Transcript PodminPravd

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Podmíněná
pravděpodobnost
Mgr. Martina Fainová
POZNÁMKY ve formátu PDF
Klasická pravděpodobnost
Má-li náhod. pokus n stejně možných element.
výsledků, které se navzájem vylučují, je pravděpodobnost jevu A číslo
P ( A) 
m
n
m - počet „příznivých“ výsledků (nastane jev A)
n - počet všech možných výsledků
Podmíněná pravděpodobnost
= pravděpodobnost jevu A určovaná za podmínky, že již předem jistě nastal jev B s nenulovou
pravděpodobností
 zkráceně: pravděpodobnost jevu A podmíněná jevem B
 značení: P(A|B)
 příklad: Házíme 2  kostkou. Jaká je pravděpodobnost,
že padne-li poprvé sudé číslo, padne sudé číslo
i podruhé?
Výpočet
Pravděpodobnost jevu A podmíněná jevem B:
P( A B) 
PA  B 
P B 
, P(B)  0
P(B)  počet všech výsledků příznivých jevu B
P(AB)  počet všech výsledků příznivých současně jevům A, B
?
P (B A) 
P B  A 
PA
, P(A)  0
Příklad 1:
Hodíme 2 kostkami, bílou a černou.
Jaká je pravděpodobnost, že na bílé
kostce padla 5 za podmínky, že padl
součet 9?
Řešení:
A: Na bílé kostce padla 5: 5;1 5;2 5;3 5;4 5;5 5;6
B: Padl součet 9:
3;6 4;5 5;4 6;3
AB: Na bílé 5 a součet 9:
P( A B) 
PA  B 
P B 
5;4

mA  B 
m B 

1
4
Pravděpodobnost průniku jevů
1) nezávislé jevy:
P  A  B   P  A   P B 
2) závislé jevy:
P  A  B   P  A   P B A 
odstranit zlomek
z definice podmín.
pravděpodobnosti
 P B   P A B 
P(A B) 
P  A   P B A 
P B 
Bayesova věta
Příklad 2:
V osudí je 9 bílých koulí a 1 červená.
Vytáhneme jednu kouli, vrátíme ji
a přidáme jednu kouli téže barvy. Pak
vytáhneme podruhé.
Jaká je pravděp., že v obou tazích vytáhneme červenou?
Řešení:
A: červená v 1. tahu:
B: červená v 2. tahu:
1
P ( A) 
Poznámka:
v osudí je 9 bílých, 2 červené
10
2
P (B A) 
11
V obou tazích červená:
P ( A  B )  P ( A )  P B A  
1

2
10 11

2
110
 0 , 018
Cvičení:
Příklad 1: 120 studentů absolvovalo zkoušky z matematiky a fyziky. 30 z nich nesložilo obě zkoušky,
8 nesložilo zkoušku z M, 5 nesložilo pouze zkoušku
z F. Určete pravděp., že náhodně vybraný student
a) složil zkoušku z M, víme-li, že nesložil zkoušku z F,
b) složil zkoušku z F, víme-li že nesložil zkoušku z M.
1 4
[ ;
]
7 19
Příklad 2: Hodíme 2 kostkami. A: součet je sudé číslo,
B: součet je číslo dělitelné třemi. Určete P(A|B), 1 4
[ ; ]
P(B|A) a popište co jste určili.
2 3