Transcript D02_dynamika_hmotneho_bodu

Obsah přednášky :
dynamika hmotného bodu, pohybová rovnice,
d’Alembertův princip,
dva druhy úloh v dynamice,
zákony o zachování / změně
Doba studia :
asi 1 hodina
Cíl přednášky :
seznámit studenty se základními zákonitostmi dynamiky bodu
Dynamika hmotného bodu
Základem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.

m a 


Fi
základní pohybová rovnice
m – hmotnost [kg]
a – zrychlení [m/s2]
F – síla [N]
a
F
m
m·a = F
m = 2 kg
F=3N
a = 1,5 m/s2
Základní pohybová rovnice
určuje vztah mezi silami,
působícími na hmotný objekt,
a pohybem, těmito silami způsobeným.
Dynamika hmotného bodu
Základem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.

m a 


Fi
y
F
základní pohybová rovnice
x
m
a
G
a
f
N
G, F
- akční síly
N
- normálová reakce
T = f·N - třecí síla
   


m  a   Fi  G  F  N  T
Základní pohybová rovnice
má na pravé straně všechny působící síly.
Vektorovou rovnici rozložíme na složky
dle zvoleného souřadného systému.
T
ax = a m  a x 
F
xi
 G  sin a  F  cos a  T
m  a  G  sin a  F  cos a  N  f
ay = 0 m  a y 
F
yi
 N  G  cos a  F  sin a  0
N  G  cos a  F  sin a
Vyloučením reakcí získáme
tzv. vlastní pohybovou rovnici.
m  a  G  sin a  F  cos a  f  G  cos a  F  sin a 
m  a  G   sin a  f  cos a   F  cos a  f  sin a 
vlastní pohybová rovnice vznikne ze základní vyloučením reakcí
Dynamika hmotného bodu
Základem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.

m a 


Fi
přímý (Newtonův)
způsob sestavení
pohybové rovnice
a
F
m
m·a = F
m = 2 kg
F=3N
a = 1,5 m/s2
Tomuto způsobu sestavení pohybové rovnice,
kdy na levé straně rovnice
je součin hmotnosti a zrychlení,
a ten je na pravé straně
roven součtu působících vnějších sil,
říkáme přímý, nebo též Newtonův
způsob sestavení pohybové rovnice.
Dynamika hmotného bodu
Alternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).
Součin hmotnosti a zrychlení
převedeme na opačnou stranu rovnice.
Zavedeme substituci.
Takto vzniklá rovnice
má formálně charakter rovnice rovnováhy.
Tomuto postupu říkáme d’Alembertův princip.
Můžeme jej rozložit do dvou kroků :
1. Zavedeme tzv. d’Alembertovu sílu.
Její velikost je rovna součinu
hmotnosti a zrychlení.
Její směr je opačný než je směr zrychlení.
2. Silová soustava vnějších sil, doplněná o
d’Alembertovu sílu, je v rovnováze.
Rovnováhu vyjádříme rovnicemi rovnováhy.
Po dosazení D=m·a
pak dostáváme pohybovou rovnici.


m  a   Fi

 
 Fi  m  a  0

 m a  D

 
 Fi  D  0
d’Alembertův
princip

1.
2.

D  m a
D  m a

 
 Fi  D  0
rovnice rovnováhy
a
D
F
m
F-D=0
m·a = F
D=
m·a
Dynamika hmotného bodu
Alternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).
d’Alembertův
princip

Poznámka k filosofii mechaniky.
D’Alembertova síla ve skutečnosti neexistuje.
Jestliže při jízdě autem šlápneme na brzdu
nebo jedeme do zatáčky,
zdá se nám, že pociťujeme sílu,
která nás tlačí kupředu, resp. do strany.
To je právě ona d’Alemberova síla.
Ve skutečnosti žádná taková síla neexistuje,
jde pouze o subjektivní pocit.
Ve skutečnosti se naše tělo „chce“
pohybovat rovnoměrně přímočaře,
zatímco přední sklo se na nás „tlačí“ zepředu,
resp. dveře auta zboku.
Tato skutečnost se nám pouze subjektivně jeví
jako by na nás působila d’Alembertova síla.
Přestože d’Alembertova síla neexistuje,
postup zde uvedený je samozřejmě
v plném rozsahu správný.
1.
2.

D  m a
D  m a

 
 Fi  D  0
rovnice rovnováhy
a
D
F
m
F-D=0
m·a = F
D=
m·a
Dynamika hmotného bodu
Alternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).

m a 


Fi
přímý (Newtonův)
způsob sestavení
pohybové rovnice
a
F
m
m·a = F
m = 2 kg
F=3N
a = 1,5 m/s2
d’Alembertův
princip

1.
oba tyto
postupy
jsou
samozřejm
ě
správné,
ale
nesmí se
navzájem
kombinova
t
!
2.

D  m a
D  m a

 
 Fi  D  0
rovnice rovnováhy
a
D
F
m
F-D=0
m·a = F
D=
m·a
D - d’Alembertova síla, dynamická síla,
doplňková síla, setrvačná síla.
Působí proti směru zrychlení, její velikost
je rovna součinu hmotnosti a zrychlení.
Dynamika hmotného bodu
Alternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).
y
F
x
m
a
2.
f
d’Alembertův
princip

T
1.
N
G
a
1.
D
2.


D  m a
D  m a


 Fi  0
F
F
Proti směru zrychlení
zavedeme d’Alembertovu sílu.
F
xi
0
F
yi
0

D  m a
D  m a

 
 Fi  D  0
rovnice rovnováhy
Sestavíme rovnice rovnováhy.
xi
 G  sin a  F  cos a  T  D  G  sin a  F  cos a  N  f  D  0
yi
 N  G  cos a  F  sin a  0
N  G  cos a  F  sin a
G  sin a  F  cos a  f  G  cos a  F  sin a   D  0
G   sin a  f  cos a   F  cos a  f  sin a   D  0
G   sin a  f  cos a   F  cos a  f  sin a   m  a  0
m  a  G   sin a  f  cos a   F  cos a  f  sin a 
D  m a
Dynamika hmotného bodu
dva druhy úloh v dynamice
y
T
F
x
m
a
a
G
f
N
m  a  G   sin a  f  cos a   F  cos a  f  sin a 
úloha 1. druhu - kinetostatická
úloha 2. druhu - dynamická
je dán požadovaný pohyb,
zrychlení a
vypočtěte sílu F=?, potřebnou k
dosažení požadovaného pohybu
je dána síla F
F
vypočtěte jak se těleso
bude pohybovat a=?
G   sin a  f  cos a   m  a
D  m a
cos a  f  sin a
F
i
0
rovnice rovnováhy - algebraické
a 
G   sin a  f  cos a   F  cos a  f  sin a 
m
a  s
rovnice diferenciální
 
ma  F

dv 
m
F
dt


dm  v
 F
dt


dm  v  F  dt

m v 1
Zákony
o změně

dv

a 
dt



 dm  v  m  v1  m  v 0 

m v 0
t

Je-li síla konstantní,
lze ji z integrálu vytknout
a vyjádřit impuls síly  
jednodušeji :
I  Ft
 

Změna hybnosti
 p  p1  p 0
znamená změnu velikosti,
změnu směru nebo obojí.

F  dt
0


p  mv

I 
Úpravy pohybové rovnice nás přivedou
k definování dalších fyzikálních veličin.
t


F t   dt
[kg·m·s-1]
hybnost hmoty
impuls síly
[N·s  kg·m·s-1]
0
zákon o změně hybnosti

 

p  p1  p 0  I
Zde p0 je hybnost na začátku vyšetřovaného děje,
p1 je hybnost na konci vyšetřovaného děje.



p1  p 0   p

p0

p

 
L rp
Zákony o změně

r

IM 

 M  t   dt
moment hybnosti (točivost)
[kg·m2·s-1]
polohový vektor
[m]
impuls momentu
[N·m·s  kg·m2·s1]
moment síly
[N·m]
t
0

 
M  rF




 L  L 1  L 0  IM
zákon o změně momentu hybnosti
Zákony o změně
 
 
ma  F
1 d v
a 
2 ds
 F
1 d v
m 
2
ds
d

1
2
m v
2
1
m v1
2
d

2
2
F
  F  ds
m v
1
2
Úpravy pohybové rovnice nás přivedou
k definování dalších fyzikálních veličin.
2
ds
d  12  m  v
2
2

1
2
2
 m  v1 
1
2
2
 m  v0 
2
1
m v 0
2
 F  ds
Je-li síla konstantní,
lze ji z integrálu vytknout
a vyjádřit práci
 
A  Fs
jednodušeji :
s
EK 
1
2
m v

A   F  ds
2
kinetická energie
[J  kg·m2·s-2]
práce
[N·m  kg·m2·s-2]
s
zákon o změně kinetické energie
 E K  E K1  E K 0  A
Zde EK0 je kinetická energie na začátku vyšetřovaného děje,
EK1 je kinetická energie na konci vyšetřovaného děje.
Zákony o změně

A   F  ds
s
práce

F
skalární součin
 
A  F  s  F  s  cos 


FN

F
Práce je skalární součin síly a dráhy, je tedy třeba vzít v
úvahu rovněž úhel mezi směrem dráhy a směrem síly :

s
K vyjádření práce můžeme přistoupit i jinak. Sílu rozložíme na složky
ve směru dráhy (pracovní) a kolmo ke směru dráhy (nepracovní) :
pracovní složka síly nepracovní složka síly


FP
FP  F  cos 

s
FN  F  sin 
A  FP  s  F  cos   s
 0
 A  F s  0
  90 
 A  F  s  cos   0
  90 
 A 0
  90 
 A  F  s  cos   0 cos   90    0 záporná práce – práce spotřebovaná
  180   A   F  s
cos 0  1
kladná práce – práce vykonaná
cos 90   0
práce se nevykonává
cos 180    1
Zákony o změně

A   F  ds
[N·m  kg·m2·s-2]
práce
s
výkon
P 
dA

dt
 
F ds
 
 Fv
[N·m·s-1  W]
dt

F
 
P  F  v  F  v  cos 


v

FN

F
FP  F  cos 

P  FP  v  F  cos   v

FP

v
FN  F  sin 
Zákony o změně
 
E P   F ds  A
potenciální energie
Potenciální energie je rovna práci,
kterou musíme vykonat,
abychom těleso přemístili
z jedné polohy do druhé.
s
h
A 
1
2
3
F=G
G
0
 m  g   dy  m  g  h
0
F  G  m g
EP  m g h
m
h
 F  dy   m  g  dy
0
y
h
EP  0
potenciální energie (polohová)
Potenciální energie je spojena
s polohou tělesa nad povrchem Země.
zvolíme si tzv. „hladinu nulové potenciální energie“
K přemístění může dojít po různých trajektoriích - integračních cestách. Obecně platí,
že hodnota křivkového integrálu závisí na integrační cestě. V případě pohybu v gravitačním poli
práce síly F nezávisí na integrační cestě. Při přemístění po jakékoliv trajektorii je práce síly F
vždy stejná. Potenciální energie je rovna této práci.
Silové pole, které má tuto vlastnost (práce nezávisí na integrační cestě)
nazýváme konzervativní silové pole.
Zákony o změně
 
E P   F ds  A
potenciální energie
s
Ve skutečnosti tíhová síla G, a tedy ani tažná síla F=G,
nejsou konstantní.
G  
M m
r
y
EP  0
m
F=G
G
Země
R
2
 
M m
R  y 
2
 m g 
R
2
 R  y 2
 = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta,
- hmotnost Země,
- poloměr Země,
- vzdálenost od středu Země,
- výška nad povrchem Země.
M = 5,98·1024 kg
R = 6 378 km
r
y
na povrchu Země platí :
G  
M m
R
2
 m g

Práci je tedy třeba určit integrálem.
h
A 
 F
0
y
 dy
M  g R
2
Zákony o změně
 
E P   F ds  A
potenciální energie
s
A 
m
F=G
h
 F y   dy 

0
0
M m
R
 y
2
 dy
h
G
EP  0
Země
h
R
y
 1 
1 
1
A  M m 
  M m  

R R  h 
 R  y 0
h
R
A  M m 
 m g h 
R  R  h 
Rh
potenciální energie je rovna této práci
M  gR
EP  A
EP  m g h 
R
R h
potenciální energie (polohová)
Pro malou výšku nad Zemí pak přibližně platí :
R
1
pro h«R
Rh
EP  m g h
2
Zákony o změně
 
E P   F ds  A
potenciální energie
s
Potenciální energie nemusí být spojena vždy jen
s polohou hmotného objektu nad povrchem Země.
Působíme-li na vetknutý nosník silou F, nosník se prohne o průhyb y.
Působiště síly se posune a síla F tedy koná práci.
3
 - délka nosníku,
F
y

F
E - modul pružnosti v tahu
3E J
J - moment setrvačnosti
y
F = k·y
k - tuhost
k 
3E J

3
Pro výpočet práce je však třeba mít na paměti, že síla F=k·y není konstantní.
Pro průhyb o první milimetr stačí pouze malá síla F. Na druhý milimetr je již síla F větší.
Teprve při úplném prohnutí dosahuje síla F své konečné hodnoty.
Práci je tedy třeba určit integrováním :
A 
EP  A
y
y
 F  dy 
 k  y  dy 
0
0
EP 
1
2
k y 
2
1
2
Fy
1
2
k y 
2
1
2
Fy
potenciální energie (deformační)
Potenciální energie je spojena
s deformací poddajného objektu (nosníku).
zákon o zachování celkové mechanické energie
E C  E K  E P  konst
m
v0 = 0
EK0 = 0
EP0 =
m·g·h
Součet kinetické a potenciální energie
je celková mechanická energie.
Soustavu, jejíž celková mechanická energie se zachovává,
nazýváme konzervativní soustava.
E C  E K  E P  konst
E K 0  E P 0  E K 1  E P1
0  m g h 
h
v1 
1
2
2
 m  v1  0
2g h
v1 ≠ 0
EK1 = ½·m·v12
EP1 = 0
EP  0
Celková mechanická energie se zachovává.
zákon o změně celkové mechanické energie
Soustavu, jejíž celková mechanická energie se mění,
nazýváme nekonzervativní soustava.
E C  E K  E P  konst
s
EP1 =
m·g·h
E = ½·m·v
v
F
m
T
E C1  E C 0  A
m g h 
1
2
1
2
2
EC1
2
 m  v1  0 
v1 
1
2
1
2
 m  v0
2
1
2
1
2
EP0 = 0
N
a
 m  v1  0 
h
K1
G
EK0 = ½·m·v02
2
 m  v 0  F  cos a  s  T  s
EC0
A
 F  cos a  s  T  s  m  g  h
2
 m  v 0  F  cos a  s  T  s  m  g  h
1
2
m
N  G  cos a  F  sin a
T  f N
h  s  sin a
Změna celkové mechanické energie je rovna práci nekonzervativních sil.
(to jest sil, které nevytvářejí potenciální energii)
m
s
v
F
h
m
T
a
N
G
h
Způsob výpočtu dynamiky,
založený na rozboru celkové mechanické energie,
se nazývá energetická bilance.
Obsah přednášky :
dynamika hmotného bodu, pohybová rovnice,
d’Alembertův princip,
dva druhy úloh v dynamice,
zákony o zachování / změně