Slide 1

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

PRAVDĚPODOBNOST

Mgr. Martina Fainová


Slide 2

Náhodné pokusy
Pokusy ve fyzice, chemii
 při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek
 Př. Změna skupenství vody při 100C a tlaku 100 kPa

Pokusy v praxi, výzkumu, vědě
 při dodržení stejných pravidel různé výsledky,
tj. výsledek závisí na náhodě  náhodné pokusy
 Př. Hod kostkou, Ruleta, Sportka, Karty
NÁHODA = soubor drobných, ne zcela zjistitelných vlivů,
které způsobují změnu výsledku


Slide 3

Náhodný jev
= jakékoliv tvrzení o výsledku náhod. pokusu,
o kterém lze rozhodnout, zda je pravdivé
 Př. Náhodný pokus - hod kostkou
Náhodný jev - padnutí stěny s číslem tři,
padnutí sudého čísla
Padnutí sudého čísla = padnutí čísla 2, 4, 6
Jev, který už nejde rozložit = ELEMENTÁRNÍ jev
 padnutí stěny s číslem 4
Množina  elementárních neslučitelných výsledků jevu - zn. Q


Slide 4

Náhodný jev
Jev, který nikdy nenastane = NEMOŽNÝ jev
 Př. Padnutí stěny s číslem 7
Jev, který vždy nastane = JISTÝ jev
 Př. Padnutí sudého nebo lichého čísla
značení jevu: velké písmeno
A - jev
A, A´ - jev OPAČNÝ, doplňkový
- nastane  nenastává jev A
 Př. A: Na kostce padne číslo 5.
A´: Na kostce padne cokoliv kromě čísla 5


Slide 5

Vztahy mezi jevy
A  B Jev A je podjevem jevu B; jev A je částí jevu B
 Př. A: Hod čísla pět.

B: Hod lichého čísla.

A  B Průnik jevů A, B
- nastane  nastanou jevy A, B současně
 Př. A: Padne číslo dělitelné 3. B: Padne liché číslo.
A  B: Padne číslo 3.
?? u hodu kostkou

A  B = 0  jevy se vylučují - neslučitelné jevy
A  B Sjednocení jevů A, B
- nastane  nastane alespoň jeden z jevů A, B
 Př. A  B: Padne právě jedno z čísel 1; 3; 5; 6.


Slide 6

Pravděpodobnost náhod. jevu
Často si před náhod. pokusem klademe otázku, jaká je
naděje (pravděpodobnost), že daný jev nastane.
 Př. Hod čísla 3, vylosování 1. ceny, bude pršet

PRAVDĚPODOBNOST zkoumá matematické
zákonitosti projevující se v náhod. pokusech.
Pravděpodobnost = míra očekávání, že daný náh. jev nastane.
Hrací kostka - pravidelná a 6 stejně možných čísel

?? Pravděpodobnost, že padne číslo 1?

P 

1
6


Slide 7

Pravděpodobnost náhod. jevu
 některé pokusy mají n stejně možných výsledků
- Př. Padnutí čísla na kostce, vylosování něj. čísla
 každý výsledek má pravděpodobnost

1
n

 některé pokusy nemají všechny výsledky stej. možné

- Př. Narození chlapce, výroba kvalitního výrobku
 po provedení velkého počtu pokusů lze zjistit,
v kolika případech jev nastal a provést odhad
pravděpodobnosti


Slide 8

Klasická pravděpodobnost
Má-li pokus n stejně možných elementárních
výsledků, které se navzájem vylučují, je pravděpodobnost číslo

P ( A) 

m
n

m - počet „příznivých“ výsledků (nastane jev A)
n - počet všech možných výsledků


Slide 9

Příklady:
1) Jaká je při hodu hrací kostkou pravděpodobnost, že
padne stěna se sudým počtem bodů?
Řešení: P 

3
6

 0 ,5

2) V loterii je 5000 losů, z nichž 100 vyhrává. Jaká je
pravděpodobnost, že váš zakoupený los vyhraje?

Řešení: P 

100
5000

 0 , 02


Slide 10

Příklady:
3) Jaká je pravděpodobnost, že vyhrajete ve sportce
první cenu, vyplníte-li jednu sázenku? Uvažujeme
pouze 6 tažených čísel z osudí 49 čísel.

Řešení:
Počet všech možných výsledků:

 49 


 6 

= 13 983 816

1. cena  uhodneme všech 6 tažených čísel
Pravděpodobnost výhry: P 

1
13983816

 0,000 000 072


Slide 11

4) Jaká je pravděpodobnost, že při
jednom hodu třemi kostkami bude
Příklady: součet bodů 12?

Řešení:
Počet všech možných výsledků: 6  6  6 = 216
Některé součty mají různé výsledky,
např. 6,5,1; 6,1,5; 5,1,6; 5,6,1; 1,6,5; 1,5,6.

12: 6;5;1

6;4;2

5;4;3

P 

5;5;2

6;3;3

6

P 12  

216



6
216

3

P 

216

6

P 6 ,5 ,1  



6
216



3
216



3
216



216

4;4;4
P 

216

6

1
216

1
216

= 0,116


Slide 12

Statistická pravděpodobnost
Nelze-li použít klasickou def. pravděpodobnosti,
vycházíme z výsledků již provedených pokusů.
- založena na relativní četnosti jevů při dostatečně
velkém počtu na sobě nezávislých pokusů

P ( A) 

nA
n

n(A) - počet pokusů, ve kterých jev A nastal
n - celkový počet pokusů


Slide 13

Příklad:

Při 4 040 hodech mincí padl rub 2 048×,
při 12 000 hodech 6 019×, při 24 000
hodech 12 012×. Proveďte odhad
pravděpodobnosti padnutí rubu mince.

Řešení:
n = 4 040:

n = 12 000:
n = 24 000:

pA 
pA 

pA 

2048

 0 ,5069

4040
6019
12000

12012
24000

S rostoucím n se P přibližuje 0,5 

 0 ,5016
 0 ,5005

P  A   0 ,5


Slide 14

Věty o pravděpodobnosti
V1: Každému náhodnému jevu A je přiřazena
pravděpodobnost P(A); 0 ≤ P(A) ≤ 1.
V2: Pravděpodobnost jistého jevu je 1.

?? Pravděpodobnost nemožného jevu?

P(A) = 0

V3: Pravděpodobnost sjednocení neslučitelných
jevů je součet pravděpodobností těchto jevů.

?? Vztah mezi P(A) a P(A)?

P(A) = 1 - P(A)


Slide 15

Příklad:

Jaká je pravděpodobnost, že při tahu
sportky bude taženo alespoň jedno
jednociferné číslo?

Řešení:
Alespoň 1 jednociferné  1, 2, 3, 4, 5, 6 jednociferných
Opačný jev: všechna čísla jsou dvojciferná
P  A   1  P A 
P  A   1  0 , 274
P  A   0 , 726

 40 


 6 
P A  
 0,274
 49 


 6 


Slide 16

Cvičení:
Příklad 1: Jaká je pravděpodobnost, že při jednom
hodu dvěma kostkami bude součet 6? Je tato pravdě5
6
[
;
]
podobnost větší než u součtu 7?
36 36
Příklad 2: Ve třídě je 40 žáků, z toho 25 dívek a 15
chlapců. Náhodně vylosujeme 2 žáky. Jaká je prav]
děpodobnost, že to bude 1 chlapec a 1 dívka? [ 375
780
Příklad 3: Jaká je pravděpodobnost výhry páté ceny
ve sportce (3 čísla ze 6 tažených), je-li 13 983 816
[ 0 , 01765 ]
možných výsledků losování?


Slide 17

Cvičení:
Příklad 4: V bedně je 30 výrobků, z nichž 3 jsou
vadné. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 5 náhodně
vybranými výrobky bude nejvýš 1 vadný. [ 0 ,936 ]
Příklad 5: 40 studentů má být náhodně rozděleno na
4 stejně početné skupiny. Mezi studenty jsou i Adam
a Eva. Jaká je pravděpodobnost, že budou oba
9
zařazení do téže skupiny?
[ ]
39


Slide 18

Pravděpodobnost sjednocení
Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem neslučitelných jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností

P ( A  B )  P  A   P B 
Pozn.: Dva jevy jsou neslučitelné  AB=0

Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem
slučitelných jevů je rovna:

P ( A  B )  P  A   P B   P  A  B 


Slide 19

Příklad:

Hodíme dvěma kostkami – bílou a modrou.
Jev A – na bílé padne číslo  3,
jev B – na modré padne číslo  3.
S jakou pravděpodobností nastává jev A;
jev B; jev A i B současně; jev A nebo jev B?

Řešení:
Počet všech možných výsledků: 6  6 = 36
a) nastává jev A  na bílé padne číslo  3

Počet příznivých výsledků: 4  6 = 24

PA 

2
3

b) nastává jev B  na modré padne číslo  3

Počet příznivých výsledků: 3  6 = 18

PA 

1
2


Slide 20

Příklad:

Hodíme dvěma kostkami – bílou a modrou.
Jev A – na bílé padne číslo  3,
jev B – na modré padne číslo  3.
S jsou pravděpodobností nastává jev A; jev B;
jev A i B současně; jev A nebo jev B?

Řešení:
Počet všech možných výsledků: 36
c) na bílé padne číslo  3 a na modré číslo  3
Počet příznivých výsledků: 4  3 = 12

PA 

3

d) na bílé padne číslo  3 nebo na modré číslo  3
- jevy nejsou nezávislé
P  A  B   P  A   P B   P  A  B  

1

5
6


Slide 21

Cvičení:
Příklad 1: V tombole se prodalo 500 slosovatelných
lístků, ze kterých pět vyhrává 1. cenu, deset 2. cenu
a čtyřicet 3. cenu. Jaká je pravděpodobnost výhry na
[ 0 ,11 ]
právě jeden zakoupený lístek?
Příklad 2: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma
kostkami padne alespoň na jedné kostce šestka? [ 0 ,3056 ]

Příklad 3: Ve třídě je 70 % chlapců a 30 % dívek.
S vyznamenáním studuje 20 % chlapců a 10 % dívek.
Jaká je pravd., že náhodně vybraný žák studuje s vyzn.?
[ 0 ,3056 ]