KOMBINATORIKA 2
Download
Report
Transcript KOMBINATORIKA 2
KOMBINATORIKA 2
• VARIACE k-té TŘÍDY Z n PRVKŮ S OPAKOVÁNÍM
-jsou uspořádané k-tice tvořené z prvků dané
n-prvkové množiny, přičemž se kterýkoli prvek
Může v k-tici libovolně opakovat.
Počet variací s opakováním: V k' ( n ) n k
Příklad:Kolika způsoby lze zvolit heslo trezoru,
může-li být na kterémkoli místě libovolné
písmeno abecedy?
Řešení:
V ( 26 ) 26
'
5
5
KOMBINATORIKA 2
• KOMBINACE k-té TŘÍDY Z n PRVKŮ BEZ
OPAKOVÁNÍ (k-prvkové kombinace z n-prvkové
množiny)
- jsou libovolné k-prvkové podmnožiny dané
n-prvkové množiny. Na pořadí prvků v podmnožině – k-tici –nezáleží, žádný se v ní neopakuje.
KOMBINATORIKA 2
Počet kombinací k-té třídy je proto menší než
počet variací k-té třídy z téže množiny: vždy k!
Variací lišících se pouze pořadím vybraných
prvků představuje tutéž kombinaci.
C k (n)
Vk (n)
k!
n!
( n k )!k !
toto číslo se nazývá kombinační číslo (nebo také
binomický koeficient a označuje se n
k
KOMBINATORIKA 2
• Příklad
Kolika způsoby lze vyplnit tiket Sportky pro
1 tah?
Řešení:
Vybíráme šestici z 49 různých čísel (nezáleží na
Pořadí, v němž je zaškrtáváme)
C 6 ( 49 )
49 48 47 46 45 44
6 5 4 3 2 1
6
2
KOMBINATORIKA 2
• KOMBINACE k-té TŘÍDY S OPAKOVÁNÍM Z
PRVKŮ p DRUHŮ
- jsou k prvkové množiny vybírané z množiny,
kde jsou prvky p různých druhů, přičemž od
každého druhu je nejméně k prvků.
Počet takových výběrů je :
k p 1
C ( p )
k
'
k
KOMBINATORIKA 2
• Příklad
V prodejně mají 3 druhy limonád. Máme koupit
4 lahve limonády . Kolika způsoby můžeme
Nákup provést?
Řešení: p 3
k 4
6
C ( 3 )
4
'
4
KOMBINATORIKA 2
• VLASTNOSTI KOMBINAČNÍCH ČÍSEL
n
- Kombinační číslo je definováno pro k celé
k
nezáporné a n≥k.
n
- Pro každé přirozené číslo n je 0 1
- Pro každá n, k pro něž je definováno
kombinační číslo, platí:
n n
k n k
KOMBINATORIKA 2
-Pro libovolná celá, nezáporná čísla k,n kde k je
Menší než n platí: n n n 1
k
k 1
k 1
n
k
-Tabulka existujících kombinačních čísel
pro
n=0,1,2…. se nazývá Pascalův trojúhelník
(každé číslo kromě okrajových 1 je součtem čísel
vlevo a vpravo nad zvolenou pozicí)
KOMBINATORIKA 2
• Binomický koeficient (kombinační číslo)
Pro k≤n přirozená
n n ( n 1) ( n 2 )...( n k 1)
n!
k!
( n k )! k !
k