Transcript A(x)

Přednáška 6
Sémantika PL1
Interpretace, modely,
sémantická tabla
Pravdivost formule,
interpretace, ohodnocení


Otázka „je formule A pravdivá?“ má tedy smysl
až tehdy, když dodáme v „interpretaci a při
ohodnocení volných proměnných“.
Interpretační struktura je n-tice:
U, R1,...,Rn, F1,...,Fm, kde F1,...,Fm jsou funkce nad
zvoleným universem diskursu přiřazené funkčním
symbolům formule a R1,...,Rn jsou relace nad
universem přiřazené predikátovým symbolům.
Jak určíme pravdivost formule v interpretační
struktuře, či zkráceně v interpretaci?
Pravdivost formule, interpretace,
ohodnocení

Vyhodnocujeme formuli zevnitř:
A.
B.
C.
A.
nejdříve určíme prvky univerza označené termy,
pak pravdivostní hodnoty atomických formulí a nakonec
pravdivostní hodnotu složené formule
Vyhodnocení termů: e je valuace (ohodnocení), která každé
individuové proměnné přiřazuje prvek univerza: e(x)  U.
Ohodnocením e termů indukovaným ohodnocením
proměnných e, je prvek univerza, který je induktivně
definován takto:
e(x) = e(x)
e(f(t1, t2,...,tn)) = F(e(t1), e(t2),...,e(tn)), kde F je funkce
přiřazená v dané interpretaci funkčnímu symbolu f.
Pravdivost formule, interpretace,
ohodnocení
B.
Vyhodnocení pravdivostní hodnoty formule
1.
2.
3.
Atomické: |=I P(t1,...,tn) [e] – formule je pravdivá
v Interpretaci I při ohodnocení e, jestliže platí
e(t1), e(t2),...,e(tn)  R, kde R je relace přiřazená
symbolu P (říkáme také R je obor pravdivosti P)
Výrokově-logicky složené, tj. A, A  B, A  B,
A  B, A  B, dtto Výroková Logika
Tvaru xA(x), xA(x):
|=I xA(x)[e], jestliže pro libovolné individuum i  U platí
|=I A[e(x/i)], kde e(x/i) je valuace stejná jako e až
na to, že přiřazuje proměnné x individuum i
|=I xA(x)[e], jestliže existuje alespoň jedno individuum
i  U takové, že platí |=I A[e(x/i)], kde e(x/i) ...
Kvantifikátory
Z definice kvantifikátorů je zřejmé, že nad konečným
univerzem U = {a1,…,an}, platí následující
ekvivalence formulí:
 x A(x)  A(a1)  …  A(an)
 x A(x)  A(a1)  …  A(an)
A tedy všeobecný kvantifikátor je zobecněním
konjunkce a existenční kvantifikátor je zobecněním
disjunkce a zjevně platí:
 x A(x)  x A(x), x A(x)  x A(x)
de Morganovy zákony
Splnitelnost a pravdivost v interpretaci






Formule A je splnitelná v interpretaci I, jestliže existuje
ohodnocení e proměnných takové, že platí |=I A[e].
Formule A je pravdivá v interpretaci I, značíme |=I A,
jestliže pro všechna možná ohodnocení e platí, že |=I A[e].
Model formule A je interpretace I, ve které je A pravdivá
(tj. pro všechna ohodnocení volných proměnných).
Formule A je splnitelná, jestliže existuje interpretace I, ve
které je splněna, tj. jestliže existuje interpretace I a valuace e
takové, že |=I A[e].
Formule A je tautologií (logicky pravdivá), značíme |= A,
jestliže je pravdivá v každé interpretaci.
Formule A je kontradikcí, jestliže neexistuje interpretace I,
která by formuli A splňovala, tj. neexistuje interpretace a
valuace, ve které by byla A pravdivá: |I A[e].
Splnitelnost a pravdivost v interpretaci




A: x P(f(x), x)
B: x P(f(x), x)
C: P(f(x), x)
Interpretace I: U=N, f  x2, P  relace >
Platí, že: |=I B. Formule B je v N, x2, > pravdivá.
Formule A není v I pravdivá.
Formule C je v N, >, x2 splněna, ale není v ní
pravdivá:
e0(x) = 0, e1(x) = 1 není 0,0, 1,1 prvkem >, ale pro
e2(x) = 2, e3(x) = 3, atd., jsou dvojice 4,2, 9,3, …
prvkem relace >.
 pro

Formule A, C nejsou v N, x2, > pravdivé:
|I A[e0], |I A[e1], |I C[e0], |I C[e1],
pouze je: |=I A[e2], |=I A[e3], |=I C[e2], |=I C[e3], …
Prázdné universum ?


Představme si interpretaci nad universem U = 
x P(x) je pravda či nepravda?





dle definice kvantifikátoru je to nepravda, neboť nenajdeme žádné
individuum, které splňuje P, pak je ale pravda x P(x), tj.
x P(x), ale to je nepravda – spor
Nebo je to pravda, protože neexistuje prvek univerza, který by
neměl vlastnost P, pak ale má být také pravda x P(x), což je
nepravda – spor
Podobně pro x P(x) dojdeme ke sporu, ať to
chápeme jako pravda či nepravda
Proto volíme vždy neprázdné universum
Logika pro pustý svět by byla nesmyslná
Existenční kvantifikátor + implikace ?



Existuje někdo takový, že je-li to génius,
pak jsou všichni géniové
Tato věta nemůže být nepravdivá !
|= x (G(x)  x G(x))
V každé interpretaci I bude platit:


Je-li obor pravdivosti GU predikátu G roven celému universu
(GU = U), pak je formule v I pravdivá, neboť je pravdivá
podformule x G(x), tedy i G(x)  x G(x).
Je-li GU vlastní podmnožinou U (GU  U), pak stačí nalézt
jeden prvek (valuaci x), který neleží v GU a formule G(x) 
x G(x) je v I pravdivá, neboť není pravdivý antecedent G(x).
9
Existenční kvantifikátor + konjunkce !

Podobně formule x (P(x)  Q(x)) je „skoro
tautologie“. Je pravdivá v každé interpretaci I
takové, že




PU  U, neboť pak je |=I P(x)  Q(x) [e] pro e(x)  PU
nebo QU = U, neboť pak je |=I P(x)  Q(x) pro všechny
valuace e
Tedy tato formule je nepravdivá pouze v takové I,
kde PU = U a QU  U.
Proto věty typu „Některá P jsou Q“ analyzujeme
jako x (P(x)  Q(x)).
Všeobecný kvantifikátor +
konjunkce ? Implikace !





x [P(x)  Q(x)] je „skoro nesplnitelná“ !
Je nepravdivá v každé interpretaci I, ve které je
PU  U nebo QU  U.
Tedy pravdivá je pouze v takové I, kde
PU = U a QU = U !
Proto věty typu „Všechna P jsou Q“ analyzujeme
jako x [P(x)  Q(x)]
Pro všechna individua platí, že je-li to P, pak je
to také Q. (Pak je PU  QU – definice
podmnožiny)
Splnitelnost a pravdivost v interpretaci
Formule A(x) s volnou proměnnou x
 Je-li A(x) v I pravdivá, pak je |=I x A(x)
 Je-li A(x) v I splněna, pak je |=I x A(x).
Formule P(x)  Q(x), P(x)  Q(x)
s volnou proměnnou x definují průnik a sjednocení
oborů pravdivosti PU, QU. Pro libovolné P, Q, PU, QU
a interpretaci I tedy platí:
|=I x [P(x)  Q(x)]
iff
PU  QU
|=I x [P(x)  Q(x)]
iff
PU  QU  
|=I x [P(x)  Q(x)]
iff
PU  QU = U
|=I x [P(x)  Q(x)]
iff
PU  QU  
Model množiny formulí, vyplývání !!!




Model množiny formulí {A1,…,An} je taková
interpretace I, ve které jsou pravdivé všechny
formule A1,...,An.
Formule B logicky vyplývá z A1, …, An,
značíme A1,…,An |= B, jestliže B je pravdivá
v každém modelu množiny formulí A1,…,An.
Tedy pro každou interpretaci I, ve které jsou
pravdivé formule A1, …, An (|=I A1,…, |=I An) platí,
že je v ní pravdivá i formule B (|=I B).
„Okolnosti“ z úvodní definice vyplývání (viz
přednáška 1) tedy chápeme v PL1 jako
interpretace (predikátových a funkčních symbolů
relacemi a funkcemi nad universem).
Vyplývání v PL1 !!!
P(x) |= x P(x),
avšak formule P(x)  x P(x) není tautologií.
Proto: A1,...,An |= Z  |= (A1… An  Z) platí jen pro
uzavřené formule, tzv. sentence.
 x P(x)  P(a) rovněž není tautologií, pravidlo
x P(x) | P(a) nezachovává pravdivost, není ve
shodě s vyplýváním.
Příklad interpretace, ve které nejsou pravdivé:
U = N, P  sudá čísla, a  3

Sémantické ověření platnosti úsudku

Úsudek je platný, pokud je závěr pravdivý ve
všech modelech předpokladů. Ale, těchto
modelů může být nekonečně mnoho! Přesto
můžeme na základě „logického tvaru“ modelů
předpokladů (tedy množinových úvah) ověřit,
zda zaručují pravdivost závěru.
Sémantické ověření platnosti úsudku

Příklad:
Všechny opice (P) mají rády banány (Q)
 Judy (a) je opice
  Judy má ráda banány

x [P(x)  Q(x)]
P(a)
-------------------Q(a)
QU
PU
a
Relace a vztahy
Výroky s jedno-argumentovým predikátem
(charakterizujícím nějakou vlastnost)
zkoumal již ve starověku Aristoteles.
 Teprve Gottlob Frege (zakladatel moderní
logiky) však zavedl formální predikátovou
logiku (s poněkud jiným jazykem, než
používáme dnes) s více-argumentovými
predikáty (charakterizujícími vztahy) a
kvantifikátory.

Gottlob Frege
1848 – 1925
Německý
matematik,
logik a filosof,
působil na
universitě v Jeně.
Zakladatel
moderní logiky
18
Sémantické ověření platnosti úsudku




Marie má ráda pouze vítěze
Karel je vítěz
-------------------------------------neplatný
 Marie má ráda Karla
x [R(m,x)  V(x)], V(k)  R(m,k) ?
RU  U  U: {… <Marie, i1>, <Marie, i2>, …, <Marie, in> …}
 VU  U:
{…i1, i2, …, Karel,…, in…}
Dvojice <Marie, Karel> nemusí být prvkem RU, pravdivost
předpokladů to nezaručuje.
Být vítězem je zde pouze nutná podmínka pro to, aby
(vybíravá) Marie měla někoho ráda, ale není dostatečná.

Sémantické ověření platnosti úsudku




Marie má ráda pouze vítěze
Karel není vítěz
------------------------------------ Marie nemá ráda Karla
platný
x [R(m,x)  V(x)], V(k)  R(m,k) ?
 RU  U  U:
{…<Marie, i1>, <Marie, i2>, <Marie, Karel>, …, <Marie, in> …}
 VU  U:
{…i1, i2, …, Karel,…, in…}
Kdyby byla dvojice <Marie, Karel> prvkem RU, pak by musel být
(dle první premisy) Karel prvkem VU,
ale to není možné dle druhé premisy.
Pravdivost předpokladů zaručuje pravdivost závěru.
Sémantické ověření
správnosti úsudku
Kdo zná Marii a Karla, ten Marii lituje.
x [(Z(x,m)  Z(x,k))  L(x,m)]
Někteří nelitují Marii, ačkoliv ji znají. x [L(x,m)  Z(x,m)]
|= Někdo zná Marii, ale ne Karla.


Znázorníme, jaké budou obory pravdivosti predikátů Z a L, tj.
relace ZU a LU, aby byly pravdivé premisy:
ZU = {…, i1,m,  i1,k, i2,m, i2,k,…,,m,… }
1. premisa

x [Z(x,m)  Z(x,k)]
2. premisa
LU = {…, i1,m, ...., i2,m,…........., ,m,… }
Sémantické ověření
správnosti úsudku


Kdo zná Marii a Karla, ten Marii lituje.
Někteří nelitují Marii, ačkoliv ji znají.
x [(Z(x,m)  Z(x,k))  L(x,m)]
x [L(x,m)  Z(x,m)]
x [Z(x,m)  Z(x,k)]

|= Někdo zná Marii, ale ne Karla.

Nyní dokážeme platnost sporem: předpokládejme, že všichni, kdo jsou ve
vztahu Z k m (tedy i prvek ), jsou také v Z ke k (negace závěru).

ZU = {…, i1,m,  i1,k, i2,m, i2,k,…,,m, ,k, … }
1. p.

2. p.
1.p.
LU = {…, i1,m, ..., i2,m,…................, ,m, ,m, … }
spor
22
Některé důležité tautologie PL1


|= xAx  Ax/t
term t je substituovatelný za x v A
|= Ax/t  xAx
De Morgan
|= x Ax  x Ax
|= x Ax  x Ax
Zákony distribuce kvantifikátorů:
|= x [A(x)  B(x)]  [x A(x)  x B(x)]
|= x [A(x)  B(x)]  [x A(x)  x B(x)]
|= x [A(x)  B(x)]  [x A(x)  x B(x)]
|= x [A(x)  B(x)]  [x A(x)  x B(x)]
|= [xA(x)  xB(x)]  x [A(x)  B(x)]
|= x [A(x)  B(x)]  [x A(x)  x B(x)]
Sémantické zdůvodnění:
Nechť AU, BU jsou obory pravdivosti A, B
x[A(x)  B(x)]  [xA(x)  xB(x)]
Je-li průnik (AU  BU) = U, pak musí být jak AU, tak BU rovny celému
universu U a naopak
x[A(x)  B(x)]  [xA(x)  xB(x)]
Je-li sjednocení (AU  BU)  , pak musí být AU nebo BU neprázdné
(AU   nebo BU  ) a naopak.
|= x[A(x)  B(x)]  [xA(x)  xB(x)]
Je-li AU  BU, pak je-li AU = U, je také BU = U.
|= x[A(x)  B(x)]  [xA(x)  xB(x)]
Je-li AU  BU, pak je-li AU  , je také BU  .
|= x[A(x)  B(x)]  [xA(x)  xB(x)]
Je-li průnik (AU  BU)  , pak musí být jak AU, tak BU neprázdné
(AU   a BU  ).
|= [xA(x)  xB(x)]  x[A(x)  B(x)]
Je-li AU = U nebo BU = U, pak je také sjednocení (AU  BU) = U
Některé důležité tautologie PL1

Formule A neobsahuje volně proměnnou x:
|= x [A  B(x)]  [A  xB(x)]
|= x [A  B(x)]  [A  xB(x)]
|= x [B(x)  A]  [xB(x)  A]
|= x [B(x)  A]  [xB(x)  A]
|= x [A  B(x)]  [A  xB(x)]
|= x [A  B(x)]  [A  xB(x)]
|= x [A  B(x)]  [A  xB(x)]
|= x [A  B(x)]  [A  xB(x)]

Zákony komutace kvantifikátorů:
|= xyA(x,y)  yxA(x,y)
|= xyA(x,y)  yxA(x,y)
|= xyA(x,y)  yxA(x,y) ale ne naopak!
Sémantické zdůvodnění: Nechť AU, BU jsou
obory pravdivosti A, B, x není volná v A
x[A  B(x)]  [A  xB(x)] – zřejmé
x[A  B(x)]  [A  xB(x)] – zřejmé
x [B(x)  A]  [x B(x)  A]
x [B(x)  A]  x [B(x)  A]: doplněk BU je
celé universum nebo A: x B(x)  A 
x B(x)  A  x B(x)  A
x [B(x)  A]  [x B(x)  A]
x [B(x)  A]  x [B(x)  A]: doplněk BU je
neprázdný nebo A: x B(x)  A 
x B(x)  A  x B(x)  A
Sémantická tabla
v predikátové logice
Důkazy logické pravdivosti a
platnosti úsudku v predikátové
logice 1. řádu
Typické úlohy

Dokázat logickou pravdivost formule PL1:



Dokázat platnost úsudku v PL1:




formule F je pravdivá ve všech interpretacích, tj. každá
interpretace je jejím modelem
|= F
P1, …, Pn |= Q
pro uzavřené formule iff |= (P1 … Pn  Q)
formule Q je pravdivá ve všech modelech množiny
předpokladů P1, …, Pn
Co vyplývá z daných předpokladů?

P1, …, Pn |= ?
Typické úlohy
Jejich řešení rozborem (nekonečné) množiny
modelů je obtížné, sémantické důkazy jsou
pracné
 Proto hledáme jiné metody
 Jednou z nich je metoda sémantických tabel
 Obdoba, zobecnění stejné metody ve
výrokové logice
 Tedy převod na disjunktivní / konjunktivní
normální formy

Sémantická tabla v PL1







VL – důkaz logické pravdivosti.
Přímý důkaz – použijeme konjunktivní normální
formu
Nepřímý důkaz – disjunktivní normální formu
Aplikaci metod VL brání to, že formule může být
uzavřená kvantifikátory. Jak se jich zbavit?
Použijeme pravidla:
x A(x) | A(x / t), kde t je term substituovatelný za x
ve formuli A, nejčastěji t = x
(x)A(x) | A(a), kde a je vhodná konstanta (dosud v
důkazovém postupu nepoužita)
Pravidla pro odstranění kvantifikátorů




x A(x) | A(x/t), term t substituovatelný za x
 Je-li obor pravdivosti AU = U, pak prvek e*(t) leží v AU
 Zachovává pravdivost, OK
(x)A(x) | A(a), kde a je vhodná konstanta
 Je-li obor pravdivosti AU  ,
pak prvek e*(a) nemusí ležet v AU
 Nezachovává pravdivost !!
x (y) B(x,y) | B(a, b), kde a, b jsou vhodné konstanty
 Jestliže ke každému x existuje y takové, že dvojice <x,y>
leží v BU, nemusí tam ležet právě dvojice <a, b>
 Nezachovává pravdivost !!
Odstranění existenčního kvantifikátoru však zachovává
splnitelnost: je možno interpretovat konstanty a, b tak, aby
byla formule na pravé straně pravdivá, pokud je pravdivá
formule vlevo, proto musíme použít důkaz sporem, tj.
disjunktivní tabla
Sémantická tabla v PL1 – disjunktivní

Příklad. Důkaz logické pravdivosti formule:
|= x [P(x)  Q(x)]  [x P(x)  x Q(x)]


Důkaz sporem (nesplnitelnosti formule):
x [P(x)  Q(x)]  x P(x)  x Q(x)
(pořadí!)
2.
3.
1.
x [P(x)  Q(x)], P(a)  Q(a), P(a), Q(a)
x [P(x)  Q(x)], P(a), P(a), Q(a)
x [P(x)  Q(x)], Q(a), P(a), Q(a)
+
+
Obě větve se uzavřely, jsou nesplnitelné, původní f. je Tautologie
Metoda disjunktivního tabla


|=? x [P(x)  Q(x)]  [x P(x)  x Q(x)]
Znegujeme:
x [P(x)  Q(x)]  x P(x)  x Q(x)
x [P(x)  Q(x)], P(a), Q(b)
P(a)  Q(a), P(b)  Q(b), P(a), Q(b)
P(a), P(b)  Q(b), P(a), Q(b)
1.odstranění  - různé konst. !
2. odstranění  (tj. i pro a,b)
Q(a), P(b)  Q(b), P(a), Q(b)
P(a), P(b), P(a), Q(b) P(a), Q(b), P(a), Q(b)
Q(a), P(b), P(a), Q(b)
Q(a), Q(b), P(a), Q(b)
Formule není logicky pravdivá, 3. větev není uzavřená
Tablo může být nekonečné
F: x y P(x,y)  x P(x,x) 
x y z ([P(x,y)  P(y,z)]  P(x,z))
 Proměnná x je kvantifikována všeobecným
kvantifikátorem
 Musíme tedy „zkoušet všechna x“: a1, a2, a3, …
 Pro y musíme volit vždy jinou konstantu:
P(a1, a2), P(a1, a1)
P(a2, a3), P(a2, a2), P(a2, a1)
P(a3, a4), P(a3, a3), P(a3, a2)
P(a4, a5), P(a4, a4), P(a4, a3)
…
Problém logické pravdivosti není v PL1 rozhodnutelný

Tablo může být nekonečné



1.
2.
F: x y P(x,y)  x P(x,x) 
x y z ([P(x,y)  P(y,z)]  P(x,z))
Jaká je formule F? Je to splnitelná, kontradikce, či logicky pravdivá?
Zkusme najít model:
U=N
PU = relace < (ostře menší)
1 2 3 4 5 ...
Je splnitelná
Může mít formule F konečný model?
U = {a1, a2, a3, ... ? }
K a1 musí existovat prvek a2 takový, že P(a1, a2), a2  a1
K a2 musí existovat prvek a3 takový, že P(a2, a3), a3  a2, ale také a3  a1
jinak by bylo P(a1, a2)  P(a2, a1), tedy P(a1, a1).
K a3 musí existovat prvek a4 takový, že P(a3, a4), a4  a3, ale také a4  a2
jinak by bylo P(a2, a3)  P(a3, a2), tedy P(a2, a2).
Atd. do nekonečna
Platnost úsudku - sporem
x [P(x)  Q(x)]  x Q(x) |= x P(x)
 x [P(x)  Q(x)], x Q(x), x P(x) – sporná?
x [P(x)  Q(x)], Q(a), x P(x)
x [P(x)  Q(x)], x P(x), [P(a)  Q(a)], Q(a),
P(a)
P(a), Q(a), P(a)
Q(a), Q(a), P(a)
+
+
Obě větve se uzavřely, množina předpokladů a
negovaný závěr je sporná, tedy úsudek je platný

Platnost úsudku (sporem)

x [P(x)  Q(x)]  x Q(x) |= x P(x)
Žádná velryba není ryba.
Ryby existují.
-------------------------------------------Některá individua nejsou velryby.

Množina tvrzení:
{Žádná velryba není ryba, ale ryby existují,
všechno jsou velryby}  sporná, úsudek je
platný
Ověření nesplnitelnosti
Jistý holič holí právě ty, kdo se neholí sami
 Holí tento holič sám sebe?
 x y [H(y,y)  H(x,y)] |= ?
H(y,y)  H(a,y), H(y,y)  H(a,y) – odstranění 
H(a,a)  H(a,a), H(a,a)  H(a,a) – odstranění 
H(a,a), H(a,a)  H(a,a), H(a,a), H(a,a)  H(a,a)
H(a,a), H(a,a)
H(a,a), H(a,a) …
+
První věta je sporná, plyne z ní cokoliv. Tedy, takový
holič prostě neexistuje.

Shrnutí – sémantická tabla v PL1






Sémantická tabla používáme pro nepřímý důkaz sporem převodem
do disjunktivní normální formy
(tj. větvení znamená disjunkci, čárka konjunkci)
Problémem jsou uzavřené formule s kvantifikátory, musíme se
kvantifikátorů nějak zbavit
Nejprve odstraníme existenční kvantifikátory tak, že proměnnou
(která není v rozsahu všeobecného kvantifikátoru) nahradíme
novou konstantou, která se ještě v jazyce nevyskytovala
Pak odstraňujeme všeobecné kvantifikátory tak, že proměnnou
nahrazujeme postupně všemi konstantami
Pokud je existenčně vázaná proměnná x v dosahu kvantifikátoru
všeobecného (přes y), musíme za y postupně zkoušet dosazovat
všechny konstanty a za proměnnou x dosazovat vždy novou
konstantu
Pokud se tablo uzavře, je formule či množina formulí sporná
Příklady na sémantická tabla
|= xy P(x,y)  yx P(x,y)
 negace: xy P(x,y)  yx P(x,y)
yP(a,y), xP(x,b)
x/a, y/b (pro všechna, tedy i pro a, b)
P(a,b), P(a,b)
+

Příklady na sémantická tabla


|= [x P(x)  x Q(x)]  x [P(x)  Q(x)]
negace: [x P(x)  x Q(x)]  x [P(x)  Q(x)]
x P(x), P(a), Q(a)
x Q(x), P(a), Q(a)
xP(x),P(a),P(a),Q(a)
+
xQ(x),Q(a),P(a),Q(a)
+
Gottlob Frege






Friedrich Ludwig Gottlob Frege (b. 1848, d. 1925) was a German
mathematician, logician, and philosopher who worked at the University of
Jena.
Frege essentially reconceived the discipline of logic by constructing a
formal system which, in effect, constituted the first ‘predicate calculus’. In
this formal system, Frege developed an analysis of quantified statements
and formalized the notion of a ‘proof’ in terms that are still accepted today.
Frege then demonstrated that one could use his system to resolve
theoretical mathematical statements in terms of simpler logical and
mathematical notions. Bertrand Russell showed that the axioms that Frege
later added to his system, in the attempt to derive significant parts of
mathematics from logic, proved to be inconsistent.
Nevertheless, his definitions (of the predecessor relation and of the
concept of natural number) and methods (for deriving the axioms of
number theory) constituted a significant advance. To ground his views about
the relationship of logic and mathematics, Frege conceived a
comprehensive philosophy of language that many philosophers still find
insightful. However, his lifelong project, of showing that mathematics was
reducible to logic, was not successful.
Stanford Encyclopedia of Philosophy
42
http://plato.stanford.edu/entries/frege/
Bertrand Russell


1872-1970
Britský filosof, logik,
esejista
Bertrand Russell
Bertrand Arthur William Russell (b.1872 - d.1970) was
a British philosopher, logician, essayist, and social
critic, best known for his work in mathematical logic
and analytic philosophy. His most influential
contributions include his defense of logicism (the
view that mathematics is in some important sense
reducible to logic), and his theories of definite
descriptions and logical atomism. Along with G.E.
Moore, Russell is generally recognized as one of the
founders of analytic philosophy. Along with Kurt
Gödel, he is also regularly credited with being one
of the two most important logicians of the twentieth
century.
Kurt Gödel (1906-Brno, 1978-Princeton)
Největší logik 20. století, přítel A. Einsteina,
proslavil se větami o neúplnosti teorie aritmetiky
Russell's Paradox


Russell's paradox is the most famous of the
logical or set-theoretical paradoxes. The
paradox arises within naive set theory by
considering the set of all sets that are not
members of themselves. Such a set appears
to be a member of itself if and only if it is not
a member of itself, hence the paradox.
http://plato.stanford.edu/entries/russellparadox/
Russell's Paradox
Some sets, such as the set of all teacups, are not
members of themselves. Other sets, such as the set
of all non-teacups, are members of themselves. Call
the set of all sets that are not members of
themselves "R." If R is a member of itself, then by
definition it must not be a member of itself. Similarly,
if R is not a member of itself, then by definition it
must be a member of itself. Discovered by Bertrand
Russell in 1901, the paradox has prompted much
work in logic, set theory and the philosophy and
foundations of mathematics.
Russell's Paradox
R – množina všech normálních množin, které nejsou
prvky sebe sama
Otázka: Je R  R? Je R normální? vede ke sporu.
 Symbolicky: xR  (xx) – definice množiny R
 Položená otázka Je R  R? vede ke sporné formuli
(kontradikci):
 RR  RR, neboť:
 Odpověď Ano – R není normální (RR), pak dle
definice množiny R nemá být R prvkem R, tj. RR
 Odpověď Ne – R je normální (RR), pak je ale dle
definice RR
(R je množina všech normálních množin)
Russell wrote to Gottlob Frege with news of his
paradox on June 16, 1902. The paradox was of
significance to Frege's logical work since, in effect, it
showed that the axioms Frege was using to
formalize his logic were inconsistent.
Specifically, Frege's Rule V, which states that two sets
are equal if and only if their corresponding functions
coincide in values for all possible arguments,
requires that an expression such as f(x) be
considered both a function of the argument x and a
function of the argument f. In effect, it was this
ambiguity that allowed Russell to construct R in
such a way that it could both be and not be a
member of itself.
Russell's Paradox
Russell's letter arrived just as the second volume of Frege's Grundgesetze der
Arithmetik (The Basic Laws of Arithmetic, 1893, 1903) was in press.
Immediately appreciating the difficulty the paradox posed, Frege added to the
Grundgesetze a hastily composed appendix discussing Russell's discovery.
In the appendix Frege observes that the consequences of Russell's paradox
are not immediately clear. For example, "Is it always permissible to speak of
the extension of a concept, of a class? And if not, how do we recognize the
exceptional cases? Can we always infer from the extension of one concept's
coinciding with that of a second, that every object which falls under the first
concept also falls under the second? These are the questions," Frege notes,
"raised by Mr Russell's communication." Because of these worries, Frege
eventually felt forced to abandon many of his views about logic and
mathematics.
Of course, Russell also was concerned about the contradiction. Upon learning
that Frege agreed with him about the significance of the result, he
immediately began writing an appendix for his own soon-to-be-released
Principles of Mathematics. Entitled "Appendix B: The Doctrine of Types," the
appendix represents Russell's first detailed attempt at providing a principled
method for avoiding what was soon to become known as "Russell's paradox."
50
Russell's Paradox
The significance of Russell's paradox can be seen once it is realized that, using
classical logic, all sentences follow from a contradiction. For example, assuming both
P and ~P, any arbitrary proposition, Q, can be proved as follows: from P we obtain P
Q by the rule of Addition; then from P Q and ~P we obtain Q by the rule of Disjunctive
Syllogism. Because of this, and because set theory underlies all branches of
mathematics, many people began to worry that, if set theory was inconsistent, no
mathematical proof could be trusted completely.
Russell's paradox ultimately stems from the idea that any coherent condition may be used
to determine a set. As a result, most attempts at resolving the paradox have
concentrated on various ways of restricting the principles governing set existence
found within naive set theory, particularly the so-called Comprehension (or Abstraction)
axiom. This axiom in effect states that any propositional function, P(x), containing x as
a free variable can be used to determine a set. In other words, corresponding to every
propositional function, P(x), there will exist a set whose members are exactly those
things, x, that have property P. It is now generally, although not universally, agreed
that such an axiom must either be abandoned or modified.
Russell's own response to the paradox was his aptly named theory of types. Recognizing
that self-reference lies at the heart of the paradox, Russell's basic idea is that we can
avoid commitment to R (the set of all sets that are not members of themselves) by
arranging all sentences (or, equivalently, all propositional functions) into a hierarchy.
The lowest level of this hierarchy will consist of sentences about individuals. The next
lowest level will consist of sentences about sets of individuals. The next lowest level
will consist of sentences about sets of sets of individuals, and so on. It is then possible
to refer to all objects for which a given condition (or predicate) holds only if they are all
at the same level or of the same "type."
51
Russell’s paradox – 3 solutions
Russell's own response to the paradox was his aptly named theory of types.
Recognizing that self-reference lies at the heart of the paradox, Russell's basic
idea is that we can avoid commitment to R (the set of all sets that are not
members of themselves) by arranging all sentences (or, equivalently, all
propositional functions) into a hierarchy. The lowest level of this hierarchy will
consist of sentences about individuals. The next lowest level will consist of
sentences about sets of individuals. The next lowest level will consist of
sentences about sets of sets of individuals, and so on. It is then possible to
refer to all objects for which a given condition (or predicate) holds only if they
are all at the same level or of the same "type."
This solution to Russell's paradox is motivated in large part by the so-called
vicious circle principle, a principle which, in effect, states that no
propositional function can be defined prior to specifying the function's range. In
other words, before a function can be defined, one first has to specify exactly
those objects to which the function will apply. (For example, before defining the
predicate "is a prime number," one first needs to define the range of objects
that this predicate might be said to satisfy, namely the set, N, of natural
numbers.) From this it follows that no function's range will ever be able to
include any object defined in terms of the function itself. As a result,
propositional functions (along with their corresponding propositions) will end up
being arranged in a hierarchy of exactly the kind Russell proposes.
52
Russell’s paradox – 3 solutions
Although Russell first introduced his theory of types in his 1903 Principles of Mathematics,
type theory found its mature expression five years later in his 1908 article, "Mathematical
Logic as Based on the Theory of Types," and in the monumental work he co-authored
with Alfred North Whitehead, Principia Mathematica (1910, 1912, 1913). Russell's
type theory thus appears in two versions: the "simple theory" of 1903 and the "ramified
theory" of 1908. Both versions have been criticized for being too ad hoc to eliminate the
paradox successfully. In addition, even if type theory is successful in eliminating
Russell's paradox, it is likely to be ineffective at resolving other, unrelated paradoxes.
Other responses to Russell's paradox have included those of David Hilbert and the
formalists (whose basic idea was to allow the use of only finite, well-defined and
constructible objects, together with rules of inference deemed to be absolutely certain),
and of Luitzen Brouwer and the intuitionists (whose basic idea was that one cannot
assert the existence of a mathematical object unless one can also indicate how to go
about constructing it).
Yet a fourth response was embodied in Ernst Zermelo's 1908 axiomatization of set theory.
Zermelo's axioms were designed to resolve Russell's paradox by again restricting the
Comprehension axiom in a manner not dissimilar to that proposed by Russell. ZF and
ZFC (i.e., ZF supplemented by the Axiom of Choice), the two axiomatizations generally
used today, are modifications of Zermelo's theory developed primarily by Abraham
Fraenkel.
53