Transcript Logika12_Téma_4_bac

Téma 4: Základy predikátovej logiky.
Logika tried a logika vzťahov.
Fakulta práva
Bratislavská vysoká škola práva
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
2
Osnova prednášky:
1. Charakter a úlohy predikátovej logiky
2. Predikáty a kvantifikátory.
3. Jazyk a formuly predikátovej logiky
4. Logika tried
5. Logika vzťahov
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
3
Čím sa zaoberá
predikátová logika?
Ide v analýze hlbšie ako
logika výroková a
nepovažuje elementárne
výroky za posledné stavebné
prvky logických tvrdení, ale
za bloky, zložené z ešte
jednoduchších prvkov.
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
4
Definícia predikátu
DEF
© Jaroslav Holomek
Predikáty sú výrokotvorné
funktory
s indivíduomennými
argumentmi, pričom
jednomiestne predikáty
vyjadrujú vlastnosti a
viacmiestne predikáty
vzťahy.
Logika - Téma 4
5
Všeobecný a čiastočný kvantifikátor
a) Všeobecný kvantifikátor
"x
Všeobecný kvantifikátor vyjadruje
skutočnosť, že určitú vlastnosť má
každý prvok uvedenej triedy.
b) Čiastočný kvantifikátor
$x
© Jaroslav Holomek
Čiastočný (existenčný) kvantifikátor
vyjadruje skutočnosť, že v oboru
uvažovania existuje prvok, ktorý má
určitú vlastnosť.
Logika - Téma 4
6
Slovník jazyka predikátovej logiky
1. predikátové premenné:
- jednomiestne
- viacmiestne
2. indivíduové premenné
F, G, H, ...
R, S, T, ...
3. kvantifikátory
", $;
4. výrokotvorné funktory
, 
5. zátvorky:
(, ).
© Jaroslav Holomek
x, y, z, ...
resp. x1, x2, x3, ...;
Logika - Téma 4
7
Definícia formuly predikátovej logiky
DEF
© Jaroslav Holomek
1. ak je P n-miestny predikát a x1, x2, ..., xn
indivíduové premenné, potom P(x1, x2, ..., xn) je
atomárna formula predikátovej logiky; každá
atomárna formula je formulou predikátovej
logiky;
2. ak je A formulou predikátovej logiky, tak je aj
 formulou predikátovej logiky;
3. ak sú A, B formuly predikátovej logiky, tak
(A  B), (A  B), (A  B), (A  B) sú formuly
predikátovej logiky;
4. ak je x indivíduová premenná a A formula
predikátovej logiky, tak sú aj výrazy "x A a $x
A formulami predikátovej logiky;
5. každá formula predikátovej logiky vznikne
konečným počtom použitia pravidiel 1.-4.
Logika - Téma 4
8
Čím sa zaoberá logika
tried?
Logiku tried možno považovať
za súčasť predikátovej logiky,
ktorá sa obmedzuje na
jednomiestne
(jednoargumentové) predikáty.
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
9
Čo je to trieda?
DEF
Trieda je súhrn indivíduí,
ktoré majú určité
spoločné vlastnosti.
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
10
Slovník jazyka logiky tried
1. triedové premenné:
A, B, C, ...
2. indivíduové premenné
x, y, z, ...
resp. x1, x2, x3, ...;
3. kvantifikátory
", $;
4. výrokotvorné funktory
, 
5. zátvorky:
(, ).
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
11
Transformácia vety na formulu
predikátovej logiky
1. Vyčleníme v súvetí jednotlivé vety prirodzeného jazyka.
2. Dáme vetám logickú formu výrokov spojených
jednoznačne vyjadrenými spojkami.
3. V jednotlivých výrokoch vyčleníme mená vlastností a
vzťahov, mená indivíduí a kvantifikátory a označíme ich
symbolmi predikátov a indivíduových premenných.
4. Ak ide o zložený výrok použijeme namiesto spojok
prirodzeného jazyka výrokovologické spojky. Získame tak
formulu predikátovej logiky.
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
12
Príklad č.1
1. Každé dieťa má mamu a otca.
2. (Každé dieťa má mamu.) a (Každé dieťa má otca.)
3.
4.
("x $y M(y,x)) a ("x $z O(z,x))
(x – dieťa, y – osoba ženského pohlavia, z – osoba
mužského pohlavia, M – ... je mamou ..., O - ... je otcom ...)
("x $y M(y,x))  ("x $z O(z,x))
alebo (iná forma zápisu)
"x $y $z (M(y,x)  O(z,x))
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
13
Totožnosť (rovnosť) tried
DEF
Triedy A a B sú si rovné vtedy a
len vtedy, ak obsahujú tie isté
prvky, t.j. ak o každom prvku
triedy A platí, že je prvkom triedy
B, a o každom prvku triedy B
platí, že je prvkom triedy A.
Totožnosť zapisujeme:
A=B
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
14
Inklúzia tried
DEF
Trieda A je podtriedou triedy B
(je inkludovaná v triede B), ak
všetky prvky triedy A sú aj
prvkami triedy B.
Inklúziu zapisujeme:
AB
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
15
Pretínanie tried
DEF
Triedy A a B sa pretínajú, ak
existujú trieda, ktorá obsahuje
prvky, ktoré sú súčasne prvkami
triedy A aj triedy B.
Pretínanie zapisujeme:
A sa pretína s B
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
16
Disjunkcia tried
DEF
Triedy A a B sú disjunktné, ak je
trieda, ktorá obsahuje prvky,
ktoré sú súčasne prvkami triedy
A aj triedy B, prázdna.
Disjunktnosť zapisujeme:
A je disjunktná s B
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
17
Doplnok triedy
DEF
Trieda Ā sa nazýva doplnkom
triedy A v univerzálnej triede, ak
obsahuje všetky prvky
univerzálnej triedy, ktoré nie sú
prvkami triedy A.
Doplnok zapisujeme:
Ā
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
18
Prienik (súčin) tried
DEF
Prienik tried A a B je
trieda, ktorej prvkami sú
tie prvky univerzálnej
triedy, ktoré sú súčasne
prvkami tried A aj B.
Prienik zapisujeme:
AB
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
19
Zjednotenie (súčet) tried
DEF
Zjednotenie tried A a B je
trieda, ktorej prvkami sú tie
prvky univerzálnej triedy,
ktoré sú prvkami aspoň jednej
z tried A a B.
Zjednotenie zapisujeme:
AB
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
20
Rozdiel tried
DEF
Rozdielom tried A a B je
trieda, ktorej prvkami sú
všetky prvky triedy A, ktoré
nie sú prvkami triedy B.
Rozdiel zapisujeme:
A-B
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
21
Grafická metóda zisťovania
správnosti úsudku
Ide o metódu, kedy sa pomocou Vennových diagramov
zobrazuje vzťah medzi jednotlivými triedami.
Grafická metóda je vhodná na riešenie vzťahov medzi
max. štyrmi triedami (viac sa nedá jednoduchým
spôsobom znázorniť v rovine).
My sa obmedzíme na situácie, kedy budeme zisťovať
vzťah medzi tromi triedami (metódu využijeme napr. pri
riešení správnosti kategorického sylogizmu).
© Jaroslav Holomek
Logika – Téma 4
22
Algoritmus zisťovania správnosti
úsudku grafickou metódou
1.
2.
3.
Každá z troch tried bude predstavená jedným
kruhom.
Obidve premisy vyznačíme do diagramu tak, že
a) vyšrafujeme tú časť kruhu (podtriedu),
kde sa nenachádzajú indivíduá s vlastnosťami
uvedenými v premise – prázdne triedy;
b) v prípade, že sa tvrdí existencia indivídua v niektorej
podtriede, vyznačíme do nej krížik (krížiky).
Úsudok bude správny, ak sa výsledný diagram
zhoduje s tvrdením záveru.
© Jaroslav Holomek
Logika – Téma 4
23
Čím sa zaoberá logika
vzťahov?
Logiku vzťahov možno
považovať za súčasť
predikátovej logiky, ktorá
skúma viacmiestne predikáty.
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
24
Slovník jazyka logiky vzťahov
1. vzťahové premenné:
R, S, T, ...
2. indivíduové premenné
x, y, z, ...
resp. x1, x2, x3, ...;
3. kvantifikátory
", $;
4. výrokotvorné funktory
, 
5. zátvorky:
(, ).
© Jaroslav Holomek
Logika - Téma 4
25
Inverzný vzťah
DEF
© Jaroslav Holomek
Ku každému vzťahu R možno
vytvoriť inverzný vzťah R-1, pre
ktorý platí, že R(x,y) = R-1(y,x).
Logika – Téma 4
26
Kompozit vzťahov
DEF
© Jaroslav Holomek
x je vo vzťahu RS k y – RS(x,y) –
vtedy a len vtedy, ak existuje
taký prvok z, pre ktorý platí
R(x,z) a súčasne S(z,y).
Logika - Téma 4
27
Literatúra:
Základná:
1.
Holomek, J.: Logika I. TnUAD, Trenčín 2007.
Kap. IV., par. 1.-6. a 9.– riešiť úlohy.
2. Holomek, J.: Formálna logika I. APZ, Bratislava 2000.
Kap. V., par. 1.-4., 7.-8. – riešiť úlohy.
3. Gahér, F.: Logika pre každého. IRIS, Bratislava 1996 (2. prepracované vydanie, Bratislava 1998, s. 156-176, 189-191).
© Jaroslav Holomek
Logika – Téma 4