Transcript Pre-algebra

Pre-algebra
Antonín Jančařík
Opakování – Negace implikace
Státní zástupce:
Pokud je obžalovaný vinen, pak měl společníka.
Obhájce:
To není pravda !
Pomohl obhájce obžalovanému, co vlastně
řekl?
(Je vinen a udělal to sám!)
Nejdůležitější tautologie VL
|=
|=
|=
|=
pp
p  p
zákon vyloučen→ho třetího
(p  p) zákon sporu
p  p
zákon dvojí negace
Co je to logika?
Logika je věda o správném usuzování,
neboli o umění správné argumentace
Co je to úsudek (argument)?
Úsudek: na základě pravdivosti předpokladů (premis) P1,...,Pn je
možno soudit, že je pravdivý i závěr Z:
P1, ..., Pn

Z
Příklad: Na základě toho, že je středa, soudím, že se koná
přednáška „Pre-algebry“: středa  přednáška
Platón
Aristoteles (vpravo)
Za zakladatele logiky je považován
Aristoteles
(384–322 př.n.l).
Založil takzvanou sylogistickou logiku.
Aristotelovská logika je popsána
v šestici knih nazvané Organon.
Princip sylogismu se nejlépe vysvětlí
na příkladu:
Premisa 1: Každý člověk je smrtelný.
Premisa 2: Aristoteles je člověk.
Závěr: Aristoteles je smrtelný.
Scholastika
• Pojem scholastika vychází z latinského slova
scholasticus (resp. řeckého σχολαστικός), což
znamená „školský, patřící škole“, popř. „školák“
(učitel i žák).
• Odkazuje jednak ke specifickému způsobu
filosofického myšlení, jednak k epoše
středověké filosofie, která bývá vymezována
11.–15. stoletím. n. l., kdy byla scholastická
filosofie rozvíjena zejména na univerzitách
západní Evropy.
William Ockham
• William Ockham (také Occam, 1287-1347)
byl anglický františkánský mnich a teolog,
významný logik, nominalistický filosof a
středověký politický myslitel.
• Za nejzajímavější z jeho spisů je
považován Summa logiky.
George Boole
• George Boole (1815 –1864)
• Britský matematik a filosof.
• Položil základní kameny
logiky, jako matematické
disciplíny.
Augustus De Morgan
• Augustus De Morgan
(1806 -1871)
• Britský matematik.
• Představil formální
verze zákonů
v klasické výrokové
logice.
Výrokové formule
Pravdivostní hodnota
• Pravdivostní hodnota výroku je definována
pomocí zobrazení do množiny {0,1}. Toto
zobrazení je definováno na atomických
formulích a dále rozšířeno pomocí následujících
pravidel:
• w(A) = v(A) je-li A atomická formule.
• w(¬A) = 1 je-li w(A) = 0.
• w(¬A) = 0 je-li w(A) = 1.
• w(A → B) = 0 pokud w(A) = 1 a w(B) = 0.
• w(A → B) = 1 pokud w(A) = 0 nebo w(B) = 1.
Axiomatický přístup
•
•
•
•
|= A → (B → A)
|=(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
|= (¬B → ¬A) → (A → B)
A odvozovací pravidlo Modus Ponens:
– Jestliže A platí a A → B platí, pak B platí.
Důkaz
• Důkazem výrové formule A nazveme
konečnou posloupnost A1,…,An, jestliže
pro každé i menší nebo rovné než n je Ai
buď závěr odvozovacího pravidla, jehož
předpoklady jsou mezi A1 a Ai-1, nebo
axiom a A= An.
• Jestliže existuje důkaz výrokové formule
A, říkáme o této formuli, že je dokazatelná.
Zákony pro implikaci
|=
|=
|=
|=
|=
p → (q → p)
(p  p) → q
(p → q)  (q → p)
(p → (q → r))  ((pq) → r)
(p → (q → r))  (q → (p → r))
zákon simplifikace
zákon Dunse Scota
zákon kontrapozice
spojování předpokladů
na pořadí předpokladů nezáleží
|= (p → q) → ((q → r) → (p → r))
|= ((p → q)  (q → r)) → (p → r)
|= (p → (q → r))  ((p → q) → (p → r))
hypotetický sylogismus
tranzitivita implikace
Fregův zákon
|= (p → p) → p
|= ((p → q)  (p → q)) → p
reductio ad absurdum
reductio ad absurdum
|= (p  q) → p , |= (p  q) → q
|= p → (p  q) , |= q → (p  q)
Algebraické zákony pro konjunkci,
disjunkci a ekvivalenci
• |= (p  q)  (q  p)
• |= (p  q)  (q  p)
• |= (p  q)  (q  p)
komutativní zákon pro 
komutativní zákon pro 
komutativní zákon pro 
• |= [(p  q)  r]  [p  (q  r)]
• |= [(p  q)  r]  [p  (q  r)]
• |= [(p  q)  r]  [p  (q  r)]
asociativní zákon pro 
asociativní zákon pro 
asociativní zákon pro 
• |= [(p  q)  r]  [(p  r)  (q  r)]
• |= [(p  q)  r]  [(p  r)  (q  r)]
distributivní zákon pro , 
distributivní zákon pro , 
Zákony pro převody
|=
|=
|=
|=
|=
|=
|=
(p  q)  (p → q)  (q → p)
(p  q)  (p  q)  (q  p)
(p  q)  (p  q)  (q  p)
(p → q)  (p  q)
(p → q)  (p  q) Negace implikace
(p  q)  (p  q) De Morgan zákony
(p  q)  (p  q) De Morgan zákony
Tyto zákony jsou návodem jak negovat.
Ukázka použití
Jestliže má Karel vysoký tlak a špatně se
mu dýchá nebo má zvýšenou teplotu, pak
je nemocen.
Karel není nemocen, ale špatně se mu
dýchá.
 Co z toho plyne?
Musíme rozlišit 1. čtení a 2. čtení, protože
nejsou ekvivalentní, závěry budou různé.
Analýza 1. čtení
1. analýza: [(p  q)  r] → s, s, q  ???
a) Úvahou a úpravami:
[(p  q)  r] → s, s   [(p  q)  r] 
transpozice
(de Morgan)
(p  q)  r  (p  q), r,
ale platí q  p, r (důsledky)
Tedy  Karel nemá vysoký tlak a nemá
vysokou teplotu.
Analýza 2. čtení
2. analýza: [p  (q  r)] → s, s, q  ???
a) Úvahou a ekvivalentními úpravami:
[p  (q  r)] → s, s   [p  (q  r)] 
transpozice
de Morgan:
p  (q  r)  ale platí q  druhý disjunkt
nemůže být pravdivý  je pravdivý první:
p (důsledek)
Tedy  Karel nemá vysoký tlak
(o jeho teplotě r nemůžeme nic usoudit)
Predikátová logika
Predikátová logika
• Pojmem predikátová logika označuje formální
odvozovací systém používaný k popisu
matematických teorií a vět.
• Predikátová logika je rozšířením výrokové logiky
(ta nedokáže vyjádřit některá složitější tvrzení o
matematických strukturách). Do této logiky
přidává kvantifikátory, vztah predikát-individuum
a operátory.
• Individuum je prvek z nějaké množiny a predikát
je relace na této množině.
Formální jazyk PL1
Abeceda
• Logické symboly
– individuové proměnné: x, y, z, ...
– Symboly pro spojky: , , , →,↔
– Symboly pro kvantifikátory: , 
• Speciální symboly
– Predikátové: Pn, Qn, ...
– Funkční: fn, gn, hn, ...
n – arita = počet
argumentů
-- „ --
• Pomocné symboly: závorky (, ), ...
Formální jazyk PL1
Gramatika
•
termy:
každý symbol proměnné x, y, ... je term
ii. jsou-li t1,…,tn (n  0) termy a je-li f n-ární
funkční symbol, pak výraz f(t1,…,tn) je term;
pro n = 0 se jedná o individuovou konstantu
(značíme a, b, c, …)
iii. jen výrazy dle i. a ii. jsou termy
i.
Formální jazyk PL1
Gramatika
•
atomické formule:
–
•
je-li P n-ární predikátový symbol a jsou-li t1,…,tn termy,
pak výraz P(t1,…,tn) je atomická formule
formule:
–
–
–
–
každá atomická formule je formule
je-li výraz A formule, pak A je formule
jsou-li výrazy A a B formule, pak výrazy
(A  B), (A  B), (A →B), (A ↔ B) jsou formule
je-li x proměnná a A formule, pak výrazy
x A a x A jsou formule
24
Kvantifikátory
• Při formulování výroků v běžné řeči velice
často používáme kvantifikátory a to jak
přímo, tak i nepřímo.
• Je rozdíl mezi výroky:
– Každý pes má čtyři nohy.
– Skoro každý pes má čtyři nohy.
– Existuje pes, který má čtyři nohy.
– Právě jeden pes má čtyři nohy.
Kvantifikátory
• Ve výrokové logice používáme dva
kvantifikátory – existenční (malý)
kvantifikátor (∃) a Univerzální kvantifikátor
(∀) (také obecný či velký kvantifikátor).
Existenční (malý) kvantifikátor (∃)
• Pomocí malého existenčního
kvantifikátoru vyjadřujeme skutečnost,
že existuje (alespoň) jeden objekt,
splňující podmínky následující za
kvantifikátorem. Pokud takový prvek
existuje, je výrok pravdivý. Pokud takový
prvek neexistuje, je výrok nepravdivý.
Univerzální kvantifikátor (∀)
• Pomocí malého univerálního kvantifikátoru
vyjadřujeme skutečnost, že všechny objekty
splňující podmínky následující za kvantifikátorem.
Pokud neexistuje prvek, nesplňující podmínku,
je výrok pravdivý. Pokud takový prvek existuje,
je výrok nepravdivý.
• Podmínky uvedené univerzálním kvantifikátorem
jsou triviálně splněny na prázdné množině.
Převod z přirozeného jazyka
•
•
•
•
•
•
„všichni“, „žádný“, „nikdo“, ...

„někdo“, „něco“, „někteří“, „existuje“, ...

Větu musíme často ekvivalentně přeformulovat
Pozor: v češtině dvojí zápor !
Žádný student není důchodce: x [S(x) → D(x)]
Ale, „všichni studenti nejsou důchodci“ čteme jako „ne
všichni studenti jsou důchodci“:
x [S(x) → D(x)]
x [S(x)  D(x)]
Příklad: jazyk aritmetiky
– Má tyto (speciální) funkční symboly:
• nulární symbol: 0 (konstanta nula) –
– konstanta je nulární funkční symbol
• unární symbol: s (funkce následník)
• binární symboly: + a  (funkce sčítání a násobení)
– Příkladem termů jsou (používáme infixní notaci pro + a ):
• 0, s(x), s(s(x)), (x + y)  s(s(0)), atd.
– Formulemi jsou např. výrazy
(= je zde speciální predikátový symbol):
• s(0) = (0  x) + s(0)