Transcript Množiny, relace

Fakulta životního prostředí
Katedra informatiky a geoinformatiky
Matematika I.
KIG / 1MAT1
Přednáška 02
Množiny, relace
[email protected]
O čem budeme hovořit:
•
•
•
•
•
•
Rovnost a inkluse množin
Operace s množinami
Vlastnosti množin
Vázané kvantifikátory
Kartézský součin množin
Binární relace v množinách
Rovnost a inkluse množin
Co to jsou množiny?
Intuitivně se pojem množiny zavádí tak, že je to:
soubor určitých objektů, u kterého je možné
rozhodnout, zda libovolně zvolený objekt do
souboru patří či nepatří.
Příklady:
• Množinu můžeme určit výčtem jejích prvků:
například { 1; a; # }.
• Množinu můžeme určit charakteristickou
vlastností jejích prvků:
například { x; x > 100 }.
Kdy se dvě množiny sobě rovnají?
Kdy jsou ve vztahu inkluse?
Aby byly množiny A , B sobě rovny, musí se
skládat z týž prvků, tedy definujeme:
A = B  (x) x A  x  B
Aby byla množina A „částí“ množiny B, musí být
každý prvek množiny A také prvkem množiny B,
proto definujeme:
A  B  (x) x A  x  B
Věta o rovnosti množin
Inklusi si představíme snadno:
fakt, že množina A je „částí“
množiny B, přesněji množina A
je podmnožinou množiny B,
znázorníme takto:
Zřejmě platí tato věta:
AB  BA  A=B
Jak jí dokážeme?
A
B
Operace s množinami
A
Průnik množin
B
Průnik množin A, B bude budeme označovat
AB.
Je to množina takových prvků, které náleží oběma
těmto množinám.
Definice
xA B  xA  xB
A B = {x;xA  xB}
V
Sjednocení
množin
A
B
Sjednocení množin A, B bude budeme označovat
AB.
Je to množina takových prvků, které náleží alespoň
jedné z těchto množin.
Definice
xA B  xAxB
A B = {x;xAxB}
V
A
B
Rozdíl množin
Rozdíl množin A, B bude budeme označovat
AB.
Je to množina takových prvků, které náleží první
množině, ale zároveň nenáleží druhé množině.
Definice
xA B  xA  xB
A B = {x;xA  xB}
V
Univerzální třída a prázdná množina
Třída, která obsahuje všechny myslitelné objekty se
označuje V a nazývá se univerzální třída .
Množina, která neobsahuje žádný prvek, se
označuje  a nazývá se prázdná množina .
Definice
xV x=x
xxx
V ={x;x=x}
={x;xx}
Doplněk množiny
A
V
Rozdíl V  A budeme nazývat doplňkem množiny
A a označovat A .
Doplněk množiny obsahuje všechny prvky, které do
původní množiny nepatří.
Definice
x  A  x  A
A = { x ; x  A }
Vlastnosti množin
Jak dokazovat věty o vlastnostech množin?
Dokažme například větu:
A ( B C )  (A B) (A C )
Máme dvě možnosti.
1) Problém můžeme převést podle definic na tautologii:
(x) x A  ( B  C )  x ( A  B )  ( A  C )
atd.
V
A
B
2) Užijeme tzv.
Vennovy diagramy:
C
Důležité věty o vlastnostech množin
AB = BA
AB = BA
(A B) C= A (B C)
(A B) C= A (B C)
(A B)  C= (A C) (B C)
(A B)  C= (A C) (B C)
A=AA=AA=AV=A  =A 
(A B ) =( A)  ( B )
(A B ) =( A)  ( B )
ABA
ABB
AA B
BAB
AB A B=A
AB A B=B
Vázané kvantifikátory
Vázané kvantifikátory
V matematice často používáme nejenom formule
(x)  (x) nebo (x)  (x) ale také formule tvaru
(xA)  (x) nebo (xA)  (x) .
Jejich význam je tento:
(xA)  (x)  (x) xA   (x)
(xA)  (x)  (x) xA   (x)
Rozmyslete si, jak se negují vázané kvantifikátory!
Zjistěte, zda jsou vázané kvantifikátory vůči
některým logickým spojením „distributivní“!
Kartézský součin množin
Uspořádané dvojice
V matematice často pracujeme s pojmem uspořádaná
dvojice. (Setkali jste se s ním například u souřadnic
bodů v rovině.)
Jsou-li dány objekty, například a, b, c, d, e , můžeme
z nich vytvářet uspořádané dvojice, například:
a;b] , a;c] , b;d] , d;b] , c;b] , e;e] , atd.
V uspořádaných dvojicích je podstatné, který objekt
je prvním členem dvojice, a který objekt je druhým
členem dvojice.
Kartézský součin tříd (množin)
Definice:
Pro každé dvě třídy (množiny) A, B definujeme jejich
kartézský součin A  B takto:
A  B = { a;b ; aA  bB }
Příklad:
Pro množiny K = {a;b;c}, L = {1;2} jsou kartézské
součiny tohoto tvaru:
K  L = { a;1; a;2; b;1; b;2; c;1; c;2 }
L  K = { 1;a; 1;b; 1;c; 2;a; 2;b; 2;c }
Představa kartézského součinu
Z množin K = {a;b;c}, L = {1;2}
je vytvořen kartézský součin:
K  L = { a;1; a;2; b;1; b;2; c;1; c;2 }
L
KxL
2
1
a
b
c
K
Důležité věty o kartézském součinu
AB  BA
K  ( A  B ) = (K  A)  (K  B)
K  ( A  B ) = (K  A)  (K  B)
K  ( A  B ) = (K  A)  (K  B)
K=K=
AB KA K B
Binární relace v množinách
Binární relace v množinách A, B
Definice: Množinu R nazýváme binární relací v
množinách A, B právě tehdy, když R  A  B .
Binární relace znázorňujeme spojnicovými nebo
kartézskými grafy.
A
x
y
B
B
a
b
b
a
z
x
y
z
A
Úmluvy o zápisech
Jestliže platí x R y , zapisujeme to x  y  R .
Příklady:
Protože platí 2 < 3 , zapisujeme to 2  3  < .
Protože platí 5  5 , zapisujeme to 5  5   .
Protože platí 3  9 , zapisujeme to 3  9   .
Protože neplatí 8 < 3 , zapisujeme to 8  3  < .
Protože neplatí 4  7 , zapisujeme to 4  7   .
První a druhý obor relace R
Definice: Nechť je dána relace R  A  B .
Prvním oborem relace R nazýváme množinu
⃞R = xA  (yB) x R y ,
druhým oborem relace R nazýváme množinu
R ⃞ = yB  (xA) x R y .
Jak určíme oba obory z grafů relace R ?
A
x
y
B
B
a
b
b
a
z
x
y
z
A
-1
Inverzní relace R k relaci R
Definice:
-1
x R y platí právě tehdy, když y R x .
-1
Tedy x  y  R právě tehdy, když y  x  R .
Z toho plyne, že je-li R  A  B , pak R  B  A .
-1
Příklady:
Binární relace > je inverzní k binární relaci < .
Binární relace „být dělitelem“ je inverzní k binární
relaci „být násobkem“ .
Jak vypadají grafy inverzní relace?
Doplňková relace –R k relaci R
Definice:
x (–R) y platí právě tehdy, když neplatí x R y .
Tedy x  y  (–R) právě tehdy, když x  y  R .
Příklad:
Binární relace  je doplňková k binární relaci > .
Jak vypadají grafy doplňkové relace?
Relace složená z dvou relací R a S
Definice:
Nechť jsou dány relace R a S.
x R⃝S y platí právě tehdy, když (z) x R z  z S y.
Příklad:
Binární relace „být babičkou z otcovy strany“ je
složená relace z binárních relací „být matkou“ a
„být otcem“ .
Jak zkonstruovat grafy složené relace?
Co je třeba znát a umět?
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Vztahy rovnosti a inkluse množin,
definice a vlastnosti množinových pojmů
(průnik, sjednocení, rozdíl, doplněk),
důkazy vlastností pomocí logických tautologií či
Vennových diagramů,
vázané kvantifikátory,
kartézský součin množin a jeho vlastnosti,
pojem binární relace v množinách,
spojnicový a kartézský graf relace,
obory relace,
inverzní, doplňkové a složené relace.
Děkuji za pozornost