Transcript Funkcie

Prírodovedecká fakulta Univerzity Pavla Jozefa Šafárika
v Košiciach
Andrea Marušková
5 MI
1999 / 2000
Obsah
 Pojem funkcia
 Racionálne funkcie :
 Lineárna funkcia
 Kvadratická funkcia
 Nepriama úmernosť
 Lineárna lomená funkcia
 Logaritmická funkcia
 Exponenciálna funkcia
 Mocninové funkcie
 Goniometrické funkcie
Funkcia
• je každé zobrazenie v množine R.
Zápis : f = {[x,y]RR; y = f(x)
( ku  xR  najviac jedno yR; x,y patrí f )
• je zobrazenie množiny M do množiny R, M je ľubovoľná
množina f = {[x,y]MR; y = f(x)
( ku  xM  najviac jedno yR; x,y patrí f )
M = D(f) - je definičný obor funkcie
Definičný obor funkcie - D(f) = {xR; [x,y]f 
Obor hodnôt funkcie - H(f) = {yR; [x,y]f 
Funkčná hodnota v bode x je y = f(x)
Racionálne funkcie
• je každá funkcia daná rovnicou
am x m  am 1 x m 1  ...  a1 x  a0
y
bn x n  bn 1 x n 1  ...  b1 x  b0
m, n  N , am ,..., a0 , bn ,..., b0  R
•
•
•
•
Lineárna funkcia
Kvadratická funkcia
Nepriama úmernosť
Lineárna lomená funkcia
Lineárna funkcia
• sa nazýva každá funkcia na množine R daná rovnicou
y  ax  b;
•
a, b  R, a  0
grafom lin. funkcie v karteziánskej súradnicovej sústave je vždy priamka
rôznobežná s osou y
y
a>0
a<0
x
Racionálne funkcie
Cvičenia
Kvadratická funkcia
• sa nazýva každá funkcia na množine R daná rovnicou
y  ax 2  bx  c; a,b,c  R, a  0
• grafom kvadratickej funkcie je parabola
y
a>0
x
Racionálne funkcie
Cvičenia
a<0
Nepriama úmernosť
• sa nazýva funkcia definovaná na množine R-{0} daná
k
y  ; k  R, k  0
rovnicou
x
• grafom nepriamej úmernosti je hyperbola
y
k<0
k>0
x
Racionálne funkcie
Cvičenia
Lineárna lomená funkcia
 d 
• sa nazýva každá funkcia definovaná na R    daná
 c 
rovnicou
y
ax  b
; a, b, c  R, c  0, bc  ad  0
cx  d
• rovnicu lineárnej lomenej funkcie možno vždy upraviť na
k
tvar y  y  x  x kde O´[x0,y0] je začiatok posunutej
súradnicovej sústavy. Lineárnu lomenú funkciu možno
vyjadriť ako posunutú nepriamu úmernosť
0
0
• grafom je posunutá hyperbola
Racionálne funkcie
Cvičenia
Exponenciálna funkcia
 
• so základom a sa nazýva každá funkcia na množine R daná
y  a x ; a  R  1
rovnicou
• grafom exponenciálnej funkcie je exponenciálna krivka
y
a>1
0 < a <1
x
Logaritmická funkcia
Cvičenia
Logaritmická funkcia
• so základom a sa nazýva funkcia inverzná k exponenciálnej
funkcii y = ax kde a  (0,) - {1}
• exponenciálna funkcia f : y = ax obsahuje dvojice [x,y]. K
nej inverzná je f-1 : x = ay a zapisujeme ju : y = log a x
• grafom logaritmickej funkcie je logaritmická krivka
y
x
Exponenciálna funkcia
Cvičenia
a>1
0<a<1
Mocninové funkcie
• je každá funkcia daná rovnicou y  x ; n  R  0
n
n N
nZy
y
x
x
n nepárne
n=1
n párne
Cvičenia
n nepárne
n párne
1
n
y  x n N
Goniometrické funkcie
• Funkcia sínus
sa nazýva funkcia, ktorá na množine R pre  x  R priraďuje ym.
Píšeme : y = sin x, sin x : x ym
• Funkcia kosínus
sa nazýva funkcia, ktorá na množine R pre  x  R priraďuje xm.
Píšeme : y = cos x, cos x : x xm
• Funkcia tangens
sa nazýva funkcia daná rovnicou
Píšeme : y = tg x
• Funkcia tangens
sa nazýva funkcia daná rovnicou
Píšeme : y = cotg x
Grafy
y
sin x
;
cos x
y 
cos x
;
sin x
Cvičenia
x

2
 k .
x  k .
y
x
sin x
cos x
y
x
tg x
cotg
Goniometrické funkcie
Cvičenia
Koniec