Transcript Kombinatorika

Pravděpodobnost a matematická statistika I.
Obsah kurzu:
1. Kombinatorika
2. Náhodný jev, operace s náhodnými jevy, klasická, geometrická, axiomatická
definice pravděpodobnosti
3. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost jevů, úplná pravděpodobnost,
Bayesova věta
4. Náhodná veličina, rozdělení náhodné veličiny, charakteristiky náhodné veličiny
5. Příklady diskrétních a spojitých rozdělení náhodné veličiny
6. Náhodný výběr, princip statistického testování
7. 2 testy, t – testy
8. ANOVa
9. korelace, regrese
Literatura.
Calda E., Dupač V., Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost,
Statistika, Prometheus, 2005
Brousek, J., Ryjáček Z., Sbírka řešených příkladů z počtu pravděpodobnosti, ZČU
Plzeň, 1992
Anděl J., Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998
Mrkvička T., Petrášková V., Úvod do teorie pravděpodobnosti, PF JU, České
Budějovice, 2008.
http://mathonline.fme.vutbr.cz/
http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/
Organizace kurzu.
Pro udělení zápočtu je nutno splnit současně:
maximálně 3 absence na cvičeních včetně omluvených absencí a dostatečnou úspěšnost
ve 3 průběžných testech. Účast na hodinách, kdy se píše test, je povinná. I v případě doložené nemoci se
omlouvá absence maximálně u jednoho testu.
Průběžné testy se budou psát na cvičeních 14.3., 11.4. a 16.5.
Každý test na cvičeních je hodnocen procentem úspěšnosti 0% – 100%.
Pro získání zápočtu musí být vážený průměr úspěšností všech krátkých testů na cvičeních
alespoň 55%.
Pokud student nezíská zápočet, nemůže skládat zkoušku.
Klasifikace u zkoušky
řádný termín:
Klasifikace u zkoušky
opravné termíny:


body pro klasifikaci jsou tvořeny
 100% za opravný test

klasifikace:
x je dosažené procento úspěšnosti:
 x < 55, známka 4
 55  x < 65, známka 3
 65  x < 70, známka 2 70  x < 80, známka 2
 80  x < 90, známka 1 x  90, známka 1
body pro klasifikaci jsou tvořeny
 70% za zkouškový test
 30% za procento úspěšnosti
na cvičeních
 klasifikace: (x je dosažené procento úspěšnosti)
 x < 55, známka 4
 55  x < 65, známka 3
 65  x < 70, známka 2 70  x < 80, známka 2
 80  x < 90, známka 1 x  90, známka 1
Kombinatorika.
Pravidla pro práci se skupinou:
• výběr prvků
• organizace podskupin
Základní pojmy.
základní množina M
skupina
skupina k -té třídy
uspořádaná skupina
skupina bez opakování
skupina s opakováním
konečná množina M o n prvcích
je tvořena prvky z M. Nezáleží na pořadí prvků.
skupina s k prvky
skupina, v níž záleží na pořadí prvků
každý prvek z M je zastoupen nejvýše jednou
každý prvek z M může být zastoupen vícekrát
{1, 2 ,3, 4, 5}
{1, 2} = {2, 1}
{lichá čísla z M} je skupina 3. třídy
{1, 2} se nerovná {2, 1}
{lichá čísla z M} je skupina 3. třídy
{1, 1, 2, 3, 5, 5}
Příklad.
Kolik různých pěticiferných přirozených čísel lze napsat pomocí číslic 1,2,3,4,5,
pokud:
a) číslice v čísle použije jen jednou?
b) Kolik z napsaných čísel bude začínat číslicí 5?
c) Kolik z napsaných čísel bude sudých?
Řešení:
a) P(5) = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
b) P(4) = 4! = 4.3.2.1 =24
c)
končících 2: P(4) = 4! =24
končících 4: P(4) = 4! = 24
dohromady : S = 2.4! = 2.24 = 48
Faktoriály a kombinační čísla.
n!  n ( n  1)( n  2 )... 3 . 2 . 1
n!  n ( n  1)( n  2 )( n  k )!
0!  1
n
n!
  
, 0 ≤ k ≤ n, k  N, n N
 k  k ! ( n  k )!
Pravidla pro počítání s kombinačními čísly.
n n
      1
0 n
n n

   

k  n  k 
n
  
k 
n
  n  1

  
 , k  n
 k  1  k  1
Příklad.
 10  10 ! 10 . 9 . 8
  

 10 . 3 . 4  120
3
3
!
7
!
3
.
2
.
1
 
Které přirozené číslo k vyhovuje rovnici
k + 1  2, k  1
k2
( k  1)!
2 ( k  1)!
k ( k  1)
2


k2
k!
2 ( k  2 )!
k ( k  1)
 4
4
2
k = 2, protože k  N
 k  1

 
2


k 
5
   4  
2
5
?
Variace.
Variace k-té třídy z n prvků bez opakování je každá uspořádaná k-prvková
podmnožina základní množiny M s n prvky.
Počet variací k-třídy z n prvků bez opakování:
V k ( n )  n .( n  1)....( n  k  1) 
n!
( n  k )!
, 0 ≤ k ≤ n, k  N, n  N.
Příklad.
M = {1,2,3}, určete počet dvojic bez opakování,které lze z této množiny vytvořit,
pokud záleží na pořadí prvků.
V2(3): (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), tedy můžeme vytvořit 6 variací
2. Třídy z 6 prvků.
V 2 (3) 
3!
6
1!
Příklad.
Jsou dány číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kolik 3-ciferných čísel z nich lze sestavit,
jestliže se číslice neopakují a záleží na pořadí cifer.
V 3 (6) 
6!
3!
 6 . 5 . 4 .  120
Variace k-té třídy z n prvků s opakováním je každá uspořádaná k-prvková
podmnožina základní množiny M s n prvky, v níž se každý prvek může opakovat
k krát. Počet variací k-té třídy z n prvků s opakováním:
V k ( n )  n , k  N, n N.
/
k
Příklad.
Jsou dány číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kolik 3-ciferných čísel z nich lze sestavit,
jestliže se číslice mohou opakovat a záleží na pořadí cifer.
V 3 ( 6 )  6  216
/
3
Kombinace.
Kombinace k-té třídy z n prvků bez opakování je každá k-prvková podmnožina
základní množiny M s n prvky, v níž nezáleží na pořadí prvků.
Počet kombinací k-třídy z n prvků bez opakování:
n
C k ( n )   
k 
, 0 ≤ k ≤ n, k  N, n N
Příklad.
Kolik 4-tónových akordů lze zahrát z 7 tónů?
7
7!
7 .6 .5
C 4 ( 7 )    

 35
4
4
!
3
!
3
.
2
 
Kombinace k-té třídy z n prvků s opakováním je každá k-prvková podmnožina
základní množiny M s n prvky, v níž nezáleží na pořadí prvků a kde se každý prvek
může opakovat k krát.
Počet kombinací k-třídy z n prvků s opakováním:
 n  k  1
/

C k ( n )  
k

, k  N, n N
Příklad.
V obchodě mají 3 barvy příze v klubíčcích po 50 g. Potřebuji 500 g příze.
Kolika způsoby mohu koupit 500g?
Desetkrát vybíráme ze 3 barev klubíček po jednom klubíčku. Proto n = 3, k = 10.
 12 
12 !


C (3)    
 66
10
10
!
2
!
 
/
10
Permutace.
Permutace bez opakování z n prvků je každé uspořádání n prvkové základní
množiny.
P ( n )  n!
Příklad.
Kolik přesmyček lze vytvořit z písmen m, a, t, e, m, a, t, i, k, a?
P(10) = 10! = 3628800
Počet permutací s opakováním z n prvků, v nichž se jednotlivé prvky opakují
k1, k2, … , kn – krát je
Příklad.
Kolika způsoby je možné mezi 30 studentů rozdat dvě volné vstupenky na koncert, pět vstupenek na
plavecký stadión a deset vstupenek do posilovny, pokud každý ze studentů může dostat maximálně jednu
vstupenku (i tak jich bude málo)?
máme málo lístků, na některé studenty nic nezbude ⇒ aby nebyli smutní dostanou prázdné papírky ⇒
vyřešeno a rozdáváme: 2 vstupenky na koncert, 5 lístků do bazénu, 10 lístků do posilovny a 13 prázdných,
celkem 30!/(2!5!10!13! ) = 4.89109E+13 možností.
Pokračování předchozího příkladu:
Kombinace s opakováním lze převést na permutace:
Máme 1 krabici rozdělenou do 3 oddílů podle barvy příze.
Do krabice umístíme vždy 10 klubíček příze.
Například bude-li 8 klubíček červených, 2 klubíčka modrá a žádné zelené,
Pak v oddíle pro červenou barvu bude 8 klubíček, v oddíle pro modrou
barvu budou 2 klubíčka, oddíl pro zelenou barvu zůstane prázdný.
Na tuto situaci lze nahlížet jako na permutaci s opakováním z
10 klubíček + 2 přihrádek mezi oddíly v krabici s opakováním:
Binomická věta.
 n  n 0  n  n 1 1
n
 1 n 1  n  0 n
n
 a b
( a  b )    a b    a b  ...  
   a b
0
1 
 n  1
n
k-tý člen řady:
n
 n  ( k 1 ) k 1
 a
A k  
b
k

1


, a  R, b  R, n  N
Pascalův trojúhelník.
(a  b)
1
(a  b)
2
(a  b)
3
(a  b)
4
(a  b)
5
1 
1
  a    b
0
1
1 1
2 2 0 2 1 1 2 2 2
  a b    a b    a b
0
1 
2
1 2 1
3  3 0 3 2 1 3  1 2 3 0 3
  a b    a b    a b    a b
0
1 
2
3
4 4 0 4 3 1 4 2 2 4 1 3 4 0 4
  a b    a b    a b    a b    a b
0
1 
2
3
4
5 5 0 5 4 1 5  3 2 5 2 3 5  1 4 5 0 5
  a b    a b    a b    a b    a b    a b
0
1 
2
3
4
5
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Příklad.
Který člen rozvoje následujícího výrazu neobsahuje x?
(2 x 
2
3
x
)
6
, x 0
6

6
 7k 2(7k )
2 6  ( k 1 )  3 k 1
k 1 1  k



 2
Ak  
(
2
x
)
(
)

x
(  3) x


x
 k  1
 k  1
6
 7k
k 1 15  3 k
 2
A k  
(  3) x
 k  1
Pokud výraz neobsahuje x, pak x15-3k = 1, neboli 15 – 3k = 0.
Odtud k = 5.
Příklad.
Určete součet
n n n
n
 n
         ...  
   
 0  1   2 
 n  1  n 
, kde n je libovolné přirozené číslo nebo 0.
Jedná se o binomickou větu, kde a = b = 1. Proto
n n n
n
 n
         ...  
   
 0  1   2 
 n  1  n 
= 2 n.
Důsledek.
n
 
k 
udává počet všech k-prvkových podmnožin n-prvkové množiny (k = 0 je prázdná
množina. Výše odvozený součet udává počet všech podmnožin n-prvkové množiny.
n-prvková množina má tedy 2n podmnožin.
Cvičení.
1.
Jistý muž má 5 kabátů, 4 vesty a 6 kalhot. Kolika různými způsoby se může obléct?
2.
Kolik různých hodů lze provést třemi kostkami?
3.
Kolik různých šesticiferných čísel můžeme napsat z číslic 1,2,3,4,5,6 má-li se každá vyskytnout v čísle
jen jednou?
4.
Které přirozené číslo vyhovuje rovnici :
 x  1  x  1  x 

      
2
 0 2 2
5.
n n
Kterým kombinačním číslem je možno vyjádřit součet     
4
6.
Zjednodušte:
( n  1)!
n!

5 
n!
( n  1)!
7.
Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet permutací bez opakování dvanáctkrát. Jaký byl původní
počet prvků?
8.
Kolik různých „slov“ lze vytvořit použitím všech písmen slova automatizace?