M

etóda

K

onečných

P

rvkov vo výrobných technológiach

prednáška č. 3

Obsah prednášky

• Statická lineárna formulácia MKP • Opakovanie základných vzťahov z Pružnosti a pevnosti • Základné pojmy MKP • Priama tuhostná formulácia rovníc MKP

Prutový prvok v lokálnom súradnicovom systéme

• Energetická formulácia rovníc MKP

Formulácia všeobecnej elastostatickej úlohy Odvodenie matíc pre prutový prvok v LSS

• Riešenie lineárnych úloh - príklady prednáška č.3 - 2/78

Základné vzťahy PaP

Základná úloha:

• určiť deformáciu a napätosť telesa, • posúdiť únosnosť, spoľahlivosť a životnosť konštrukcie

Metódy riešenia:

• analytické, experimentálne,

numerické

, matematická teória pružnosti

Numerické metódy riešenia:

• vychádzajú z teórie mechaniky kontinua a využívajú výpočtovú techniku (

computational mechanics

)

Všeobecný postup riešenia s využitím výpočtovej mechaniky:

• zostavenie základných rovníc úlohy • implementácia výpočtovej metódy • vytvorenie počítačového programu a jeho aplikácia na riešenie konkrétnej úlohy prednáška č.3 - 3/78

Základné vzťahy PaP

Základné rovnice statickej analýzy kontinua:

• kinematika deformačného pohybu telesa (mierky deformácie) • kinetika (sily a napätia) • konštitutívne (stavové) rovnice • termodynamika deformačného pohybu (energetické princípy)

Lineárna statická analýza:

• (nekonečne) malé posunutia a pomerné deformácie.

• elastický materiál • statické zaťaženie • čas v analýzach označuje iba zaťažovací krok prednáška č.3 - 4/78

Základné vzťahy PaP

Kinematika deforma čného pohybu:

• Normálové a šmykové zložky deformácie (nekonečne malé) možno skúmať nezávisle na sebe.

dy´ ds dy dx dx´ ds´  

f

(  )  

f

(  ) prednáška č.3 - 5/78

y, v dv dy ds dx du dv

  

u



x



v



y dx dy du

Základné vzťahy PaP

du ds´ x, u

 2

dy

 1

dv dx

  1   2 

dv dx z

  

v



x



v



x



dv dx



du dy

 

z

,

du dy



u



y

 

u



y

prednáška č.3 - 6/78

Základné vzťahy PaP

Potom:

d x

 

d y

 

dx



dy



du dv

 

dx



dy

 

u



x



v



y dx dy

  

u



x



v



y

 

d x

 

d y



dx



dy dy dx

 

x

 

y Zovšeobecnenie:

Ke ď poznáme posunutie okolia hmotného bodu potom lineárne pomerné deformácie v bode telesa sú popísaná pomocou prednáška č.3 - 7/78

Základné vzťahy PaP

lineárnych Cauchyho rovníc

                       

x y z x y z

                    

u x v y w



w

   

u y

  

z u y

 

z

  

z w

  

v x v x

               prednáška č.3 - 8/78

Základné vzťahy PaP

Záver:

Vektor pretvorenia je funkciou zlo žiek gradientu vektora posunutia. Pre celé teleso dostaneme pole pretvorenia zo zložiek gradientu poľa posunutia vo všetkých bodoch telesa.

prednáška č.3 - 9/78

Základné vzťahy PaP

Kinetika deforma

čného pohybu (vnútorné sily) a stavové

rovnice (

zovšeobecnený Hookov zákon): prednáška č.3 - 10/78



z



yz



zy



xy



yx



y



yz



yx



zx



xz



xy



zy



zx



zy



zx



xz



yz



yx



xy



xz



x T

   

yx



zx x

 

xy y



zy



xz

 

yz z

  

z x



y

 

z y



x

  

x z y

  1 0 0 0  2 0 0 0  3 prednáška č.3 - 11/78

Základné vzťahy PaP

Jednoosová (priamková) napätosť

 x  x  

y x

   

E



x



x

 

z Dvojosová (rovinná) napätosť

 y  z  x    

σ σ τ z x y

    

E

1   2         1 0  1 0 0 0 1  2               

x y z

    prednáška č.3 - 12/78

Trojosová (priestorová) napätosť

             

x y z x y z

          1   

E

( 1  2  )        1        0 0 0   y  z  x  x  1    0   1   0 0 0 0 0 0 0 1  0 2  2 0 0 0 0 0 0 1  2  2 0 0 0 0 0 0 1  2  2                         

x y z x z y

         y  z prednáška č.3 - 13/78



z



x



y



y



z



x

Základné vzťahy PaP



str



y -



str =



str



str



x +



z -



str



y



z



x -



str

 

z



y x

 

z y



x

  

x z y

 

str

0 0 0 

str

0 0 0 

str

 

x

 

str



z



y



y

 

z



str



x



z



y

 

x



str



str

 1 3 ( 

x

 

y

 

z

)  

ok t

 1 3 (  1   2   3 ) prednáška č.3 - 14/78



Základné vzťahy PaP

Pružno-plastické deformácie



e –elastická deformácia



p –plastická deformácia

 K  

K

 

p

 

e

 materiálový zákon pre pru žno-plastické deformácie

σ



D ep ε D ep

matica materiálových konštánt prednáška č.3 - 15/78

Základné vzťahy PaP

Výhody počítačových metód:

• možno zvoliť presnejší mechanický model úlohy, ktorý sa málo líši od reálnej situácie • možno riešiť aj doteraz neriešiteľné zložité úlohy veľmi efektívne a presne • stávajú sa nástrojom získania/pochopenia nových teoretických poznatkov Pozor! Nemo žno podceňovať význam analytických, ale najmä experimentálnych metód!!!

Pou žívanie softvérových prostriedkov počítačovej mechaniky bez znalosti základných princípov mechaniky poddajných telies môže vies ť k chybným analýzam a záverom.

prednáška č.3 - 16/78

Základné pojmy MKP

Podstata riešenia úlohy pomocou MKP:

• diskretizáciou oblasti na prvky riešenie zjednodušíme tým, že nehľadáme funkcie posunutí v celej oblasti, ale iba vo vybraných uzlových bodoch (

nodes

), • tým namiesto sústavy diferenciálnych rovníc pre spojité teleso (

riešenie v uzavretom tvare

) riešime iba sústavu algebraických rovníc vo vybraných bodoch, • miesto diferenciálnych podmienok rovnováhy telesa zostavujeme v MKP podmienky silovej rovnováhy uzlových bodov, v ktorých „

vnútorné sily

“ vyjadrujeme pomocou „

posunutí

“ a tuhostných charakteristík prvkov, • výsledkom je nájdenie funkčných hodnôt hľadanej veličiny vo vybraných uzloch telesa, prednáška č.3 - 17/78

Základné pojmy MKP

Podstata riešenia úlohy pomocou MKP:

• priebeh hľadanej veličiny v každom prvku oblasti aproximujeme vhodne zvolenou funkciou

u

(

x,y,z

) , ktorá je jednoznačne určená funkčnými hodnotami (príp. ich deriváciami) v uzloch prvku, • iba uzly konečných prvkov prenášajú „

posunutia

“ a „

sily

“ medzi prvkami telesa, • pri diskretizácií telesa prvkami nesmú vznikať medzery ani prekrytia prvkov prednáška č.3 - 18/78

Základné pojmy MKP

Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP:

• zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov prednáška č.3 - 19/78

Základné pojmy MKP

zjednodušenie geometrického tvaru vypustenie alebo tvarové zjednodušenie pre riešenie úlohy nepodstatných častí geometrie - redukcia na n rozmernú úlohu využitie symetrie, antisymetrie geometrie alebo zaťaženia, rotačnej symetrie, ...

zjednodušenie mechanických a fyzikálnych vlastností materiálu (homogenizácia, redukcia anizotropie, ...) prednáška č.3 - 20/78

Základné pojmy MKP

Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP:

• zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov prednáška č.3 - 21/78

Základné pojmy MKP

Treba stanovi ť, oblasť do ktorej úloha spadá: - mechanika, termomechanika , prúdenie tekutín, elektrina, akustika, magnetizmus,..., príp. multifyzikálna úloha so vzájomnou interakciou jednotlivých polí.

- identifikujeme lineárnosť resp. nelineárnosť, stacionárnosť resp. časovú závislosť riešenej úlohy. - stanovia sa podmienky jednozna čnosti riešenia úlohy, t.j. geometria, materiálové vlastnosti, začiatočné a okrajové podmienky prednáška č.3 - 22/78

Základné pojmy MKP

Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP:

• zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov prednáška č.3 - 23/78

Základné pojmy MKP

Skúmaná oblasť je rozdelená (diskretizovaná) na malé oblasti – tzv. elementy (prvky).

skúmaná oblasť

A

(

V

) hranica

S

skúmanej oblasti

A

(

V

) prednáška č.3 - 24/78

Základné pojmy MKP

Skúmaná oblasť je rozdelená (diskretizovaná) na malé oblasti – tzv. elementy (prvky).

diskretizácia skúmanej oblasti konečný prvok uzol prednáška č.3 - 25/78

Základné pojmy MKP

Podľa tvaru diskretizovanej oblasti používame prvky: prednáška č.3 - 26/78

Základné pojmy MKP

Podľa tvaru diskretizovanej oblasti používame prvky: prednáška č.3 - 27/78

Základné pojmy MKP

Podľa tvaru diskretizovanej oblasti používame prvky: prednáška č.3 - 28/78

Základné pojmy MKP

Základné typy konečných prvkov: • čiarové prvky (prútový a nosníkový) • prvky poddajného telesa (plošné a objemové prvky) • prvky špeciálneho tvaru telesa (škrupinové a doskové prvky) • špeciálne prvky (viazané úlohy, kontakt, superelementy,...) prednáška č.3 - 29/78

Základné pojmy MKP

Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP:

• zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov prednáška č.3 - 30/78

Základné pojmy MKP

Výber primárnych neznámych závisí od druhu riešeného po ľa.

Pole

Silové Teplotné Elektrické Prúdenie tekutín

Akcia

Sila

F

Tepelný tok

P

Elektrický prúd

I

Tlak

p Reakcia

Premiestnenie

u

Teplota

T

Elektrický potenciál

V

Rýchlosť prúdenia

w

prednáška č.3 - 31/78

Základné pojmy MKP

Výber vhodných interpolačných (tvarových) funkcií.

• Určujú vzťah medzi primárnymi neznámymi vo vnútri prvku a v jeho uzlových bodoch. Funkcie musia spĺňať tieto podmienky: výsledný funkcionál P musí byť spojitý na hraniciach jednotlivých prvkov, (

t.j.

tvarové funkcie musia byť derivovateľné až do rádu o jeden menší, ako najvyšší rád derivácie vyskytujúci sa vo funkcionáli

) .

- musia zabezpe čiť konvergenciu výsledkov pre neznámu funkcionál P j , t.j.

sa pribli žuje ku svojej limitnej hodnote, ak objem oblasti

V

sa blíži k nule.

• Najčastejšie používanými interpolačnými funkciami sú lineárne polynómy, Lagrangeové polynómy, Hermiteove polynómy atď.

prednáška č.3 - 32/78

Základné pojmy MKP

Výhody polynómov ako interpolačných funkcií: • ľahko sa derivujú a integrujú, • presnosť aproximácie je možné zvýšiť rádom polynómu, • majú spojité derivácie.

u u

=  0 +  1

x u

=  0 +  1

x

+  2

x

2

u

=  0 +  1

x

+  2

x

2 +  3

x

3

oblasť prvku

prednáška č.3 - 33/78

Základné pojmy MKP

Polynómy musia spĺňať: • geometrickú izotropiu – kompletné polynómy, nezávislé od súradnicového systému (

Pascalov trojuholník, Pascalov ihlan

) • počet koeficientov  prvku musí byť zhodný s počtom stupňov voľnosti • kritéria konvergencie: interpolačné funkcie a ich derivácie obsiahnuté vo funkcionáli P

e

byť spojité, musia konštantné stavy posunutí a ich derivácií obsiahnuté v interpolačných funkciách obsiahnuté ( P

e

musia byť v 

= konšt,



= 0 – tuhé posunutie, rotácia

), tvarové funkcie musia byť spojité až po deriváciu rádu n-1, vyskytujúcu sa vo funkcionáli P

e

2 = kompletné prvky; 1+3 = kompatibilné (konformné) prvky prednáška č.3 - 34/78

Základné pojmy MKP

Spojitosť interpolačných funkcií označujeme: • C 0 spojité na hraniciach prvkov, • C 1 - ak sú spojité aj ich prvé derivácie, • . . .

konštantný člen lineárne členy kvadratické členy kubické členy bi kvadratické členy kvintické členy 1 x 5 x 2 x y xy y 2 x 4 x 3 x 2 y xy 2 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 3 y 4 x 4 y x 3 y 2 x 2 y 3 xy 4 y 5 < kompletný polynóm 2. stupňa (

6 členov

) < kompletný polynóm 5. stupňa (

21 členov

) prednáška č.3 - 35/78

Základné pojmy MKP

Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP:

• zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov prednáška č.3 - 36/78

Základné pojmy MKP

Ur čujú vzťah medzi akciami, ktoré na teleso pôsobia, a reakciami, ktoré vznikajú v samotnom telese vplyvom ich pôsobenia.

Pole

Silové Teplotné Elektrické Prúdenie tekutín

Konštitutívny vzťah

Hookov zákon Fourierov zákon (

prenos tepla vedením

) Ohmov zákon Bernoulliho rovnica prednáška č.3 - 37/78

Základné pojmy MKP

Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP:

• zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov prednáška č.3 - 38/78

Základné pojmy MKP

Varianty metódy konečných prvkov: • Deformačný variant (Lagrangeov princíp), primárne neznáme: • Silový variant (Castiglianov princíp), primárne neznáme: • Zmiešaný (hybridný) variant

u

       

u

Odvodenie matíc prvkov: • všeobecná deformačná metóda • priama tuhostná formulácia (

vhodná pre jednorozmerné prvky

) • energetická formulácia rovníc MKP • variačná formulácia rovníc MKP (

princíp virtuálnych prác

) prednáška č.3 - 39/78

Základné pojmy MKP

Zostavenie rozšírených matíc prvkov.

Zostavenie matíc konštrukcie.

Transform ácia zaťažení do uzlových bodov prvkov.

Aplikovanie okrajových podmienok.

prednáška č.3 - 40/78

Základné pojmy MKP

Matice prvkov:

Pole

Silové Teplotné Elektrické Prúdenie tekutín Vlastnosti matíc: pásová symetrická pozitívne definitná

Matica prvku K

matica tuhosti matica tepelnej vodivosti matica elektrickej vodivosti matica odporu prúdenia prednáška č.3 - 41/78

Základné pojmy MKP

Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP:

• zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov prednáška č.3 - 42/78

Základné pojmy MKP

Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP:

• zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov prednáška č.3 - 43/78

Základné pojmy MKP

Postprocesorom programu MKP.

Výstup a spracovanie výsledkov vo forme výpisov, tabuliek, grafov a grafických máp (izočiary, izoplochy, vektory gradientov atď.). Úlohou riešiteľa je tieto výsledky klasifikovať a využiť ich na optimalizáciu riešeného problému.

Táto časť riešenia úlohy pomocou MKP kladie vysoké nároky na teoretické znalosti, odbornú erudovanosť a praktické skúsenosti riešiteľa!

prednáška č.3 - 44/78

1 Y Z X ANSYS 5.6.2 APR 8 2002 11:54:05 DISPLACEMENT STEP=1 SUB =10 TIME=1 PowerGraphics EFACET=1 AVRES=Mat DMX =1.476 U F ACEL *DSCA=5 ZV =1 DIST=165 XF =150 YF =-4.02 Z-BUFFER 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 TEMP (AVG) RSYS=0 SMN =17.726

SMX =52.338

MX Y Z X FEB 4 2003 13:57:49 1 6172 -3987 -2918 -2918 MX -2918 -2918 -2918 -2918 ANSYS 5.6.2 MAR 16 2001 13:23:49 NODAL SOLUTION STEP=2 SUB =1 TIME=2 USUM (AVG) RSYS=0 PowerGraphics EFACET=1 AVRES=Mat DMX =.004814 SMX =.004814 U F 0 .535E-03 .00107 .001605 .002139 .002674 .003209 .003744 .004279 .004814 Y MN Z X DEFORMACIA STOZIARA Vn MN 17.726

21.572

25.417

29.263

33.109

36.955

40.8

44.646

48.492

52.338

1 VECTOR STEP=1 SUB =1 TIME=1 TF ELEM=1438 MIN=65.016

MAX=3908 FEB 4 2003 13:58:38 65.016

492.07

919.123

1346 1773 2200 Y Z 2627 X 3054 3481 3908

Priama tuhostná formulácia MKP

Pre prút konštantnej tuhosti oblasť zaťažovania.

v LSS a lineárne elastickú

a i a j N i

E, A

N j i j

x l

Rovnica rovnováhy prvku a deformácia prúta:

N i

 

N j



l



a j



a i



N j l E A

prednáška č.3 - 46/78

Priama tuhostná formulácia MKP

Tuhostný vzťah pre prút v LSS

N j



E A

(

a j l



a i

)

N i



E A

(

a i l



a j

) v maticovom tvare:  

N N i j

  

E A l

   1 1  1 1   

a



a j i

 

f

e



K

e

a

e

prednáška č.3 - 47/78

Priama tuhostná formulácia MKP

kde:

a

e

   

a a i j

  

f

e

  

N N i j

 

K

e



E A l

   1 1  1 1   lokálny vektor posunutí uzlov prvku lokálny vektor uzlových síl lokálna matica tuhosti prvku prednáška č.3 - 48/78

Priama tuhostná formulácia MKP

Transformácia uzlových síl a posunutí medzi veličinami v

y N j Q jy j Q jx x

- LSS

y j y i N i Q ix i Q iy

 

e x

GSS

x i x j

prednáška č.3 - 49/78

Priama tuhostná formulácia MKP

Transformácia síl

f

e

  

N N i j

     cos 0  sin  0 0 cos  0 sin      

Q Q

 

Q



Q ix iy jx jy

      v maticovom tvare

f

e



T

e

q

e

kde

T

e

je transformačná matica, (

pre dvojuzlový prútový prvok rovná

)

T

e

T T

    

T 0

  cos cos  

0 T

  sin   cos  pre 2D úlohu cos   pre 3D úlohu prednáška č.3 - 50/78

Priama tuhostná formulácia MKP

pričom matica

T

e

je ortogonálna a platí:

T

e

 1 

T

e

T

q

e

je vektor globálnych uzlových síl

q

e

   

Q Q

  

Q Q ix iy jx jy

      pre 2D úlohu

q

e

    

Q Q Q

 

Q iz

 

Q



Q ix iy jx jy jz

         pre 3D úlohu Uhol  a dĺžka prúta

l

cos  

x j l



x i

sin  

y j



y i l l

 (

x j



x i

) 2  (

y



y i

) 2

j

prednáška č.3 - 51/78

Priama tuhostná formulácia MKP

Transformácia posunutí

a

e

  

a a i j

     cos 0  sin  0 0 cos  v maticovom tvare

a

e



T

e

a

e

kde

a

e

je vektor globálnych uzlových posunutí

a

e

   

u v

  

u v i i j j

      pre 2D úlohu

a

e

         

u v w u v w i j i j i j

         0 sin      

u v

  

u v i i j j

      pre 3D úlohu prednáška č.3 - 52/78

Priama tuhostná formulácia MKP

Globálny tuhostný vzťah získame dosadením do lokálneho vzťahu

f

e



K

e

a

e

T

e

q

e



K

e

T

e

a

e

q

e



T

e

T

K

e

T

e

a

e

q

e



K

e

a

e

kde

K

e

je globálna matica tuhosti prvku

K

e



T

e

T

K

e

T

e

prednáška č.3 - 53/78

Energetická formulácia MKP

Statická úloha pružnosti:

A, V

p u i



F i

Body telesa sa presunú deformačným pohybom o vektorové pole posunutia

u

(

x,y,z

)

γ

F i      

F ix F iy F iz

    ,         

x y z

    ,  N/m 3 

p

    

p p y p x z

    ,  N/m 2 , N/m  prednáška č.3 - 54/78

Energetická formulácia MKP

Pre vybraný element má jeho

i

-ty uzol (napr.):

a

i

 

u i v i ndof w i

 T globálnych stupňov voľnosti Vektor globálnych posunutí prvku s

nnode

a

e

 

a

1

a

2 

a

i

počtom uzlov:

a

nnode

 T Výsledný vektor globálnych posunutí prvku bude: (

ndof

.

nnode

)  1 =

nedof

 1

Pre 2 uzlový prvok napr.:

(

nedof =

6)

a

e

        

u v w u v

1 1 2 2

w

2 1         prednáška č.3 - 55/78

Energetická formulácia MKP

Ak celkový počet uzlov konštrukcie posunutí uzlov konštrukcie:

a

 

a

1

a

2 bude

nbn



a

nbn

, vektor globálnych  T Výsledný vektor globálnych posunutí konštrukcie bude: (

ndof

.

nbn

)  1

a

         

u v w u

 1 1 2 1

w nbn

         prednáška č.3 - 56/78

Energetická formulácia MKP

Aproximačné funkcie, interpolačné funkcie, matice prvku

Aproximačné funkcie posunutí všeobecného bodu prvku:

u

    

u v

( (

w

(

x

,

x

,

x

,

y y y

, , ,

z z

) )

z

)        1   1 1

x x x y y y z z z xy xy xy

              1

nedof

    

Φ α

Pre uzlové body prvku:

a

e

    

Φ

(

Φ

(

x ndof x i

, , 

y i y ndof

, ,

z i

)

z ndof

)           1 

nedof

    

A α



α



A

 1

a

e

prednáška č.3 - 57/78

Energetická formulácia MKP

Po dosadení:

u



Φ A

 1

a

e

    

N

0 0

i

0

N i

0 0 0

N i

  

N nnode

0 0 0

N nnode

0 0 0

N nnode

          

u v w



i i i w nnode

       

N a

e

kde

N

je matica tvarových (interpolačných) funkcií ( transformačná matica posunutí prvku ) Pretvorenia prvku:

ε



L u



L N a

e



B a

e

kde

L

a

B

je matica diferenciálnych operátorov je transformačná matica pretvorení prvku prednáška č.3 - 58/78

Energetická formulácia MKP

L

          

x

0 0  

y

0  

z

0  

y

0  

x

 

z

0    0 0 0 

z



y



x

        Matica

B

obsahuje derivácie tvarových funkcií.

Napätie v prvku:

σ



D ε



D B a

e



S a

e

kde

D

a

S

je matica materiálových konštánt je transformačná matica napätí prvku prednáška č.3 - 59/78

Energetická formulácia MKP

Vplyv teploty alebo počiatočného predpätia môžeme zahrnúť:

σ



D



ε



ε

0  

D B a

e



D ε

0 kde 

0

zohľadňuje počiatočné pretvorenia príp. vplyv teploty

ε

0 

ε

T   

T

 1 1 1 0 0 0  T prednáška č.3 - 60/78

Energetická formulácia MKP

Pre každý prvok sa definuje funkcionál P

e

celkovú potenciálnu energiu prvku vyjadrujúci Π

e



A e



W e

 P

e

• deformačná energia (celková energia napätosti)

A e

 1 2 V

e



ε

T

σ

d

V • práca vonkajších síl

W e

 V 

e

u

T

γ

d

V  A 

e p

u

T

p

p

d

A   u i T F i prednáška č.3 - 61/78

Energetická formulácia MKP

Pre každý prvok sa definuje funkcionál P

e

celkovú potenciálnu energiu prvku.

vyjadrujúci P

e

 1 2 V

e



ε

T

σ

d

V V

e



u

T

γ

d

V  A

e p

u

T

p

p

d

A 

i n

  1 u

i

T F

i e

prednáška č.3 - 62/78

Energetická formulácia MKP

Pre každý prvok sa definuje funkcionál P

e

celkovú potenciálnu energiu prvku.

vyjadrujúci P

e

 1 2 V

e



ε

T

σ

d

V V

e



u

T

γ

d

V  A

e p

u

T

p

p

d

A 

i n

  1 u

i

T F

i

potenciálna energia vnútorných síl potenciálna energia vonkajších objemových síl povrchových síl uzlových (sústredených) síl

prednáška č.3 - 63/78

Energetická formulácia MKP

Pre každý prvok sa definuje funkcionál P

e

celkovú potenciálnu energiu prvku.

vyjadrujúci P

e

 1 2 V

e



ε

T

σ

d

V V

e



u

T

γ

d

V  A

e p

u

T

p

p

d

A 

i n

  1 u

i

T F

i

potenciálna energia vnútorných síl potenciálna energia vonkajších objemových síl povrchových síl uzlových (sústredených) síl

prednáška č.3 - 64/78

Energetická formulácia MKP

Pre každý prvok sa definuje funkcionál P

e

celkovú potenciálnu energiu prvku.

vyjadrujúci P

e

 1 2 V

e



ε

T

σ

d

V V

e



u

T

γ

d

V  A

e p

u

T

p

p

d

A 

i n

  1 u

i

T F

i

potenciálna energia vnútorných síl potenciálna energia vonkajších objemových síl povrchových síl uzlových (sústredených) síl

prednáška č.3 - 65/78

Energetická formulácia MKP

Pre každý prvok sa definuje funkcionál P

e

celkovú potenciálnu energiu prvku.

vyjadrujúci P

e

 1 2 V

e



ε

T

σ

d

V V

e



u

T

γ

d

V  A

e p

u

T

p

p

d

A 

i n

  1 u

i

T F

i

potenciálna energia vnútorných síl potenciálna energia vonkajších objemových síl povrchových síl uzlových (sústredených) síl

prednáška č.3 - 66/78

Energetická formulácia MKP

Pre každý prvok sa definuje funkcionál P

e

celkovú potenciálnu energiu prvku.

vyjadrujúci P

e

 1 2 V

e



ε

T

σ

d

V V

e



u

T

γ

d

V  A

e p

u

T

p

p

d

A 

i n

  1 u

i

T F

i

pri odvádzaní matíc prvku sa nezohľadňuje a zahŕňa sa až do vektora zaťaženia konštrukcie prednáška č.3 - 67/78

Energetická formulácia MKP

Pre vektorové pole posunutí bodov telesa

u

odpovedajúce za ťaženiu a uloženiu

minimálnu hodnotu ( nadobúda potenciálna energia P = min.). T.j. r iešením je také pole posunutí prvku

u

e

,

spĺňajúcich okrajové podmienky, ktoré minimalizuje funkcionál potenciálnej energie P

e

:  P

e



u i

 0 ,  z tejto podmienky stanovíme

u i Pozn:

P

MKP >

P

SKUT model sa správa tuhšie ako v skutočné teleso

prednáška č.3 - 68/78

Energetická formulácia MKP

Potenciálna energia prvku: P

e

 1 2 V

e



ε

T

σ

d

V V 

e

u

T

γ

d

V A

e



p

u

T

p

p

d

A P

e

 1 2

a

e

T  V

e

B

T

D B

d

V

a

e

-

a

e

T  V

e

N

T

γ

d

V -

a

e

T  A

e p

N

T

p

p

d

A P

e

 1 2

a

e

T

K

e

a

e

-

a

e

T

f

e

kde

K

e

je matica tuhosti prvku

K

e

 V 

e

B

T

D B

d

V prednáška č.3 - 69/78

Energetická formulácia MKP

a

f

e

je vektor vonkajšieho spojitého prvkového zaťaženia

f

e



f

b e



f

p e



f



e

0

f

b e

je vektor prvkového zaťaženia od objemových síl

f

b e

 V 

e

N

T

γ

d

V

f

p e

je vektor prvkového zaťaženia od povrchových síl

f

p e

 A

e



p

N

T

p

p

d

A

f



0 e

je vektor prvkových síl od začiatočnej (teplotnej) deformácie

f



e

0  V

e



B

T

Dε

0

d

V prednáška č.3 - 70/78

Energetická formulácia MKP

Celkovú potenciálnu energiu prvku dostaneme po zahrnutí potenciálnej energie sústredených uzlových síl

q

e : P

e

 1 2

a

e

T

K

e

a

e

-

a

e

T

f

e

-

a

e

T

q

e

Minimalizáciou potenciálnej energie vzhľadom na posunutia uzlových bodov dostaneme:  P

e



a

e



K

e

a

e

-

f

e

-

q

e

 0 Ak prvok nie je zaťažení spojitým zaťažením:

K

e

a

e



q

e

prednáška č.3 - 71/78

Pre každý prvok sa definujú prvkové algebraické rovnice

1 e

prednáška č.3 - 72/78

Pre každý prvok sa definujú prvkové algebraické rovnice

1 e 2 e

prednáška č.3 - 73/78

Pre každý prvok sa definujú prvkové algebraické rovnice

1 e 2 e 3 e

prednáška č.3 - 74/78

Prvkové algebraické rovnice sú zostavené do výsledného systému algebraických rovníc konštrukcie

1 e 2 e 3 e ...

e i

prednáška č.3 - 75/78

Príklad

Energetická formulácia MKP

L

e

u i

e

u(x) u j

e

j i

x - LSS x i

e

x x j

e Lineárna aproximačná funkcia posunutia všeobecného bodu dvojuzlového prutového prvku

u

 

u

(

x

)    1   2

x

  1

x

     1 2   

Φ α

Pre okrajové uzly

i

,

j

prvku potom podmienky

u

(

x i e

) 

u i e u

(

x e j

) 

u e j

prednáška č.3 - 76/78

Energetická formulácia MKP

zapíšeme v maticovom tvare

a

e

   

u u e i e j

       1 1 Koeficienty  potom

α

     1 2        1   

x L

1

L e i e e x i e x e j

       1 2   

A α



x

1

L e i e L e

       

u u i e e j

   

A

 1

a

e

Dosadením týchto koeficientov prvého výrazu dostaneme lokálny vzťah medzi posunutím všeobecného bodu prvku a posunutiami uzlových bodov

i , j

u

 

u

(

x

)  

ΦA

 1

a

e

    1 

x i e



L e x x



x i e L e

     

u u i e e j

    

N i e N e j

   

u u e i e j

   

N

e

a

e

prednáška č.3 - 77/78

Energetická formulácia MKP

Pomerná deformácia prvku

ε

  

x

  

du dx

   

u e j



u i e

 /

L e



d

N a

e dx

 1

L e

a pre napätie v prvku platí

σ



D ε



D B a

e



E u e j



L e u i e

1

L e

    

u u e i e j

   

B

e

a

e

Lokálna matica tuhosti prvku

K

e

  V

B

T

D B

d

V  

x x e i e j

  1

L e L e

1       1

L e

1

L e

 

A e dx



A e E L e

   1 1  1 1   prednáška č.3 - 78/78

prednáška č.3 - 79/78