Transcript uvod_kombinatorika
Pravděpodobnost a matematická statistika I.
Obsah kurzu: 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Kombinatorika Náhodný jev, operace s náhodnými jevy, klasická, geometrická, axiomatická definice pravděpodobnosti Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost jevů, úplná pravděpodobnost, Bayesova věta Náhodná veličina, rozdělení náhodné veličiny, charakteristiky náhodné veličiny Příklady diskrétních a spojitých rozdělení Náhodný výběr, princip statistického testování 2 testy,
t -
testy Literatura.
Calda E., Dupač V.,
Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, Statistika
, Prometheus, 2005 Brousek, J., Ryjáček Z.,
Sbírka řešených příkladů z počtu pravděpodobnosti
, ZČU Plzeň, 1992 Anděl J.,
Statistické metody
, Matfyzpress, Praha 1998 Mrkvička T., Petrášková V.,
Úvod do teorie pravděpodobnosti,
Budějovice, 2008.
PF JU, České http://mathonline.fme.vutbr.cz/ http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/
Organizace kurzu
.
Účast na přednáškách není povinná, účast na cvičeních je povinná. Pro udělení zápočtu je nutno splnit sou časně: účast na cvičeních alespoň 50% včetně omluvených absencí a dostatečnou úspěšnost v průběžných testech.
Každý test na cvičeních je hodnocen procentem úspěšnosti 0% – 100%. Pro získání zápočtu musí být průměr úspěšností všech krátkých testů na cvičeních alespoň 50%. Pokud student nezíská zápočet, nemůže skládat zkoušku je hodnocen známkou “4“ (neprospěl)
Klasifikace u zkoušky řádný termín:
body pro klasifikaci jsou tvořeny 70% za zkouškový test 30% za procento úspěšnosti na cvičeních klasifikace: ( x je dosažené procento úspěšnosti) x < 55, 55 65 70 80 x známka 4 x < 65, x < 70, x < 80, x < 90, 90, známka 3 známka 2 známka 2 známka 1 známka 1
Klasifikace u zkoušky opravné termíny:
body pro klasifikaci jsou tvořeny 100% za opravný test klasifikace: x je dosažené procento úspěšnosti: x < 55, známka 4 55 x < 65, známka 3 65 70 x < 70, známka 2 80 x x < 80, x < 90, 90, známka 2 známka 1 známka 1
Kombinatorika.
Pravidla pro práci se skupinou: • výběr prvků • organizace podskupin Základní pojmy.
základní množina M skupina skupina k -té třídy uspořádaná skupina skupina bez opakování skupina s opakováním
konečná množina M o
n
prvcích je tvořena prvky z M . Nezáleží na pořadí prvků.
skupina s
k
prvky skupina, v níž záleží na pořadí prvků každý prvek z M je zastoupen nejvýše jednou každý prvek z M může být zastoupen vícekrát Faktoriály a kombinační čísla.
n
!
n
(
n
1 )(
n
2 )...
3 .
2 .
1
n
!
n
(
n
1 )(
n
2 )(
n
k
)!
0 !
1
n k
n
!
k
!
(
n
k
)!
, 0 ≤
k
≤
n, k
N,
n
N {1, 2 ,3, 4, 5} {1, 2} = {2, 1} {lichá čísla z M} je skupina 3. třídy {1, 2} se nerovná {2, 1} {lichá čísla z M} je skupina 3. třídy {1, 1, 2, 3, 5, 5}
Pravidla pro po čítání s kombinačními čísly.
n k
n n
k
n
0
n n
1
n k
n k
1
n k
1 1 ,
k
n
Příklad.
10 3 10 !
3 !
7 !
10 .
9 .
8 3 .
2 .
1 10 .
3 .
4 120 Které přirozené číslo
k
vyhovuje rovnici
k k
+ 1 2 2,
k
1
k
2 (
k
2 (
k
1 )!
1 )!
2 (
k k
!
2 )!
4 2
k
(
k
2 1 )
k
(
k
1 ) 2 4
k
= 2, protože
k
N 1
k
2 4 5 5 ?
Variace.
Variace k té třídy z n prvků bez opakování
podmnožina základní množiny M s
n
prvky. Počet variací
k
třídy z
n
prvků bez opakování: je každá
uspořádaná
k
prvková
V k
(
n
) (
n n
!
k
)!
Příklad.
, 0 ≤
k
≤
n
,
k
N,
n
N.
M = {1,2,3} , určete počet dvojic bez opakování,které lze z této množiny vytvořit, pokud záleží na pořadí prvků.
V 2 (3): (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), tedy můžeme vytvořit 6 variací 2. Třídy z 6 prvků.
V
2 ( 3 ) 3 !
6 1 !
Příklad.
Jsou dány číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kolik 3-ciferných čísel z nich lze sestavit, jestliže se číslice neopakují a záleží na pořadí cifer.
V
3 ( 6 ) 6 !
3 !
6 .
5 .
4 .
120
Variace k té třídy z n prvků s opakováním
podmnožina základní množiny M s
n
je každá
uspořádaná
k
prvková prvky, v níž se každý prvek může opakovat
k
krát. Počet variací
k
té třídy z
n
prvků s opakováním:
V k
/ (
n
)
n k
,
k
N,
n
N.
Příklad.
Jsou dány číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kolik 3-ciferných čísel z nich lze sestavit, jestliže se číslice mohou opakovat a záleží na pořadí cifer.
V
3 / ( 6 ) 6 3 216 Kombinace.
Kombinace k té třídy z n prvků bez opakování
je každá
k
prvková podmnožina základní množiny M s
n
prvky, v níž nezáleží na pořadí prvků. Počet kombinací
k
třídy z
n
prvků bez opakování:
C k
(
n
)
n k
, 0 ≤
k
≤
n, k
N,
n
N
Příklad.
Kolik 4 tónových akordů lze zahrát z 7 tónů?
C
4 ( 7 ) 7 4 7 !
4 !
3 !
7 .
6 .
5 35 3 .
2
Kombinace k té třídy z n prvků s opakováním
je každá
k
prvková podmnožina základní množiny M s
n
Může opakovat
k
krát. prvky, v níž nezáleží na pořadí prvků a kde se každý prvek Počet kombinací
k
třídy z
n
prvků s opakováním:
C k
/ (
n
)
n k
k
1 ,
k
N,
n
N Příklad.
V obchodě mají 3 barvy příze v klubíčcích po 50 g. Potřebuji 500 g příze. Kolika způsoby mohu koupit 500g?
C
/ 10 ( 3 ) 12 10 12 !
10 !
2 !
66
Permutace.
Permutace bez opakování z n prvků
množiny.
je každé uspořádání
n
prvkové základní
P
(
n
)
n
!
Příklad.
Kolik přesmyček lze vytvořit z písmen m, a, t, e, m, a, t, i, k, a?
P
(10) = 10! = 3628800 Binomická věta.
(
a
b
)
n
n
0
a n b
0
n
1
a n
1
b
1 ...
n n
1
a
1
b n
1
n n
a
0
b n
,
a
R,
b
R,
n
N
k
tý člen řady:
A k
n k
1
a n
(
k
1 )
b k
1
Pascalův trojúhelník.
(
a
b
) 1 1 0
a
1 1
b
(
a
b
) 2 2 0
a
2
b
0 2 1
a
1
b
1 2 2
a
2
b
2 (
a
b
) 3 3 0
a
3
b
0 3 1
a
2
b
1 3 2
a
1
b
2 3 3
a
0
b
3 (
a
b
) 4 4 0
a
4
b
0 4 1
a
3
b
1 4 2
a
2
b
2 4 3
a
1
b
3 4 4
a
0
b
4 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 (
a
b
) 5 5 0
a
5
b
0 5 1
a
4
b
1 5 2
a
3
b
2 5 3
a
2
b
3 5 4
a
1
b
4 5 5
a
0
b
5 1 5 10 10 5 1
Příklad.
Který člen rozvoje následujícího výrazu neobsahuje
x
?
( 2
x
2
A k
6
k
3
x
) 6 ,
x
0 1 ( 2
x
2 ) 6 (
k
1 ) (
x
3 )
k
1 6
k
1 2 7
k x
2 ( 7
k
) ( 3 )
k
1
x
1
k A k
6
k
1 2 7
k
( 3 )
k
1
x
15 3
k
Pokud výraz neobsahuje
x
, pak
x
15-3
k
= 1, neboli 15 – 3
k
= 0.
Odtud
k
= 5.
Příklad.
n
0
n
1
n
2 ...
n
1
n
n
je libovolné přirozené číslo nebo 0. Jedná se o binomickou větu, kde
a
=
b
n
0
n
1
n
2 ...
n n
1
n
n
.
Důsledek.
n k
udává počet všech
k
prvkových podmnožin
n
prvkové množiny (
k
= 0 je prázdná množina. Výše odvozený součet udává počet všech podmnožin
n
prvkové množiny.
n
prvková množina má tedy 2
n
podmnožin.
Cvičení.
1.
Jistý muž má 5 kabátů, 4 vesty a 6 kalhot. Kolika různými způsoby se může obléct?
2.
Kolik různých hodů lze provést třemi kostkami?
3.
Kolik různých šesticiferných čísel můžeme napsat z číslic 1,2,3,4,5,6 má-li se každá vyskytnout v čísle jen jednou?
4.
Které přirozené číslo vyhovuje rovnici :
x
2 1
x
0 1 2
x
2 5.
Kterým kombinačním číslem je možno vyjádřit součet
n
4
n
5 6.
Zjednodušte: (
n
1 )!
n
!
(
n n
!
1 )!
7.
Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet permutací bez opakování dvanáctkrát. Jaký byl původní počet prvků?
8.
Kolik různých „slov“ lze vytvořit použitím všech písmen slova automatizace?