)2+(cos α)2=1
(sin α)2+(cos α)2=a2/c2+b2/c2=(a2+b2)/c2=c2/c2=1
B
β

c

a

α
C

b

A

Späť na obsah


Slide 19

Ďakujem za pozornosť