Transcript KOMBINATORIKA 2

KOMBINATORIKA 2
• VARIACE k-té TŘÍDY Z n PRVKŮ S OPAKOVÁNÍM
-jsou uspořádané k-tice tvořené z prvků dané
n-prvkové množiny, přičemž se kterýkoli prvek
Může v k-tici libovolně opakovat.
Počet variací s opakováním: V k' ( n )  n k
Příklad:Kolika způsoby lze zvolit heslo trezoru,
může-li být na kterémkoli místě libovolné
písmeno abecedy?
Řešení:
V ( 26 )  26
'
5
5
KOMBINATORIKA 2
• KOMBINACE k-té TŘÍDY Z n PRVKŮ BEZ
OPAKOVÁNÍ (k-prvkové kombinace z n-prvkové
množiny)
- jsou libovolné k-prvkové podmnožiny dané
n-prvkové množiny. Na pořadí prvků v podmnožině – k-tici –nezáleží, žádný se v ní neopakuje.
KOMBINATORIKA 2
Počet kombinací k-té třídy je proto menší než
počet variací k-té třídy z téže množiny: vždy k!
Variací lišících se pouze pořadím vybraných
prvků představuje tutéž kombinaci.
C k (n) 
Vk (n)
k!

n!
( n  k )!k !
toto číslo se nazývá kombinační číslo (nebo také
binomický koeficient a označuje se  n 
 
k 
KOMBINATORIKA 2
• Příklad
Kolika způsoby lze vyplnit tiket Sportky pro
1 tah?
Řešení:
Vybíráme šestici z 49 různých čísel (nezáleží na
Pořadí, v němž je zaškrtáváme)
C 6 ( 49 ) 
49  48  47  46  45  44
6  5  4  3  2 1
6
  
2
KOMBINATORIKA 2
• KOMBINACE k-té TŘÍDY S OPAKOVÁNÍM Z
PRVKŮ p DRUHŮ
- jsou k prvkové množiny vybírané z množiny,
kde jsou prvky p různých druhů, přičemž od
každého druhu je nejméně k prvků.
Počet takových výběrů je :
 k  p  1

C ( p )  
k

'
k
KOMBINATORIKA 2
• Příklad
V prodejně mají 3 druhy limonád. Máme koupit
4 lahve limonády . Kolika způsoby můžeme
Nákup provést?
Řešení: p  3
k 4
6
C ( 3 )   
4
'
4
KOMBINATORIKA 2
• VLASTNOSTI KOMBINAČNÍCH ČÍSEL
n
- Kombinační číslo   je definováno pro k celé
k 
nezáporné a n≥k.
n
- Pro každé přirozené číslo n je  0   1
 
- Pro každá n, k pro něž je definováno
kombinační číslo, platí:
n n

   

k  n  k 
KOMBINATORIKA 2
-Pro libovolná celá, nezáporná čísla k,n kde k je
Menší než n platí:  n    n    n  1 
k 
 k  1
 k  1
n
 
k 
-Tabulka existujících kombinačních čísel
pro
n=0,1,2…. se nazývá Pascalův trojúhelník
(každé číslo kromě okrajových 1 je součtem čísel
vlevo a vpravo nad zvolenou pozicí)
KOMBINATORIKA 2
• Binomický koeficient (kombinační číslo)
Pro k≤n přirozená
 n  n  ( n  1)  ( n  2 )...( n  k  1)
n!
  

k!
( n  k )! k !
k 