Transcript D13_dynamika_relativniho_pohybu
Slide 1
Doplňkové kapitoly
Obsah přednášky :
dynamika relativního pohybu
základy teorie rázu
reaktivní pohyb
Doba studia :
asi 1 hodina
Cíl přednášky :
seznámit studenty se způsobem řešení dynamiky relativního pohybu,
se základy teorie rázu a se zákonitostmi reaktivního pohybu.
Slide 2
Dynamika relativního pohybu
Jednou ze zvláštních kapitol dynamiky je dynamika relativního pohybu.
Představme si nákladní auto, na jehož korbě leží náklad o hmotnosti m. Auto se rozjíždí se
zrychlením aunáš (pohyb auta je unášivým pohybem). Zrychlení auta je tak velké (a tření na
korbě tak malé) že náklad na korbě proklouzne směrem dozadu. Proti směru tohoto klouzavého
pohybu působí třecí síla T.
v, a
aunáš
m
N
Pohybová rovnice nákladu je :
G
T
m a
F
i
T
T
Zrychlení nákladu je :
(předpokládáme, že toto zrychlení
a
m
je menší než zrychlení auta a
2
a konst
x 12 a t v 0 t x 0
v a t v0
zrychleným pohybem, pro nějž platí :
Toto je pohyb nákladu vůči Zemi. Dráha x je vzdálenost od nějakého pevného objektu, např. od
budovy, rychlost v a zrychlení a jsou rychlost a zrychlení vůči Zemi.
Jak se ale náklad pohybuje vůči vozidlu ? Např. za jakou dobu přepadne přes okraj ?
Slide 3
Dynamika relativního pohybu
Definujme kromě dráhy x nákladu vůči Zemi ještě dráhu xunáš unášivého pohybu auta vůči
Zemi a konečně xrel nákladu vůči vozu. Derivace těchto souřadnic jsou rychlost v a zrychlení a
nákladu vůči Zemi, vunáš a aunáš auta vůči Zemi a konečně relativní rychlost vrel a relativní
zrychlení arel nákladu vůči vozu.
vrel, arel
xrel
x
v, a
xunáš
aunáš
m
Dunáš
N
G
T
x x unas x rel
Pro dráhy x, resp. pro příslušné polohové vektory platí :
a a unas a rel
Po dvojí derivaci dále :
m
a
m
a
m
a
A konečně po vynásobení hmotností m :
rel
unas
m a rel m a m a unas
Rovnici můžeme přeuspořádat :
Dle základní pohybové rovnice je první člen na pravé straně :
Fi
Druhý člen na pravé straně můžeme nahradit d’Alembertovou silou : m a unas D unas
m a rel Fi D unas
Pohybová rovnice relativního pohybu pak je :
m a
m a rel D unas T
Slide 4
Dynamika relativního pohybu
Řešení dynamiky relativního pohybu pak můžeme shrnout takto :
Unášivý pohyb nahradíme příslušnou d’Alembertovou silou a relativní pohyb řešíme
jako by se jednalo o základní pohyb, přičemž do součtu sil zahrneme i tuto d’Alembertovu sílu.
vrel, arel
xrel
x
v, a
xunáš
m
Dunáš
N
G
T
aunáš
Slide 5
Dynamika relativního pohybu
Postup budeme demonstrovat na úloze matematického kyvadla. Hmotný bod o hmotnost m je
zavěšen na nehmotném závěsu délky r. Závěsný bod se pohybuje s konstantním zrychlením au.
Poloha závěsu s hmotným bodem je dána úhlem sklonu f od svislice.
Na hmotný bod působí akční tíhová síla G a reakční síla v závěsu S. Kromě toho zavedeme
d’Alembertovu sílu Du jako náhradu unášivého pohybu závěsného bodu.
Du m au
au
Pak již můžeme sestavit pohybovou rovnici
matematického kyvadla na „jako by“
pevném závěsu.
f
w, e
r
an
f
m
f
at
S
m a t D u cos f G sin f
m a n S D u sin f G cos f
Zde tečné a normálové zrychlení jsou :
a t r e r f
Du
2
2
a n r w r f
G
a t r e a u cos f g sin f
Vlastní pohybovou rovnicí je první z obou rovnic :
Druhá může sloužit k výpočtu síly v závěsu :
S m r w m a u sin f m g cos f
Vlastní pohybovou rovnici pak ještě upravíme :
e
2
au
r
cos f
g
r
sin f
Slide 6
Dynamika relativního pohybu
Postup budeme demonstrovat na úloze matematického kyvadla. Hmotný bod o hmotnost m je
zavěšen na nehmotném závěsu délky r. Závěsný bod se pohybuje s konstantním zrychlením au.
Poloha závěsu s hmotným bodem je dána úhlem sklonu f od svislice.
Na hmotný bod působí akční tíhová síla G a reakční síla v závěsu S. Kromě toho zavedeme
d’Alembertovu sílu Du jako náhradu unášivého pohybu závěsného bodu.
Vlastní pohybová rovnice je nelineární
au
diferenciální rovnicí II. řádu :
d f
2
e
f
f
w, e
r
an
f
m
at
S
cos f
g
sin f
2
dt
r
r
f a u cos f g sin f 0
r
r
Řešení v uzavřeném tvaru f = f(t) neumíme
nalézt. Můžeme provést řešení numerické.
t
Du
au
f
w e
G
Zajímavé (a jednoduché) je řešení ustáleného stavu. Kývavý pohyb jsme popsali jako netlumený.
Jak však již bylo zmíněno, každé kmitání je tlumené (zde např. odporem vzduchu).
Časem se tedy kývání ustálí v jisté poloze (f=fust), úhlové zrychlení pak již bude nulové e=0.
au
r
cos f ust
g
r
sin f ust 0
tan f ust
au
g
Slide 7
Dynamika relativního pohybu
Postup budeme demonstrovat na úloze matematického kyvadla. Hmotný bod o hmotnost m je
zavěšen na nehmotném závěsu délky r. Závěsný bod se pohybuje s konstantním zrychlením au.
Poloha závěsu s hmotným bodem je dána úhlem sklonu f od svislice.
Na hmotný bod působí akční tíhová síla G a reakční síla v závěsu S. Kromě toho zavedeme
d’Alembertovu sílu Du jako náhradu unášivého pohybu závěsného bodu.
Alternativní řešení je diferenciální
au
rovnice I. řádu :
e w
f
an
f
m
at
df
au
cos f
r
g
sin f
r
V tomto případě nalezneme řešení poměrně
snadno separací proměnných a integrováním.
f
w, e
r
dw
g
a
w d w u cos f sin f d f
r
r
S
f
w
Du
w dw
G
w0
1
2
w
2
1
2
2
w0
při počátečních podmínkách : t=0 ... f=0, w=0
pro maximální úhel výkyvu platí w(f=fmax) = 0 :
au
r
g
au
cos
f
sin
f
df
r
r
f0
sin f sin f 0
g
r
cos f cos f 0
g
g
a
2 u sin f cos f
r
r
r
au
g
g
sin f max cos f max 0
r
r
r
w
Slide 8
Dynamika relativního pohybu
Jak víme z teorie současných pohybů, výsledné zrychlení je dáno třemi složkami (příspěvky) :
zrychlení unášivého pohybu, zrychlení relativního pohybu, Coriolisovo zrychlení.
a a unas a rel a Cor
m a m a unas m a rel m a Cor
Po roznásobení hmotností :
m a rel m a m a unas m a Cor
Po přeuspořádání :
První člen na pravé straně je (dle základní pohybové rovnice) : m a Fi
m a unas D unas
Druhý člen představuje d’Alembertovu sílu unášivého pohybu :
Třetí člen představuje d’Alembertovu sílu, příslušející Coriolisovu zrychlení : m a Cor D Cor
kde Coriolisovo zrychlení je :
Pohybová rovnice relativního pohybu pak má tvar :
m a rel
Řešení dynamiky relativního pohybu pak můžeme shrnout takto :
Unášivý pohyb nahradíme příslušnou d’Alembertovou silou.
Zavedeme d’Alembertovu sílu, příslušející Coriolisovu zrychlení.
Relativní pohyb řešíme jako by se jednalo o základní pohyb,
přičemž do součtu sil zahrneme i obě tyto d’Alembertovy síly.
a Cor 2 w unas v rel
Fi D unas D Cor
D unas m a unas
D Cor m a Cor
Slide 9
Dynamika relativního pohybu
Odstředivý vrhač je buben, rotující konstantní úhlovou rychlostí w (unášivý pohyb), opatřený
radiální drážkou. V ní se pohybuje projektil o hmotnosti m. Budeme řešit relativní pohyb
projektilu v drážce (směr r).
Buben leží ve vodorovné rovině, tíhová síla
aCor
působí kolmo k rovině pohybu, proto s ní
vrel, arel
w
w
Dn
nebudeme počítat.
m
m
r
Zrychlení projektilu je trojí :
r
f
an
at = e·r = 0 - unášivé tečné zrychlení,
N
vrel, arel
T
an = w2·r
- unášivé normálové
DCor
zrychlení,
w konst
arel
- relativní zrychlení,
aCor = 2·w·vrel - Coriolisovo zrychlení.
e0
Na projektil působí normálová reakce N (kolmo k drážce), třecí síla T = N·f (f je koeficient
tření) proti směru pohybu. D’Alembertovy síly jsou :
Dt m at m e r 0
unášivý pohyb, tečný směr
Dn m an m w r
2
D Cor m a Cor
unášivý pohyb, normálový směr
a Cor 2 w v rel
Coriolisovo zrychlení
a Cor 2 w r
D Cor 2 m w r
Z rovnice rovnováhy pro směr kolmo k drážce vyplývá :
Třecí síla je :
Konečně pohybová rovnice relativního pohybu je :
N D Cor
T f N f 2 m w r
m a rel D n T m w r 2 f m w r
2
Slide 10
Dynamika relativního pohybu
Odstředivý vrhač je buben, rotující konstantní úhlovou rychlostí w (unášivý pohyb), opatřený
radiální drážkou. V ní se pohybuje projektil o hmotnosti m. Budeme řešit relativní pohyb
projektilu v drážce (směr r).
Pohybová rovnice relativního pohybu :
w
r
aCor
vrel, arel
Dn
an
vrel, arel
2
m a rel m w r 2 f m w r
m
r
m
w
2
a rel r w r 2 f w r
f
r 2 f w r w 2 r 0
N
T
DCor
Řešení hledáme ve tvaru :
t
w konst
r C e
e0
t
r C e
r C 2 e t
2f w w 0
2
Sestavíme charakteristickou rovnici :
Její řešení je :
1 ,2 f w
Zde kořen
kořen
V řešení :
r C1 e
1 t
C2 e
2t
1 t
2t
r C 1 1 e
C2 2 e
t=0 ...
r r0
r 0
2
1 w
2 w
2
f 1 f
2
f w w
2
f 1 f
2
2
je kladný,
je záporný.
integrační konstanty C1 a C2 určíme z
počátečních podmínek.
počáteční poloha projektilu v drážce
počáteční rychlost
C 1 C 2 r0
C1 1 C 2 2 0
Slide 11
Dynamika relativního pohybu
Odstředivý vrhač je buben, rotující konstantní úhlovou rychlostí w (unášivý pohyb), opatřený
radiální drážkou. V ní se pohybuje projektil o hmotnosti m. Budeme řešit relativní pohyb
projektilu v drážce (směr r).
Relativní pohyb :
w
r
aCor
vrel, arel
an
vrel, arel
Dn
f
N
T
w konst
r C1 e
m
r
m
w
1 t
C2 e
2t
Integrační konstanty :
C 1 r0
DCor
2
2 1
C 2 r0
e0
1
1 2
r0
1
1
2
2
f 1
r0
1
1
2
2
f 1
f
f
Kořen 1 je kladný a člen C1·e1·t (v grafu červeně) představuje exponenciální nárůst.
Kořen 2 je záporný a člen C2·e2·t (v grafu modře) se limitně blíží nule.
r 40
[mm]
C1 e
20
1 t
C2 e
2t
C1 e
1 t
C2 e
0
0
0.005
0.01
2t
0.015 t [s]
Slide 12
Základy teorie rázu - centrální ráz
Ráz těles je situace, kdy mezi dvěma tělesy dojde k mechanické interakci
po extrémně krátkou dobu. V průběhu této doby dojde ke změně rychlostí obou těles.
Centrální ráz nastává, jestliže vektory rázových sil, vznikajících na normále styčné plochy,
leží na spojnici středů hmotnosti obou těles.
Mají pak k tomuto středu nulový moment a neprojeví se tedy natáčením tělesa.
Mějme dvě tělesa o hmotnostech ma a mb.
Tělesa se pohybují tak, že dojde k jejich vzájemnému nárazu.
Označme kolmici ke společné dotykové rovině,
procházející dotykovým bodem, za normálu.
Prochází-li tato normála středy hmotnosti obou těles Sa a Sb,
označíme jejich ráz za centrální.
v a0
v b0
ma
n
Sa
Sb
mb
V okamžiku nárazu, přesněji těsně před nárazem, mají obě tělesa jisté okamžité rychlosti.
Tyto rychlosti rozložíme do směru normály n a do směru kolmého k normále,
který můžeme označit za tečný.
Tečné složky rychlosti se nebudou v průběhu rázu nijak měnit a nebudeme se tedy jimi zabývat.
Normálové složky okamžitých rychlostí těsně před nárazem jsou va0 a vb0
(nutným předpokladem vzniku rázu samozřejmě je va0 > vb0).
Jak se tyto rychlosti budou v průběhu rázu měnit, bude ukázáno v dalším textu.
Slide 13
Základy teorie rázu - centrální ráz
Celý ráz má dvě fáze. Říkejme ji “náraz” a “odraz”.
Náraz je děj od prvního dotyku těles až do okamžiku, kdy se jejich rychlosti vyrovnají.
Odraz pak následuje až do okamžiku, kdy se tělesa od sebe odpoutají rychlostmi va < vb.
v a0
v b0
1. Náraz
Hybnost obou těles těsně před nárazem je :
ma
n
Sa
Sb
p m a v a0 m b v b0
mb
Mají-li obě tělesa na konci nárazu společnou rychlost vab,
pak jejich hybnost na konci této první fáze je :
v ab
n
p m a m b v ab
Protože na obě tělesa působí pouze vnitřní síly, které jsou navzájem stejně velké,
opačně orientované, a jejich celkový impuls je nulový (oba impulsy se navzájem
odečtou), je změna celkové hybnosti rovněž nulová,
neboli hybnost před nárazem a po něm jsou shodné :
m a v a 0 m b v b 0 m a m b v ab
neboli :
v ab
m a v a0 m b v b0
ma mb
Slide 14
Základy teorie rázu - centrální ráz
Celý ráz má dvě fáze. Říkejme ji “náraz” a “odraz”.
Náraz je děj od prvního dotyku těles až do okamžiku, kdy se jejich rychlosti vyrovnají.
Odraz pak následuje až do okamžiku, kdy se tělesa od sebe odpoutají rychlostmi va < vb.
2. Odraz
Tato fáze je z hlediska dalšího pohybu obzvlášť důležitá. Ve fázi nárazu dochází
k deformaci obou těles (působením sil, jimiž na sebe tělesa navzájem působí).
Ve fázi odrazu mají tělesa snahu nabýt opět původního tvaru
(proto se tato fáze nazývá “restitucí”).
I nadále na sebe navzájem působí silami, navzájem se od sebe “odstrčí”.
> Jestliže obě tělesa ve fázi odrazu dosáhnou zcela svého původního tvaru
(např. kulečníkové koule), nazveme jejich ráz dokonale pružným.
> Jestliže obě tělesa dosáhnou jen částečně svého původního tvaru
(např. olověný projektil), nazveme jejich ráz pružně-plastickým.
> Jestliže se tvar těles od okamžiku vyrovnání rychlostí již vůbec nezmění
(např. koule z plastelíny), nazveme jejich ráz dokonale plastickým.
V tomto případě již fáze odrazu nenastane.
Promítněme (v souladu s Newtonovým řešením) ztráty,
spojené s trvalým přetvořením těles, do úbytku hybnosti.
Budou-li rychlosti obou těles na konci odrazu va resp. vb (kde samozřejmě va < vb),
bude hybnost jednotlivých těles po odrazu :
resp.
pa ma va
pb mb vb
Slide 15
Základy teorie rázu - centrální ráz
Celý ráz má dvě fáze. Říkejme ji “náraz” a “odraz”.
Náraz je děj od prvního dotyku těles až do okamžiku, kdy se jejich rychlosti vyrovnají.
Odraz pak následuje až do okamžiku, kdy se tělesa od sebe odpoutají rychlostmi va < vb.
2. Odraz
Definujme tzv. součinitel restituce e, vyjadřující úbytek hybnosti jednotlivých těles.
Vyjádřeme změnu hybnosti ve fázi nárazu a odrazu jednotlivých těles :
p o d raz e p n á raz
> Pro dokonale pružný ráz (e=1) budou ve fázi odrazu působit stejné vnitřní síly,
jako ve fázi nárazu. Jejich impulsy budou stejné v obou fázích
a změna hybnosti každého jednotlivého tělesa při odrazu bude stejná,
jako změna hybnosti téhož tělesa při nárazu.
> Pro pružně-plastický ráz (0
Tedy i změna hybnosti každého jednotlivého tělesa při odrazu bude e-násobně menší,
než změna hybnosti téhož tělesa při nárazu.
> Pro dokonale plastický ráz (e=0) již ve fázi odrazu vůbec nedojde ke změně tvaru těles,
vnitřní síly již při odrazu nebudou působit, a jejich impuls,
jakož i změna hybnosti jednotlivých těles, budou nulové.
Slide 16
Základy teorie rázu - centrální ráz
Celý ráz má dvě fáze. Říkejme ji “náraz” a “odraz”.
Náraz je děj od prvního dotyku těles až do okamžiku, kdy se jejich rychlosti vyrovnají.
Odraz pak následuje až do okamžiku, kdy se tělesa od sebe odpoutají rychlostmi va < vb.
2. Odraz
těleso a :
těleso b :
m a v ab m a v a e m a v a 0 m a v ab
podraz
m b v b m b v ab e m b v ab m b v b 0
pnáraz
podraz
pnáraz
Z těchto výrazů můžeme vyjádřit součinitel restituce :
e
v ab v a
e
v a 0 v ab
v b v ab
v ab v b 0
Dosazením výrazu pro společnou rychlost obou těles
při přechodu od nárazu k odrazu vab do těchto vztahů dostáváme :
va
m a v a0 m b v b0 m b e v a0 v b0
ma mb
rychlost tělesa a po odrazu
vb
m a v a0 m b v b0 m a e v a0 v b0
ma mb
rychlost tělesa b po odrazu
Čtenář snadno sám nahlédne, že pro dokonale plastický ráz (e=0)
je řešení shodné s koncem fáze nárazu.
Jak bylo uvedeno výše, při dokonale plastickém rázu fáze odrazu vůbec nenastává.
Slide 17
Základy teorie rázu - centrální ráz
Zvláštním případem rázu je situace, kdy obě tělesa mají stejnou hmotnost (ma=mb=m),
a jedno těleso je před rázem v klidu (např. vb0 = 0).
Výše odvozené výrazy pro rychlost obou těles po rázu se zjednoduší na tvar :
va
1
2
1 e v a 0
vb
1
2
1 e v a 0
Pro dokonale pružný ráz (e=1) pak konečně vychází :
va 0
v b v a0
To znamená, že první těleso, které se původně pohybovalo rychlostí va0, se zastaví,
zatímco druhé těleso, které bylo původně v klidu, se bude po rázu pohybovat
rychlostí prvního tělesa před rázem vb=va0.
Jiný zvláštní případ rázu je situace, kdy druhé těleso je velmi hmotné a v klidu (mb » ma, vb0=0).
Z nulové rychlosti druhého tělesa bezprostředně vyplývá :
va va0
v b v a0
ma mb e
ma mb
mb
ma
v a 0
e
ma mb
ma mb
ma ma e
ma mb
v a0
ma
ma mb
1 e
Uvážíme-li dále, že pro mb » ma je
hmotnost prvního tělesa ma zanedbatelná
vůči součtu hmotností ma+mb, zatímco
hmotnost druhého tělesa mb je tomuto
součtu hmotností téměř rovna, dostáváme :
va va0 e
vb 0
Tedy první těleso se odrazí v protisměru rychlostí, která je e-násobně menší než rychlost nárazu.
Druhé těleso zůstane i nadále prakticky v klidu.
Slide 18
Reaktivní pohyb
O reaktivním pohybu mluvíme tehdy, jestliže se hmotnost tělesa při pohybu mění.
Když jsme se v jedné z počátečních kapitol zabývali zákonem o změně hybnosti,
měli jsme na mysli většinou změnu rychlosti (ať už velikosti nebo směru).
Může se však jednat též o změnu hmotnosti.
Typickým příkladem je reaktivní pohon rakety, jejíž hmotnost při spalování paliva klesá.
Spaliny jsou silou F urychlovány a výtokovou rychlostí c opouštějí raketu.
Podle zákona akce a reakce působí na raketu stejně velká, opačně orientovaná reaktivní síla FR.
m - dm
dm
FR
F
c
v
vs
v
c
v - rychlost rakety,
c - relativní výtoková rychlost spalin vůči raketě,
vs - absolutní rychlost spalin vůči okolnímu prostoru.
Slide 19
Reaktivní pohyb
m - dm
dm
FR
F
c
v - rychlost rakety,
c - relativní výtoková rychlost spalin vůči raketě,
vs - absolutní rychlost spalin vůči okolnímu prostoru.
v
vs
v
c
Za elementární časový okamžik dt je hmotnost spalin dm vypuzena z rakety.
Vzhledem k zákonu akce a reakce jsou síla F, kterou jsou spaliny vrhány z rakety,
a reaktivní síla FR, působící na raketu, stejně velké, ale opačně orientované.
Celkový impuls sil je tedy nulový a i změna hybnosti dp je nulová.
Hybnost na počátku časového úseku dt je :
pt m v
kde m je hmotnost rakety (proměnná), v je její rychlost.
Hybnost rakety a spalin na konci časového úseku dt je :
p t dt m dm v dv dm v S
hybnost rakety
kde vS = c-v je skutečná rychlost spalin.
hybnost spalin
Slide 20
Reaktivní pohyb
Je-li impuls sil a tedy i změna hybnosti nulová, musí platit :
dp p t dt p t m dm v dv dm c v m v 0
p t dt
p t
m v m dv v dm dm dv c dm v dm m v 0
Výraz dm·dv je veličina nekonečně malá druhého řádu, tedy limitně se blížící nule.
Rovnice pak má tvar :
m dv c dm 0
Diferenciál hmoty dm vyjadřuje úbytek hmotnosti rakety. Vyjádříme-li jej jako přírůstek
(jak je obvyklé), tedy s opačným znaménkem, dostaneme :
m dv c dm 0
m dv c dm 0
Integrací této rovnice pak dostáváme :
v
dv c
v0
m
m0
v v 0 c ln
dm
m
m0
m0 mS
Toto jest Ciolkovského rovnice reaktivního pohybu.
Zde m0 je počáteční hmotnost rakety, mS je hmotnost spalin
a m=m0-mS je okamžitá hmotnost rakety.
Slide 21
Reaktivní pohyb
Toto jest Ciolkovského rovnice reaktivního pohybu.
Zde m0 je počáteční hmotnost rakety, mS je hmotnost spalin
a m=m0-mS je okamžitá hmotnost rakety.
v v 0 c ln
m0
m0 mS
Rovnice vyjadřuje nárůst rychlosti rakety v v závislosti na poklesu hmotnosti rakety.
Z původní diferenciální rovnice lze vyjádřit reaktivní sílu :
m dv c dm
m
dv
m a c
dt
dm
dt
Pravá strana této pohybové rovnice je reaktivní síla :
FR c
dm
dt
Připomeňme, že hmotnost rakety se snižuje, změna hmotnosti dm je tedy záporná
a samotná reaktivní síla FR je samozřejmě kladná.
Pozn. : Jak se s časem mění okamžitá hmotnost rakety (režim spalování),
jaká je časová derivace této závislosti, jaká je výtoková rychlost c, a tedy reaktivní síla,
je problémem termodynamiky a nebude zde řešeno.
Slide 22
Obsah přednášky :
dynamika relativního pohybu
základy teorie rázu
reaktivní pohyb
Doplňkové kapitoly
Obsah přednášky :
dynamika relativního pohybu
základy teorie rázu
reaktivní pohyb
Doba studia :
asi 1 hodina
Cíl přednášky :
seznámit studenty se způsobem řešení dynamiky relativního pohybu,
se základy teorie rázu a se zákonitostmi reaktivního pohybu.
Slide 2
Dynamika relativního pohybu
Jednou ze zvláštních kapitol dynamiky je dynamika relativního pohybu.
Představme si nákladní auto, na jehož korbě leží náklad o hmotnosti m. Auto se rozjíždí se
zrychlením aunáš (pohyb auta je unášivým pohybem). Zrychlení auta je tak velké (a tření na
korbě tak malé) že náklad na korbě proklouzne směrem dozadu. Proti směru tohoto klouzavého
pohybu působí třecí síla T.
v, a
aunáš
m
N
Pohybová rovnice nákladu je :
G
T
m a
F
i
T
T
Zrychlení nákladu je :
(předpokládáme, že toto zrychlení
a
m
je menší než zrychlení auta a
2
a konst
x 12 a t v 0 t x 0
v a t v0
zrychleným pohybem, pro nějž platí :
Toto je pohyb nákladu vůči Zemi. Dráha x je vzdálenost od nějakého pevného objektu, např. od
budovy, rychlost v a zrychlení a jsou rychlost a zrychlení vůči Zemi.
Jak se ale náklad pohybuje vůči vozidlu ? Např. za jakou dobu přepadne přes okraj ?
Slide 3
Dynamika relativního pohybu
Definujme kromě dráhy x nákladu vůči Zemi ještě dráhu xunáš unášivého pohybu auta vůči
Zemi a konečně xrel nákladu vůči vozu. Derivace těchto souřadnic jsou rychlost v a zrychlení a
nákladu vůči Zemi, vunáš a aunáš auta vůči Zemi a konečně relativní rychlost vrel a relativní
zrychlení arel nákladu vůči vozu.
vrel, arel
xrel
x
v, a
xunáš
aunáš
m
Dunáš
N
G
T
x x unas x rel
Pro dráhy x, resp. pro příslušné polohové vektory platí :
a a unas a rel
Po dvojí derivaci dále :
m
a
m
a
m
a
A konečně po vynásobení hmotností m :
rel
unas
m a rel m a m a unas
Rovnici můžeme přeuspořádat :
Dle základní pohybové rovnice je první člen na pravé straně :
Fi
Druhý člen na pravé straně můžeme nahradit d’Alembertovou silou : m a unas D unas
m a rel Fi D unas
Pohybová rovnice relativního pohybu pak je :
m a
m a rel D unas T
Slide 4
Dynamika relativního pohybu
Řešení dynamiky relativního pohybu pak můžeme shrnout takto :
Unášivý pohyb nahradíme příslušnou d’Alembertovou silou a relativní pohyb řešíme
jako by se jednalo o základní pohyb, přičemž do součtu sil zahrneme i tuto d’Alembertovu sílu.
vrel, arel
xrel
x
v, a
xunáš
m
Dunáš
N
G
T
aunáš
Slide 5
Dynamika relativního pohybu
Postup budeme demonstrovat na úloze matematického kyvadla. Hmotný bod o hmotnost m je
zavěšen na nehmotném závěsu délky r. Závěsný bod se pohybuje s konstantním zrychlením au.
Poloha závěsu s hmotným bodem je dána úhlem sklonu f od svislice.
Na hmotný bod působí akční tíhová síla G a reakční síla v závěsu S. Kromě toho zavedeme
d’Alembertovu sílu Du jako náhradu unášivého pohybu závěsného bodu.
Du m au
au
Pak již můžeme sestavit pohybovou rovnici
matematického kyvadla na „jako by“
pevném závěsu.
f
w, e
r
an
f
m
f
at
S
m a t D u cos f G sin f
m a n S D u sin f G cos f
Zde tečné a normálové zrychlení jsou :
a t r e r f
Du
2
2
a n r w r f
G
a t r e a u cos f g sin f
Vlastní pohybovou rovnicí je první z obou rovnic :
Druhá může sloužit k výpočtu síly v závěsu :
S m r w m a u sin f m g cos f
Vlastní pohybovou rovnici pak ještě upravíme :
e
2
au
r
cos f
g
r
sin f
Slide 6
Dynamika relativního pohybu
Postup budeme demonstrovat na úloze matematického kyvadla. Hmotný bod o hmotnost m je
zavěšen na nehmotném závěsu délky r. Závěsný bod se pohybuje s konstantním zrychlením au.
Poloha závěsu s hmotným bodem je dána úhlem sklonu f od svislice.
Na hmotný bod působí akční tíhová síla G a reakční síla v závěsu S. Kromě toho zavedeme
d’Alembertovu sílu Du jako náhradu unášivého pohybu závěsného bodu.
Vlastní pohybová rovnice je nelineární
au
diferenciální rovnicí II. řádu :
d f
2
e
f
f
w, e
r
an
f
m
at
S
cos f
g
sin f
2
dt
r
r
f a u cos f g sin f 0
r
r
Řešení v uzavřeném tvaru f = f(t) neumíme
nalézt. Můžeme provést řešení numerické.
t
Du
au
f
w e
G
Zajímavé (a jednoduché) je řešení ustáleného stavu. Kývavý pohyb jsme popsali jako netlumený.
Jak však již bylo zmíněno, každé kmitání je tlumené (zde např. odporem vzduchu).
Časem se tedy kývání ustálí v jisté poloze (f=fust), úhlové zrychlení pak již bude nulové e=0.
au
r
cos f ust
g
r
sin f ust 0
tan f ust
au
g
Slide 7
Dynamika relativního pohybu
Postup budeme demonstrovat na úloze matematického kyvadla. Hmotný bod o hmotnost m je
zavěšen na nehmotném závěsu délky r. Závěsný bod se pohybuje s konstantním zrychlením au.
Poloha závěsu s hmotným bodem je dána úhlem sklonu f od svislice.
Na hmotný bod působí akční tíhová síla G a reakční síla v závěsu S. Kromě toho zavedeme
d’Alembertovu sílu Du jako náhradu unášivého pohybu závěsného bodu.
Alternativní řešení je diferenciální
au
rovnice I. řádu :
e w
f
an
f
m
at
df
au
cos f
r
g
sin f
r
V tomto případě nalezneme řešení poměrně
snadno separací proměnných a integrováním.
f
w, e
r
dw
g
a
w d w u cos f sin f d f
r
r
S
f
w
Du
w dw
G
w0
1
2
w
2
1
2
2
w0
při počátečních podmínkách : t=0 ... f=0, w=0
pro maximální úhel výkyvu platí w(f=fmax) = 0 :
au
r
g
au
cos
f
sin
f
df
r
r
f0
sin f sin f 0
g
r
cos f cos f 0
g
g
a
2 u sin f cos f
r
r
r
au
g
g
sin f max cos f max 0
r
r
r
w
Slide 8
Dynamika relativního pohybu
Jak víme z teorie současných pohybů, výsledné zrychlení je dáno třemi složkami (příspěvky) :
zrychlení unášivého pohybu, zrychlení relativního pohybu, Coriolisovo zrychlení.
a a unas a rel a Cor
m a m a unas m a rel m a Cor
Po roznásobení hmotností :
m a rel m a m a unas m a Cor
Po přeuspořádání :
První člen na pravé straně je (dle základní pohybové rovnice) : m a Fi
m a unas D unas
Druhý člen představuje d’Alembertovu sílu unášivého pohybu :
Třetí člen představuje d’Alembertovu sílu, příslušející Coriolisovu zrychlení : m a Cor D Cor
kde Coriolisovo zrychlení je :
Pohybová rovnice relativního pohybu pak má tvar :
m a rel
Řešení dynamiky relativního pohybu pak můžeme shrnout takto :
Unášivý pohyb nahradíme příslušnou d’Alembertovou silou.
Zavedeme d’Alembertovu sílu, příslušející Coriolisovu zrychlení.
Relativní pohyb řešíme jako by se jednalo o základní pohyb,
přičemž do součtu sil zahrneme i obě tyto d’Alembertovy síly.
a Cor 2 w unas v rel
Fi D unas D Cor
D unas m a unas
D Cor m a Cor
Slide 9
Dynamika relativního pohybu
Odstředivý vrhač je buben, rotující konstantní úhlovou rychlostí w (unášivý pohyb), opatřený
radiální drážkou. V ní se pohybuje projektil o hmotnosti m. Budeme řešit relativní pohyb
projektilu v drážce (směr r).
Buben leží ve vodorovné rovině, tíhová síla
aCor
působí kolmo k rovině pohybu, proto s ní
vrel, arel
w
w
Dn
nebudeme počítat.
m
m
r
Zrychlení projektilu je trojí :
r
f
an
at = e·r = 0 - unášivé tečné zrychlení,
N
vrel, arel
T
an = w2·r
- unášivé normálové
DCor
zrychlení,
w konst
arel
- relativní zrychlení,
aCor = 2·w·vrel - Coriolisovo zrychlení.
e0
Na projektil působí normálová reakce N (kolmo k drážce), třecí síla T = N·f (f je koeficient
tření) proti směru pohybu. D’Alembertovy síly jsou :
Dt m at m e r 0
unášivý pohyb, tečný směr
Dn m an m w r
2
D Cor m a Cor
unášivý pohyb, normálový směr
a Cor 2 w v rel
Coriolisovo zrychlení
a Cor 2 w r
D Cor 2 m w r
Z rovnice rovnováhy pro směr kolmo k drážce vyplývá :
Třecí síla je :
Konečně pohybová rovnice relativního pohybu je :
N D Cor
T f N f 2 m w r
m a rel D n T m w r 2 f m w r
2
Slide 10
Dynamika relativního pohybu
Odstředivý vrhač je buben, rotující konstantní úhlovou rychlostí w (unášivý pohyb), opatřený
radiální drážkou. V ní se pohybuje projektil o hmotnosti m. Budeme řešit relativní pohyb
projektilu v drážce (směr r).
Pohybová rovnice relativního pohybu :
w
r
aCor
vrel, arel
Dn
an
vrel, arel
2
m a rel m w r 2 f m w r
m
r
m
w
2
a rel r w r 2 f w r
f
r 2 f w r w 2 r 0
N
T
DCor
Řešení hledáme ve tvaru :
t
w konst
r C e
e0
t
r C e
r C 2 e t
2f w w 0
2
Sestavíme charakteristickou rovnici :
Její řešení je :
1 ,2 f w
Zde kořen
kořen
V řešení :
r C1 e
1 t
C2 e
2t
1 t
2t
r C 1 1 e
C2 2 e
t=0 ...
r r0
r 0
2
1 w
2 w
2
f 1 f
2
f w w
2
f 1 f
2
2
je kladný,
je záporný.
integrační konstanty C1 a C2 určíme z
počátečních podmínek.
počáteční poloha projektilu v drážce
počáteční rychlost
C 1 C 2 r0
C1 1 C 2 2 0
Slide 11
Dynamika relativního pohybu
Odstředivý vrhač je buben, rotující konstantní úhlovou rychlostí w (unášivý pohyb), opatřený
radiální drážkou. V ní se pohybuje projektil o hmotnosti m. Budeme řešit relativní pohyb
projektilu v drážce (směr r).
Relativní pohyb :
w
r
aCor
vrel, arel
an
vrel, arel
Dn
f
N
T
w konst
r C1 e
m
r
m
w
1 t
C2 e
2t
Integrační konstanty :
C 1 r0
DCor
2
2 1
C 2 r0
e0
1
1 2
r0
1
1
2
2
f 1
r0
1
1
2
2
f 1
f
f
Kořen 1 je kladný a člen C1·e1·t (v grafu červeně) představuje exponenciální nárůst.
Kořen 2 je záporný a člen C2·e2·t (v grafu modře) se limitně blíží nule.
r 40
[mm]
C1 e
20
1 t
C2 e
2t
C1 e
1 t
C2 e
0
0
0.005
0.01
2t
0.015 t [s]
Slide 12
Základy teorie rázu - centrální ráz
Ráz těles je situace, kdy mezi dvěma tělesy dojde k mechanické interakci
po extrémně krátkou dobu. V průběhu této doby dojde ke změně rychlostí obou těles.
Centrální ráz nastává, jestliže vektory rázových sil, vznikajících na normále styčné plochy,
leží na spojnici středů hmotnosti obou těles.
Mají pak k tomuto středu nulový moment a neprojeví se tedy natáčením tělesa.
Mějme dvě tělesa o hmotnostech ma a mb.
Tělesa se pohybují tak, že dojde k jejich vzájemnému nárazu.
Označme kolmici ke společné dotykové rovině,
procházející dotykovým bodem, za normálu.
Prochází-li tato normála středy hmotnosti obou těles Sa a Sb,
označíme jejich ráz za centrální.
v a0
v b0
ma
n
Sa
Sb
mb
V okamžiku nárazu, přesněji těsně před nárazem, mají obě tělesa jisté okamžité rychlosti.
Tyto rychlosti rozložíme do směru normály n a do směru kolmého k normále,
který můžeme označit za tečný.
Tečné složky rychlosti se nebudou v průběhu rázu nijak měnit a nebudeme se tedy jimi zabývat.
Normálové složky okamžitých rychlostí těsně před nárazem jsou va0 a vb0
(nutným předpokladem vzniku rázu samozřejmě je va0 > vb0).
Jak se tyto rychlosti budou v průběhu rázu měnit, bude ukázáno v dalším textu.
Slide 13
Základy teorie rázu - centrální ráz
Celý ráz má dvě fáze. Říkejme ji “náraz” a “odraz”.
Náraz je děj od prvního dotyku těles až do okamžiku, kdy se jejich rychlosti vyrovnají.
Odraz pak následuje až do okamžiku, kdy se tělesa od sebe odpoutají rychlostmi va < vb.
v a0
v b0
1. Náraz
Hybnost obou těles těsně před nárazem je :
ma
n
Sa
Sb
p m a v a0 m b v b0
mb
Mají-li obě tělesa na konci nárazu společnou rychlost vab,
pak jejich hybnost na konci této první fáze je :
v ab
n
p m a m b v ab
Protože na obě tělesa působí pouze vnitřní síly, které jsou navzájem stejně velké,
opačně orientované, a jejich celkový impuls je nulový (oba impulsy se navzájem
odečtou), je změna celkové hybnosti rovněž nulová,
neboli hybnost před nárazem a po něm jsou shodné :
m a v a 0 m b v b 0 m a m b v ab
neboli :
v ab
m a v a0 m b v b0
ma mb
Slide 14
Základy teorie rázu - centrální ráz
Celý ráz má dvě fáze. Říkejme ji “náraz” a “odraz”.
Náraz je děj od prvního dotyku těles až do okamžiku, kdy se jejich rychlosti vyrovnají.
Odraz pak následuje až do okamžiku, kdy se tělesa od sebe odpoutají rychlostmi va < vb.
2. Odraz
Tato fáze je z hlediska dalšího pohybu obzvlášť důležitá. Ve fázi nárazu dochází
k deformaci obou těles (působením sil, jimiž na sebe tělesa navzájem působí).
Ve fázi odrazu mají tělesa snahu nabýt opět původního tvaru
(proto se tato fáze nazývá “restitucí”).
I nadále na sebe navzájem působí silami, navzájem se od sebe “odstrčí”.
> Jestliže obě tělesa ve fázi odrazu dosáhnou zcela svého původního tvaru
(např. kulečníkové koule), nazveme jejich ráz dokonale pružným.
> Jestliže obě tělesa dosáhnou jen částečně svého původního tvaru
(např. olověný projektil), nazveme jejich ráz pružně-plastickým.
> Jestliže se tvar těles od okamžiku vyrovnání rychlostí již vůbec nezmění
(např. koule z plastelíny), nazveme jejich ráz dokonale plastickým.
V tomto případě již fáze odrazu nenastane.
Promítněme (v souladu s Newtonovým řešením) ztráty,
spojené s trvalým přetvořením těles, do úbytku hybnosti.
Budou-li rychlosti obou těles na konci odrazu va resp. vb (kde samozřejmě va < vb),
bude hybnost jednotlivých těles po odrazu :
resp.
pa ma va
pb mb vb
Slide 15
Základy teorie rázu - centrální ráz
Celý ráz má dvě fáze. Říkejme ji “náraz” a “odraz”.
Náraz je děj od prvního dotyku těles až do okamžiku, kdy se jejich rychlosti vyrovnají.
Odraz pak následuje až do okamžiku, kdy se tělesa od sebe odpoutají rychlostmi va < vb.
2. Odraz
Definujme tzv. součinitel restituce e, vyjadřující úbytek hybnosti jednotlivých těles.
Vyjádřeme změnu hybnosti ve fázi nárazu a odrazu jednotlivých těles :
p o d raz e p n á raz
> Pro dokonale pružný ráz (e=1) budou ve fázi odrazu působit stejné vnitřní síly,
jako ve fázi nárazu. Jejich impulsy budou stejné v obou fázích
a změna hybnosti každého jednotlivého tělesa při odrazu bude stejná,
jako změna hybnosti téhož tělesa při nárazu.
> Pro pružně-plastický ráz (0
Tedy i změna hybnosti každého jednotlivého tělesa při odrazu bude e-násobně menší,
než změna hybnosti téhož tělesa při nárazu.
> Pro dokonale plastický ráz (e=0) již ve fázi odrazu vůbec nedojde ke změně tvaru těles,
vnitřní síly již při odrazu nebudou působit, a jejich impuls,
jakož i změna hybnosti jednotlivých těles, budou nulové.
Slide 16
Základy teorie rázu - centrální ráz
Celý ráz má dvě fáze. Říkejme ji “náraz” a “odraz”.
Náraz je děj od prvního dotyku těles až do okamžiku, kdy se jejich rychlosti vyrovnají.
Odraz pak následuje až do okamžiku, kdy se tělesa od sebe odpoutají rychlostmi va < vb.
2. Odraz
těleso a :
těleso b :
m a v ab m a v a e m a v a 0 m a v ab
podraz
m b v b m b v ab e m b v ab m b v b 0
pnáraz
podraz
pnáraz
Z těchto výrazů můžeme vyjádřit součinitel restituce :
e
v ab v a
e
v a 0 v ab
v b v ab
v ab v b 0
Dosazením výrazu pro společnou rychlost obou těles
při přechodu od nárazu k odrazu vab do těchto vztahů dostáváme :
va
m a v a0 m b v b0 m b e v a0 v b0
ma mb
rychlost tělesa a po odrazu
vb
m a v a0 m b v b0 m a e v a0 v b0
ma mb
rychlost tělesa b po odrazu
Čtenář snadno sám nahlédne, že pro dokonale plastický ráz (e=0)
je řešení shodné s koncem fáze nárazu.
Jak bylo uvedeno výše, při dokonale plastickém rázu fáze odrazu vůbec nenastává.
Slide 17
Základy teorie rázu - centrální ráz
Zvláštním případem rázu je situace, kdy obě tělesa mají stejnou hmotnost (ma=mb=m),
a jedno těleso je před rázem v klidu (např. vb0 = 0).
Výše odvozené výrazy pro rychlost obou těles po rázu se zjednoduší na tvar :
va
1
2
1 e v a 0
vb
1
2
1 e v a 0
Pro dokonale pružný ráz (e=1) pak konečně vychází :
va 0
v b v a0
To znamená, že první těleso, které se původně pohybovalo rychlostí va0, se zastaví,
zatímco druhé těleso, které bylo původně v klidu, se bude po rázu pohybovat
rychlostí prvního tělesa před rázem vb=va0.
Jiný zvláštní případ rázu je situace, kdy druhé těleso je velmi hmotné a v klidu (mb » ma, vb0=0).
Z nulové rychlosti druhého tělesa bezprostředně vyplývá :
va va0
v b v a0
ma mb e
ma mb
mb
ma
v a 0
e
ma mb
ma mb
ma ma e
ma mb
v a0
ma
ma mb
1 e
Uvážíme-li dále, že pro mb » ma je
hmotnost prvního tělesa ma zanedbatelná
vůči součtu hmotností ma+mb, zatímco
hmotnost druhého tělesa mb je tomuto
součtu hmotností téměř rovna, dostáváme :
va va0 e
vb 0
Tedy první těleso se odrazí v protisměru rychlostí, která je e-násobně menší než rychlost nárazu.
Druhé těleso zůstane i nadále prakticky v klidu.
Slide 18
Reaktivní pohyb
O reaktivním pohybu mluvíme tehdy, jestliže se hmotnost tělesa při pohybu mění.
Když jsme se v jedné z počátečních kapitol zabývali zákonem o změně hybnosti,
měli jsme na mysli většinou změnu rychlosti (ať už velikosti nebo směru).
Může se však jednat též o změnu hmotnosti.
Typickým příkladem je reaktivní pohon rakety, jejíž hmotnost při spalování paliva klesá.
Spaliny jsou silou F urychlovány a výtokovou rychlostí c opouštějí raketu.
Podle zákona akce a reakce působí na raketu stejně velká, opačně orientovaná reaktivní síla FR.
m - dm
dm
FR
F
c
v
vs
v
c
v - rychlost rakety,
c - relativní výtoková rychlost spalin vůči raketě,
vs - absolutní rychlost spalin vůči okolnímu prostoru.
Slide 19
Reaktivní pohyb
m - dm
dm
FR
F
c
v - rychlost rakety,
c - relativní výtoková rychlost spalin vůči raketě,
vs - absolutní rychlost spalin vůči okolnímu prostoru.
v
vs
v
c
Za elementární časový okamžik dt je hmotnost spalin dm vypuzena z rakety.
Vzhledem k zákonu akce a reakce jsou síla F, kterou jsou spaliny vrhány z rakety,
a reaktivní síla FR, působící na raketu, stejně velké, ale opačně orientované.
Celkový impuls sil je tedy nulový a i změna hybnosti dp je nulová.
Hybnost na počátku časového úseku dt je :
pt m v
kde m je hmotnost rakety (proměnná), v je její rychlost.
Hybnost rakety a spalin na konci časového úseku dt je :
p t dt m dm v dv dm v S
hybnost rakety
kde vS = c-v je skutečná rychlost spalin.
hybnost spalin
Slide 20
Reaktivní pohyb
Je-li impuls sil a tedy i změna hybnosti nulová, musí platit :
dp p t dt p t m dm v dv dm c v m v 0
p t dt
p t
m v m dv v dm dm dv c dm v dm m v 0
Výraz dm·dv je veličina nekonečně malá druhého řádu, tedy limitně se blížící nule.
Rovnice pak má tvar :
m dv c dm 0
Diferenciál hmoty dm vyjadřuje úbytek hmotnosti rakety. Vyjádříme-li jej jako přírůstek
(jak je obvyklé), tedy s opačným znaménkem, dostaneme :
m dv c dm 0
m dv c dm 0
Integrací této rovnice pak dostáváme :
v
dv c
v0
m
m0
v v 0 c ln
dm
m
m0
m0 mS
Toto jest Ciolkovského rovnice reaktivního pohybu.
Zde m0 je počáteční hmotnost rakety, mS je hmotnost spalin
a m=m0-mS je okamžitá hmotnost rakety.
Slide 21
Reaktivní pohyb
Toto jest Ciolkovského rovnice reaktivního pohybu.
Zde m0 je počáteční hmotnost rakety, mS je hmotnost spalin
a m=m0-mS je okamžitá hmotnost rakety.
v v 0 c ln
m0
m0 mS
Rovnice vyjadřuje nárůst rychlosti rakety v v závislosti na poklesu hmotnosti rakety.
Z původní diferenciální rovnice lze vyjádřit reaktivní sílu :
m dv c dm
m
dv
m a c
dt
dm
dt
Pravá strana této pohybové rovnice je reaktivní síla :
FR c
dm
dt
Připomeňme, že hmotnost rakety se snižuje, změna hmotnosti dm je tedy záporná
a samotná reaktivní síla FR je samozřejmě kladná.
Pozn. : Jak se s časem mění okamžitá hmotnost rakety (režim spalování),
jaká je časová derivace této závislosti, jaká je výtoková rychlost c, a tedy reaktivní síla,
je problémem termodynamiky a nebude zde řešeno.
Slide 22
Obsah přednášky :
dynamika relativního pohybu
základy teorie rázu
reaktivní pohyb