Transcript B - Lide na UHK

Pravděpodobnost - úvod
Teorie pravděpodobnosti
• modeluje děje, v nichž hraje roli náhoda
• náhodný pokus - konečný děj, jehož
výsledek závisí kromě jiných okolností
také na náhodě
Příklady: hod kostkou, tah Sportky, …
Základní pojmy
• Základní prostor Ω – množina všech
možných výsledků náhodného pokusu
Ω = {1, 2, 3, …}
• Náhodné jevy – libovolné podmnožiny
množiny Ω
značíme je A, B, C, …
• Příklad (hod kostkou):
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
jev A = {1, 3, 5} – „padne liché číslo“
Zvláštní typy jevů
• Nemožný jev  – za daných podmínek
nenastane nikdy
• Jistý jev Ω – za daných podmínek
nastane vždy
• Příklad (hod kostkou):
 – „padne záporné číslo“
Ω – „ padne číslo menší než 7“
Operace s jevy
Podjev
AB
B
A

A  B    A    B 
Průnik jevů
AB
A
AB
B

A  B     A    B 
Sjednocení jevů
AB
A
AB
B

A  B     A    B 
Doplněk jevu
A
A
A

A      A 
Rozdíl jevů
A-B
A
B
A-B

A - B = A  B
A-B =
ω
ω  A  ω  B
Disjunktní jevy
A  B =
B
A

Příklad – operace s jevy
Hod dvěma kostkami (červenou a modrou)
Ω – všechny možné výsledky
A – na dvou kostkách padne součet 9
B – na modré kostce padne šestka
A
B
11 12 13 14 15 16
AB=
21 22 23 24 25 26
AB=
31 32 33 34 35 36
A–B=
41 42 43 44 45 46
B–A=
51 52 53 54 55 56
A’ =
61 62 63 64 65 66
B’ =
Jak definovat
pravděpodobnost?
Klasická definice pravděpodobnosti
Založena na předpokladu, že všechny výsledky
náhodného pokusu jsou stejně možné
(rovnocenné).
P(A) 
A
Ω
Počet výsledků
příznivých jevu A
Počet všech možných
výsledků
Klasická definice pravděpodobnosti
• Příklad: Určete pravděpodobnosti jevů:
A - při hodu dvěma mincemi padne
alespoň jeden líc;
B - při hodu dvěma mincemi padne právě
jeden líc.
Statistická definice pravděpodobnosti
Počet realizací pokusu
příznivých jevu A
P ( A )  lim
n 
n( A)
n
Počet všech realizací
pokusu
Příklad: Relativní četnosti "narození chlapce"
z celkového počtu živě narozených dětí
v Československu v letech 1966-1975
Rok
Počet živě
narozených dětí
Relativní četnost jevu
"narození chlapce"
1966
222 615
0,5131
1967
215 985
0,5146
1968
213 807
0,5138
1969
222 934
0,5145
1970
228 531
0,5125
1971
237 242
0,5134
1972
251 455
0,5133
1973
274 703
0,5144
1974
291 367
0,5135
1975
289 425
0,5108
2 448 064
0,5133
Celkem
Geometrická pravděpodobnost
Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ,
kdy počet všech možných výsledků náhodného
pokusu je nespočetný.
V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána
určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A.
Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně
zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je:
P  A 
A

Příklad: Tramvaj jezdí v 10 minutových
intervalech. Jaká je pravděpodobnost, že Petr,
který nezná jízdní řád, bude na tramvaj čekat déle
než 3 minuty?
A

P ( A) 
7
10
 0 , 70
Úloha – geometrická pravděpodobnost
Dva turisté se dohodli, že se sejdou na Sněžce první jarní
den mezi desátou a jedenáctou hodinou. Každý z nich
vystoupí na vrchol a počká 20 minut na druhého. Jaká je
pravděpodobnost, že se za těchto podmínek setkají,
jestliže pro oba předpokládáme stejnou možnost příchodu
v kterémkoliv okamžiku mezi desátou a jedenáctou
hodinou?
0
0
Axiomatická (Kolmogorova)
definice pravděpodobnosti
• Definuje pojem pravděpodobnosti pomocí tří základních
axiomů:
Ω ... prostor elementárn
ích jevů
A ... jevové pole (systém podmmnožin
1. P ( A )  0 ,
Ω)
A A
2. P (  )  1
3. jestliže
A  B   potom
A A, B  A
P ( A  B )  P ( A )  P ( B ),
Odvozené vztahy
1. P (  )  0
2. jestliže
A  B potom
P ( B  A)  P ( B )  P ( A)
3. P ( A  B )  P ( A )  P ( B )  P ( A  B )
4. P ( A  )  1  P ( A )
Příklad – operace s jevy
Hod dvěma kostkami (červenou a modrou)
Ω – všechny možné výsledky
A – na dvou kostkách padne součet 9
B – na modré kostce padne šestka
A
B
11 12 13 14 15 16
P(A  B) =
21 22 23 24 25 26
P(A  B) =
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
P(A’) =
51 52 53 54 55 56
P(B’) =
61 62 63 64 65 66
Úlohy – operace s jevy
1. V osudí je 7 bílých koulí a 3 černé. Náhodně
vylosujeme dvě koule. Jaká je
pravděpodobnost, že
a) budou obě bíle;
b) bude jedna bílá a jedna černá;
c) budou obě černé?
2. Hodíme 3 kostkami. Jaká je pravděpodobnost,
že padne součet 6? Jaký součet padne s
nejvyšší pravděpodobností?
Úlohy – operace s jevy
3. Deset studentů, mezi nimiž je Adam a
Břetislav mají ze svého středu vylosovat
tříčlennou komisi. Jaká je pravděpodobnost, že
a) v komisi bude Adam i Břetislav;
b) v komisi nebude žádný z nich;
c) v komisi bude alespoň jeden z nich?
4. Jaká je pravděpodobnost, že při tahu Sportky
bude taženo alespoň jedno jednociferné číslo?
Podmíněná pravděpodobnost
P( A | B) 
P( A  B)
,
A, B  Ω , P ( B )  0
P(B)
Příklad: Hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne
číslo větší než 3 za podmínky, že padlo liché číslo.
Ω  {1, 2 ,3 , 4 , 5 , 6}
A  { 4 , 5 , 6}
P ( A )  0 ,5
B  {1,3 , 5}
P ( B )  0 ,5
P ( A  B )  P ({ 5})  1 / 6
P(A | B) 
1/ 6
0 .5

1
3
Podmíněná pravděpodobnost
a nezávislost
P ( A  B )  P ( A)  P ( B | A)  P ( B )  P ( A | B )
Jevy A a B se nazývají nezávislé, jestliže
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )
Příklad: Jsou jevy A a B nezavislé?
  {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
A  { 4 ,5 , 6}
B  {1, 3 , 5}
P ( A )  0 ,5
P ( B )  0 ,5
P ( A  B )  P ({ 5})  1 / 6  jsou závislé
Podmíněná pravděpodobnost
Příklad: Finále soutěže Miss se účastní dvanáct dívek.
Podle předběžných anket se zdá, že největší šance zvítězit
mají dívky Kateřina, Lucie a Markéta.
Kateřině je předpovídáno vítězství s pravděpodobností
0,2, Lucii s pravděpodobností 0,1 a Markétě
s pravděpodobností 0,3. Těsně před začátkem finále se
však Kateřina rozhodne odstoupit ze soutěže.
Jak se změní pravděpodobnosti vítězství Lucie a Markéty?
Jsou jevy A a B nezavislé?
Podmíněná pravděpodobnost
Příklad: Výstřední profesor matematiky zkouší každou hodinu
jednoho chlapce a jednu dívku.
Přitom používá následující metodu: Má připravenu krabici,
která obsahuje 3 černé lístky s velmi obtížnými úlohami
a 6 bílých lístků se snadnými úlohami. Každý ze studentů si
musí jeden z lístků vylosovat. Vylosované lístky se již do
krabice nevrací. Ke zkoušení byli vybráni studenti Jirka a Petra.
a) Jestliže Jirka losuje jako první a vytáhne si bílý lístek,
jaká je pravděpodobnost, že si bílý lístek vytáhne i Petra?
b) Jestliže Jirka losuje jako první a vytáhne si černý lístek,
jaká je pravděpodobnost, že si Petra vytáhne bílý lístek?
c) Jirka je zamilovaný do Petry a proto je ochoten přijmout
obtížnou úlohu, jen aby zvýšil šance Petry na získání
snadné úlohy. Měl by losovat jako první, nebo nechat Petru,
aby jako první losovala ona?
Podmíněná pravděpodobnost
Příklad: V žaláři je vězeň odsouzený k trestu smrti. Výstřední
Žalářník¨však dá vězni šanci. Přinese mu 12 černých
a 12 bílých kuliček. Pak mu dá dvě prázdné urny. Sdělí mu,
že zítra příjde kat, náhodně si vybere jednu urnu a z ní
náhodně vybere jednu kuličku. Bude-li bílá, dostane vězeň
milost. V opačném případě bude ortel neprodleně vykonán.
Jak má vězeň rozdělit kuličky do uren, aby maximalizoval
pravděpodobnost svého osvobození?
Úplný systém po dvou disjunktních jevů
A1
A3
A2
A5
A4
A6

Věta o úplné pravděpodobnosti
B1
B2
B5
A
B4
B3


P  A   P    A  B i   
 i


B6
 P  A  B    P  A B  P B 
i
i
i
i
i
Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek.
Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je
pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé
vlasy?
70%
30%
Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek.
Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je
pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé
vlasy?
70%
30%
80%
20%
Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek.
Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je
pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé
vlasy?
10%
90%
70%
30%
80%
20%
P  DV
  P  DV
 D   P  DV  CH
P  DV
P  DV CH
P CH

  P  DV
D   P  D   P  DV CH   P CH
  0 ,8  0 ,3  0 ,1  0 ,7  0 ,31
  0 ,1
P  KV CH
  0 ,9
0 ,7
0,07
P  D   0 ,3
0,63
0,24
P  DV D   0 ,8
0,06
P  KV D   0 ,2

Rozhodovací strom
Délka vlasů
Pohlaví
P  DV CH
P CH

0 ,7
Studenti
P  D   0 ,3
  0 ,1
DV
P CH  DV
  0 ,7  0 ,1  0 ,07
KV
P CH  KV
  0 ,7  0 ,9  0 ,63
DV
P  D  DV
  0 ,3  0 ,8  0 ,24
KV
P  D  KV
  0 ,3  0 ,2  0 ,06
CH
P  KV CH
  0 ,9
P  DV D   0 ,8
D
P  KV D   0 ,2
P  DV
  P  DV
 D   P  DV  CH
P  DV
  0 ,24  0 ,07
P CH

0 ,7
Studenti
P  D   0 ,3
 P  DV D   P  D   P  DV CH   P CH

 0 ,8  0 ,3  0 ,1  0 ,7  0 ,31
Délka vlasů
Pohlaví
P  DV CH

  0 ,1
DV
P CH  DV
  0 ,7  0 ,1  0 ,07
KV
P CH  KV
  0 ,7  0 ,9  0 ,63
DV
P  D  DV
  0 ,3  0 ,8  0 ,24
KV
P  D  KV
  0 ,3  0 ,2  0 ,06
CH
P  KV CH
  0 ,9
P  DV D   0 ,8
D
P  KV D   0 ,2
Věta o úplné pravděpodobnosti
Příklad: Ve třech osudích jsou bílé a černé koule. V 1. osudí
jsou 2 bílé a 3 černé koule, ve 2. osudí jsou 3 bílé a 4 černé
koule a ve 3. osudí je 5 bílých koulí. Z náhodně zvoleného
osudí vytáhneme jednu kouli. Jaké je pravděpodobnost, že
vytažená koule bude bílá?
Bayesův teorém
Thomas Bayes
(1702 – 1761)
P B k A  
P  A  Bk 
PA

P  A  Bk 
 PA  B 
i
i
Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30%
dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.
a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný
student je chlapec?
70 %
Apriorní pravděpodobnost
Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30%
dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.
b) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy.
Jaká je pravděpodobnost, že náhodně je to
chlapec?
Aposteriorní pravděpodobnost
P  DV
  0 ,8  0 ,3  0 ,1  0 ,7  0 ,31
P CH DV


P CH  DV
P CH

0 ,7
Studenti
P  D   0 ,3


0 ,07
 0 ,226
0 ,31
Výsledek
testu
Daný stav
P  DV CH
P  DV

  0 ,1
DV
P CH  DV
  0 ,7  0 ,1  0 ,07
KV
P CH  KV
  0 ,7  0 ,9  0 ,63
DV
P  D  DV
  0 ,3  0 ,8  0 ,24
KV
P  D  KV
  0 ,3  0 ,2  0 ,06
CH
P  KV CH
  0 ,9
P  DV D   0 ,8
D
P  KV D   0 ,2
Příklad: Ve třídě je 70% procent chlapců a 30%
dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.
b) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy.
Jaká je pravděpodobnost, že je to chlapec?
P CH DV

P CH  DV
P  DV



0 ,07
 0 ,226
0 ,31
Aposteriorní pravděpodobnost
Bayesův teorém
Příklad: Předpokládejme, že z rozsáhlých lékařských výzkumů
víme, že že ve sledované populaci má rakovinu 0,5 % lidí.
Test, kterým se rakovina zjišťuje má senzitivitu 98 %,
tj. jestliže má testovaná osoba rakovinu, potom je výsledek
testu v 98 % případů pozitivní a specificitu 95 %,
tj. jestliže testovaná osoba rakovinu nemá, potom je výslede
testu v 95 % případů negativní.
a) Pacient byl otestován a výsledek testu byl pozitivní.
Jaká je pravděpodobnost, že pacient má rakovinu?
b) Pacient byl otestován a výsledek testu byl negativní.
Jaká je pravděpodobnost, že pacient nemá rakovinu?