Transcript PERMUTACE a VARIACE  2.1 Permutace P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) * .

PERMUTACE a VARIACE

2.1 Permutace
P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) * . . . · 2 * 1
To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:
Pn  n !
Jedná se o vzorec pro počet permutací z n prvků bez opakování.

2.2 Variace bez opakování
Zápis: Vk(n) = n * (n-1) * (n-2) * . . . * (n-k+1)
Zapíšeme pomocí faktoriálů:
n!
Vk n  
n  k  !
Jedná se o vzorec pro počet variací k-té třídy z n prvků bez opakování.
VARIACE s opakováním, KOMBINACE

2.3 Variace s opakováním
Máme n - různých druhů prvků a k - různých objektů
Vzorec pro počet variací k-té třídy z n - druhů prvků s opakováním.
Vk* n  n  n  ...  n

Vk* n  nk
2.4 Kombinace
Máme n - různých přihrádek a k - nerozlišitelných předmětů
a platí, že n > k
n!
Ck n  
n  k  !  k !
KOMBINAČNÍ ČÍSLO
 n
n!
Ck n 
  
n  k  !  k !  k 

Základní vzorec:

Další pravidla pro počítání s kombinačními čísly:
 n  n 
   

k  n  k 
 n
   n
1
n
   1
n
n
   1
0
0
   1
0
VARIACE a KOMBINACE

Příklad 1
Majitel hotelu má 6 volných pokojů v různých cenách a 4 hosty.
 Určete, kolika způsoby může hosty ubytovat, pokud chce každý
host svůj pokoj. (360)

Příklad 2
V ubytovně zbývají 4 volná lůžka a na ubytování čeká ještě šest
hostů.
 Určete, kolika způsoby lze vybrat čtveřici hostů, která obsadí
poslední lůžka. (15)
VARIACE S OPAKOVÁNÍM

Příklad 3


Kolik různých značek by mohlo teoreticky existovat v
Morseově abecedě, když se sestavují tečky a čárky do skupin
od jedné do pěti? (62)
Příklad 4


Rodina s dvěma dětmi a dědečkem jde do restaurace na jídlo.
Mohou si vybrat ze tří druhů polévky a osmi druhů hlavního
jídla. Maminka bude obědvat jen polévku, děti jen hlavní jídlo
a tatínek s dědečkem si dají oboje.
Kolika možnostmi si mohou objednat? (110 592)
VARIACE a PERMUTACE

Příklad 5
Rozvrh hodin má 5 dvouhodin:
7:30 - 9:00, 9:15 - 10:45, 11:00 - 12:30, 13:00 - 14:30, 14:45 - 16:00
Studenti mají mít v pondělí tyto dvouhodinové předměty:
A-angličtina, D-metody dozoru, T-tělocvik, M-mikrobiologie



5a. Určete kolika způsoby je možno stanovit pořadí předmětů
(120)
5b. Určete kolika způsoby je možno stanovit pořadí předmětů
v případě, že D-metody dozoru jsou dvakrát dvě hodiny a obě
dvouhodinovky mají následovat po sobě. (24)
5c. Určete kolika způsoby je možno stanovit pořadí předmětů
v případě, že D-metody dozoru jsou dvakrát dvě hodiny a obě
dvouhodinovky nemusí následovat po sobě. (60)
MNOŽINOVÁ MATEMATIKA

Příklad 6
V ročníku oboru mikrobiologie je 54 studentů. Z celkového počtu mluví
33 studentů anglicky, 31 studentů německy a 13 studentů francouzsky.
Všemi třemi jazyky současně nemluví žádný ze studentů, dvěmi jazyky
současně mluví 24 studentů.
Tři studenti hovoří současně anglicky a francouzky, další tři současně
německy a francouzsky.
 Určete, kolik studentů mluví současně anglicky a německy a
vyjádřete jako podíl z celkového počtu.
 Kolik studentů mluví jen jedním cizím jazykem


Kolik studentů mluví alespoň dvěmi jazyky?
Znázorněte pomocí množin
PERMUTACE a VÝROKOVÁ LOGIKA

Příklad 7
Kolika způsoby si mohou stoupnout do fronty trpaslíci před Sněhurku
tak, že
 7a. každý může stát kdekoliv (5040)
 7b. Šmudla je poslední jako vždy (720)
 7c. Šmudla kupodivu poslední není (4320)
PRAVDĚPODOBNOST, VARIACE s opakováním, PERMUTACE

Příklad 8
Házíme 2 hracími kostkami.
 Jaká je pravděpodobnost, že součet na kostkách bude právě 5? (1/9)
 Jaká je pravděpodobnost, že součet na kostkách bude větší než 3?
(11/12)
 Jaká je pravděpodobnost, že na obou kostkách padne různé číslo?
(5/6)

Příklad 9
Házíme 5 hracími kostkami.

Jaká je pravděpodobnost, že padnou vzájemně různá čísla? (0,093)

Jaká je pravděpodobnost, že padnou pouze lichá čísla? (0,031)
KOMBINACE

Příklad 10
Za lokomotivou jsou zapojeny 4 různé vagóny - cisterna, na uhlí, na sypký
materiál a plošina. K přepravě je připraveno: brikety, nafta, LTO, palety
tašek, koks, hnědé uhlí, černé uhlí, písek, štěrk, kanalizační roury a
dodávka nových automobilů.

Kolika způsoby může naložit vagóny, aby byly všechny vagóny plné?
(48)

Kolika způsoby naloží vagóny, pokud mu od každého typu vagónu
přistaví dva (2 cisterny, 2 vagóny na uhlí, 2 na sypký materiál a 2
plošiny) ? (144)
PRAVDĚPODOBNOST - opakování

Příklad 11
Máme náhodné jevy A a B. Víme, že pravděpodobnost:
že nastane alespoň jeden z jevů A a B, je ¾
že oba jevy nastanou současně, je ¼
že nenastane jev A, je 2 3

Určete pravděpodobnosti obou jevů A a B.

Jaká je pravděpodobnost, že nastane jev A a nenastane jev B.
PRAVDĚPODOBNOST, KOMBINACE


Příklad 12
V důsledku špatného seřízení výrobní linky se mezi 10 dobrých součástek
dostaly 4 vadné. Zákazník si přišel koupit 2 součástky a prodavač obě
vybral náhodně ze všech 14 kusů, které měl smíchané v krabici.



Jaká je pravděpodobnost, že zákazník dostal obě součástky bez
vady?
Jaká je pravděpodobnost, že zákazník dostal aspoň jednu
součástku vadnou?
S jakou pravděpodobností budou vadné obě prodané součástky?