Transcript Matematická analýza 1

Matematická
analýza 1
Matematika = kráľovná vied
Analýza = kráľovná matematiky
O vyučujúcej...
Mária Slavíčková
 M 147
 [email protected]

 Vždy
sa vopred emailom dohodnite na
stretnutí

www.ddm.fmph.uniba.sk, časť členovia
O predmete...

Prednášky:
 Teória

– definície, vety, lemy, dôkazy...
Cvičenia:
 Počítanie
úloh na pojmy z prednášky
(nevyhnutná znalosť toho, čo sa na
prednáške robilo)
Študijná literatúra



Kubáček-Valášek: Cvičenia z matematickej analýzy 1
Gera-Ďurikovič: Matematická analýza 1
Eliáš-Horváth-Kajan: Zbierka úloh z vyššej
matematiky



Neubrun-Vencko: Matematická analýza 1
J.Ivan: Matematika 1
Berman: Zbierka úloh z matematickej analýzy
Hodnotenie...

Cvičenie:
 Min.
2 písomky z prebranej látky
 Min.60% z písomiek, aby bolo možné ísť ku
skúške

Skúška:
 Písomná
a ústna časť
 Písomná časť – riešenie zadaných úloh, min.
50% aby prechod na ústnu
 Ústna časť – vysvetlenie pojmu, predvedenie
dôkazu...
Na začiatok...
Čo je to matematická analýza?
 Na čo sa ju učíme?
 Kedy v živote mi ju bude treba?

O čom bude dnešná prednáška
Výroky a dôkazy v matematiky
 Číselné množiny a ich vlastnosti
 Postupnosti a funkcie

Výroky a operácie s nimi
Výrok = veta, o kt. má zmysel hovoriť, či je
pravdivá, alebo nepravdivá
 Negácia výroku = opačná hodnota výroku
 Skladanie výrokov:

 Konjunkcia
(a)
 Disjunkcia (alebo)
 Implikácia (potom)
 Ekvivalencia (práve vtedy keď)
Negácia zložených výrokov

De Morganove pravidlo
 A  B '  A' B'
 A  B '  A' B'
 A  B '  A  B'
 A  B '   A  B'   A' B 

NDÚ: overiť tabuľkovou metódou
Spôsob overenia platnosti
výroku

Dôkaz tvrdenia (základné typy dôkazov)
 Priamy
dôkaz
 Nepriamy dôkaz
 Dôkaz sporom
 Dôkaz matematickou indukciou
Priamy dôkaz


Vychádza vždy zo ZNÁMEHO faktu a
postupnými úpravami/úvahami sa dostávame k
tomu, čo vlastne dokázať chceme
A  A1  A2  ...  B
Nepriamy dôkaz
Predpokladajme, že máme dokázať
tvrdenie v tvare: A, potom B
 Dokazujeme tzv. OBMENU tvrdenia, teda:
nie B, potom nie A

 Sú
tieto tvrdenia ekvivalentné?
Dôkaz sporom

Opäť máme tvrdenie v tvare A, potom B
 (čo

v prípade, že v takom tvare nie je?)
Dokazujeme NEGÁCIU tvrdenia, teda A a
súčasne nie B
 Čo
tým dosiahneme?
 Kde nastáva spor?
 Naozaj sme dokázali pôvodné tvrdenie?
Matematická indukcia
Pre postupnosti čísel
 Má dva hlavné kroky:

1. Ukážeme platnosť pre najmenší člen
skúmanej množiny
2. Predpokladáme, že tvrdenie platí pre prvých
„n“ hodnôt (Indukčný Predpoklad) a snažíme
sa ukázať, že platí aj pre „n+1“-vú hodnotu
Nutná a postačujúca podmienka

Majme výrok A 
B
B
je nutná podmienka pre A
 A je postačujúca podmienka pre B
A
B

0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
Číselné množiny
N = prirodzené čísla
 Z = celé čísla
 Q = racionálne čísla
 R = reálne čísla

 R-Q

Spočítateľné množiny
= iracionálne čísla
N
Z
C = komplexné čísla
Q
R
C
Základné množinové operácie
Zjednotenie
 Prienik
 Rozdiel
 Doplnok

Ohraničenosť množiny A v R

Dolné ohraničenie množiny:
d  R, a  A : d  a

Horné ohraničenie množiny:
h  R, a  A : h  a

Ohraničená množina:
 Je
ohraničená zhora aj zdola
Supremum a Infiumum množiny

Maximum
 Najväčší

prvok množiny m  A, a  A : m  a
Minimum
 Najmenší
prvok množiny n  A, a  A : n  a
  R, A   , A  R :
 Najmenšie horné ohraničenie
x  A : x  
  0 x  A : x    

Supremum

Infimum
  R, A   , A  R :
 Najväčšie dolné ohraničenie
x  A : x  
  0 x  A : x    
Je vôbec rozdiel medzi týmito
hodnotami?

Keď má množina maximum, má aj supremum?

Keď má množina infimum, má aj minimum?

NDÚ: určte inf, sup, max, min všetkých
číselných množín
Základné vlastnosti sčitovania a
násobenia v R

Na množine R máme definovanú reláciu
rovnosti:
reflexívnosť
a  R : a  a
symetrickosť
R2 a, b  R : a  b   b  a 
R3 a, b, c  R : a  b   b  c   a  c 
R1
tranzitívnosť

Na množine R máme definovanú operáciu
sčítania týmito podmienkami:
A1 a, b  R : a  b  b  a
komutatívnosť
A2 a, b, c  R : a  b  c   a  b   c
A3 a, b  R ! x  R : a  x  b
x : b  a 
rozdiel 2 čísel

Z A3 vyplýva:

(existencia nulového prvku)
 (definícia
! x  R a  R : a  x  a
opačného prvku)
a  R ! x : a  x  0
asociatívnosť

Na množine R máme definovanú operáciu
násobenia týmito podmienkami:
M1 a, b  R : a  b  b  a
komutatívnosť
M2 a, b, c  R : a  b  c   a  b   c
M3 a, b  R ! x  R : a  x  b
x : ba 
M4 a, b, c  R : a  b  c   a  b  a  c

asociatívnosť
podiel
distributívnosť
Z M3 vyplýva:

(existencia jednotky) ! x  R a  R : a  x  a
 (definícia
inverzného prvku) a  R ! x : a  x  1
Usporiadanie reálnych čísel

Na R je definovaná relácia usporiadania
U1
a, b  R : platí práve jeden z výrokov
a  b, a  b, a  b trichotómia
U2 a, b, c  R : a  b   b  c   a  c 
tranzitívnosť
U3
U4
a, b, c  R : a  b  a  c  b  c
monotónnosť na +
a, b  R : 0  a   0  b   0  a  b 
monotónnosť na
násobenie
Lema 1: a, b, c, d  R :
1. a  c, b  d  a  b  c  d
2. a  c, b  0  ab  cb
3. a  c, b  0  ab  cb
4. 0  a  b,0  c  d  0  ac  bd
Dôkaz:
1. Predpokladajme, že a  c, b  d , potom podľa U3 platí:
a  b  c  b  b  c  d  c

ab  cd
Pokračovanie dôkazu LEMY
U3
2. a  c  0  a  a  c  a
0  b  0  bc  a   0  bc  ba  ab  bc
U4

NDÚ: dokončiť dôkaz pre bod 3 a 4
Absolútna hodnota reálneho čísla

Nech a  R , potom absolútnu hodnotu čísla a
definujeme ako najväčšie číslo z množiny a,a
ozn. a
V1. a  0
V2 : a   a
V3 : a  a
V4 :  a  a
V 5 : b  a  a  b  a
V 6 : b  a  b  a   b  a 
Vety o absolútnej hodnote


Veta 1: x  R :  x  x  x
Dôkaz: x  0   x  x  0  x  x
x  0  x  x  0  x   x


Veta 2: x, y  R : x  y  x  y  x  y
Dôkaz:  x  x  x
  x  y  x  y  x  y
 y  y y
  x  y  x  y  x  y
V3
x y  x y  x  y
x y  x   y  x  y
Do poslednej nerovnosti dosadíme namiesto X výraz X+Y
x y y  x y  y
x  y  x y
x   y  x  y  x y


Veta 3: x, y  R : xy  x  y
Dôkaz:
x  0, y  0  xy  xy  x  y
x  0, y  0  xy  x y  x y  x  y
x  0, y  0  xy   x y   x  y
Reálna funkcia




Nech
A, B  R
Zobrazenie A  B , ktoré každému prvku z A
priradí PRÁVE JEDEN prvok z B sa nazýva
FUKNCIOU
Množina A: definičný obor funkcie
Množina B: obor hodnôt funkcie
Rovnosť funkcií

Funkcie f , g sa rovnajú práve vtedy, keď:
D f  Dg
x  D : f x   g x 
Príklad: f : R  0,  , f ( x)  x 2
g : R  R, g ( x )  x 2
Vlastnosti funkcie

Prostá (injektívna) funkcia:
x1 , x2  A : x1  x2  f x1   f x2 

Párna funkcia:
x  A : f  x  f x

Nepárna funkcia:
x  A : f  x   f x
Monotónnosť funkcie

Rastúca funkcia:
x1 , x2  A : x1  x2  f x1   f x2 

Klesajúca funkcia:

x1 , x2  A : x1  x2  f x1   f x2 
Nerastúca funkcia:
x1 , x2  A : x1  x2  f x1   f x2 

Neklesajúca funkcia:
x1 , x2  A : x1  x2  f x1   f x2 
Ohraničenosť funkcie

Dolné ohraničenie funkcie:
d  R, x  A : d  f x 

Horné ohraničenie funkcie:
h  R, x  A : h  f x 

Ohraničená funkcia:
 Je
ohraničená zhora aj zdola
Týka sa
OBORU
HODNÔT
danej funkcie
Graf funkcie

Nech f je funkcia s definičným oborom A  R
Množinu usporiadaných dvojíc
x, f x, x  A
nazveme GRAFOM funkcie f
Príklad: f :  2,1,0,1,2,3  R
f x   x  2
Elementárne funkcie
Lineárne y  ax  b
n
n1
y

a
x

a
x
 ... a0
 Mocninové
n
n1
x
 Exponenciálne y  a
 Logaritmické y  loga x
 Goniometrické y  sin x, cos x, tgx, ctgx
 Cyklometrické
y  arcsin x, arccosx, arctgx, arcctgx
 Hyperbolické y  shx, chx, thx, cthx

Lineárna funkcia


Funkciu f s definičným oborom D f  R
a predpisom y  ax  b, a, b  R
nazveme lineárnou
Funkciu f s definičným oborom D f  R
a predpisom
 x, x  0
y x 
 x, x  0
nazveme funkciou s ABSOLÚTNOU hodnotou
Lineárne lomená funkcia

k
Funkciu f s predpisom y  , k  R  0
x
nazveme NEPRIAMA ÚMERNOSŤ

ax  b
, c, d   0,0
Funkciu f s predpisom y 
cx  d
nazveme LINEÁRNE LOMENÁ funkcia
Lineárne lomená funkcia
ax  b cax  b  ad  ad  acx  bc
y



cx  d ccx  d 
ccx  d 
acx  d   ad  bc a bc  ad

  2

ccx  d 
c c x  cd
a
1 bc  ad
 

c
c x d
c2
Mocninové funkcie
a  0, a  2k
a  0, a  2k
y  x ,aR
a
a  0, a  2k  1
a  0, a  2k  1
Kvadratická funkcia

Funkciu f s definičným oborom D f  R
a predpisom y  ax  bx  c, a, b, c  R, a  0
2
nazveme KVADRATICKOU
 2 b c
y  ax  bx  c  a x    
a a

2
2
2
2
2


b
b
c
b
4
ca

b



 a  x    2    a x   

2 a  4a
a 
2a 
4a


Exponenciálna funkcia

Funkciu f s definičným oborom D f  R
a predpisom y  a , a  0,1  a  1, 
x
nazveme EXPONENCIÁLNOU
Logaritmická funkcia

Funkciu f s definičným oborom D f  0, 
a predpisom y  loga x, a  0,1  a  1, 
nazveme LOGARITMICKOU
Goniometrické funkcie
y  sin x
y  cos x
sin x
y  tgx 
cos x
cos x
y  ctgx 
sin x
y  sin x
Ďalšie goniometrické funkcie
Funkcie definované predpismi
1
y  sec x 
cos x
1
y  cosecx 
sin x
nazývame SEKANS, resp. KOSEKANS
Goniometrické identity
sin 2 x  cos2 x  1
sin 2 x  2 sin x cos x
cos 2 x  cos2 x  sin 2 x
sin x  y   sin x cos y  cos x sin y
cosx  y   cos x cos y  sin x sin y
Cyklometrické funkcie
Inverzné funkcie k zúženiam funkcií sínus, kosínus, tangens a kotangens
y  arcsin x
y  arccos x
y  arctgx
y  arcctgx
Definícia hyperbolických funkcii
Nech a  R  1, potom funkcie definované:
a x  ax
y  sinha x  sha x 
2
x
x
a a
y  cosha x  cha x 
2
sha x a x  a  x
 x
y  tgha x  tha x 
cha x a  a  x
Hyperbolický sínus
Hyperbolický kosínus
a x  ax
1
 x
y  ctgha x  ctha x 
tha x a  a  x
Hyperbolický tangens
Hyperbolický kotangens
Hyperbolické funkcie
y  sha x
y  cha x
y  ctha x
y  tha x
Vzťahy medzi hyperbolickými
funkciami
cha x  sha x  1
2
2
sha x  y   sha x  cha y  sha y  cha x
cha x  y   cha x  cha y  sha x  sha y
cha 2 x  cha2 x  sha2 x
sha 2 x  2  sha x  cha x
NDÚ: dokážte platnosť všetkých uvedených vzťahov
Postupnosť

Funkcia definovaná na množine

prirodzených čísel, ozn.:an n1
 Skúste
prepísať spôsobom, akým sme
definovali funkciu

Spôsob zadania:
 Rekurentne
 Všeobecný
tvar
 Iný opis členov
Vlastnosti postupností

Monotónnosť
 Rastúca
postupnosť
 Klesajúca postupnosť

Ohraničenosť
 Zdola
ohraničená postupnosť
 Zhora ohraničená postupnosť
 Ohraničená postupnosť
Špeciálne triedy postupností

Aritmetická postupnosť
 Diferencia
d
 Dôležité vzťahy
an  a1  n  1d
d  an  an 1
n
sn  a1  an 
2

Geometrická postupnosť
 Kvocient
q
 Dôležité vzťahy
an  a1q n 1
an
q
an 1
qn 1
sn  a1
q 1
Ďalšie vlastnosti postupností

Vlastnosti, ktoré možno skúmať nástrojmi
matematickej analýzy
O
týždeň