Transcript Prednáška č.4

Metóda Konečných Prvkov
vo výrobných technológiach
prednáška č. 4
Obsah prednášky
• Rozšírené matice elementu
Vektor kódových čísiel
• Zostavenie matice konštrukcie
• Výpočet primárnych neznámych a reakcií vo väzbách
• Jednorozmerná sústava prútov – príklad riešenia
• Dvojrozmerná sústava prútov – príklad riešenia
• Izoparametrické prvky
Odvodenie matíc izoparametrického prútového prvku
• Numerická integrácia
prednáška č.4 - 2/58
Zostavenie sústavy rovníc celej
konštrukcie
Pri zostavení výslednej sústavy rovníc celej úlohy platí pre
celkovú potenciálnu energiu sústavy
 1 eiT ei ei eiT ei 
     a K a - a f 
i 1
i 1  2

noe
ei
noe
Minimalizáciou potenciálnej energie vzhľadom na posunutia dostaneme

 Ka-f  0
a
výslednú sústavu algebraických rovníc.
prednáška č.4 - 3/58
Rozšírené matice elementu
• Sčítavanie potenciálnej energie prvkov a jej minimalizáciu
nahradíme výpočtom matice K a vektora f pomocou
rozšírených matíc prvku K* a f*.
• Rozmer rozšírenej matice prvku je zhodný s rozmerom celkovej
matice sústavy
• Ak počet globálnych posunutí uzlov prvkov označíme n, bude
rozmer celkovej matice sústavy n x n
• Členy rozšírenej matice, ktoré nezodpovedajú globálnym
posunutiam vybraného prvku sú nulové
prednáška č.4 - 4/58
Rozšírené matice elementu
Príklad pre dvojuzlový prvok
Pre prvok s globálnymi číslami uzlov {d,m} (tzv. globálne prvkové číslo)
výsledný vektor globálnych posunutí uzlov konštrukcie bude
(ndof x nbn) x 1 = nbdof x 1
a = [u1 u2 ... ud ... um ... unbdof] T
Potenciálna energia vybraného prvku
*
*
1
 e  a eT K e a e - a eT f e
2
prednáška č.4 - 5/58
Rozšírené matice elementu
kde rozšírené matice prvku sú
1
2
d
0
0

0
*

K e  0
0

0
0
..
0
0
0

..
..
m
0
0
.. kiie
.. kije
.. 0
.. k eji
.. 0
.. k ejj
..
0
..
0
..
0
..
0
 nbdof
.. 0
.. 0

.. 0 d

.. 0
.. 0 m

0 0
.. 0 nbdof
1
0 1
 2
  
e
d

u

i
*
 
ae    
u ej  m
  

 0  nbdof
0 1
  2
  
e
d

f

i
*
 
fe    
 f je  m
  
 
 0  nbdof
prednáška č.4 - 6/58
Rozšírené matice elementu
• Pri tvorbe rozšírených matíc prvkov využívame tzv. vektor
kódových čísiel
• sú v ňom usporiadané čísla globálnych posunutí
uzlových bodov telesa
Príklad pre dvojuzlový prvok
d 
l  
m 
e
prednáška č.4 - 7/58
Zostavenie matice konštrukcie
• Matice konštrukcie dostaneme sčítaním rozšírených
matíc elementov
noe
*
K   K ei
i 1
noe *
ei
f  f
i 1
• Výsledná matica je pásová, symetrická a pozitívne
definitná
prednáška č.4 - 8/58
prednáška č.4 - 9/58
Zostavenie matice konštrukcie
• šírka polpásu matice sústavy
M = (R + 1) v
kde
R je max. rozdiel čísiel uzlov na prvkoch modelu sústavy
v je počet globálnych stupňov voľnosti uzla prvku
minimalizácia šírky polpásu = minimalizácia R
Zásada: číslovať uzlové body tak, aby rozdiel na prvku (max. a min. číslo
uzla) bol minimálny.
Pozn.
vplyv šírky polpásu na rýchlosť riešenia je závislý na použitej metóde riešenia napr.
v prípade Gaussovej eliminačnej metódy. U frontálnej metódy má vplyv napr. rozdiel
čísiel uzlov susedných prvkov
prednáška č.4 - 10/58
Zostavenie matice konštrukcie
Príklad vplyvu číslovania uzlových bodov na šírku polpása matice
1
2
3
1
6
11
1
15
11
4
5
6
2
7
12
2
14
10
7
8
9
3
8
13
3
13
9
10
11
12
4
9
14
4
12
8
13
14
15
5
10
15
5
6
7
R=4
M = 10
R=6
M = 14
R = 14
M = 30
v=2
prednáška č.4 - 11/58
Zostavenie matice konštrukcie
• vzhľadom na symetriu matice sústavy ukladáme iba
nenulové členy nad diagonálou a pod tzv. profilom pása
matice + diagonálne členy matice K
• usporiadavajú sa do poľa pre ušetrenie miesta v pamäti
počítača
• pásovosť matice možno narušiť nevhodným číslovaním
uzlových bodov
prednáška č.4 - 12/58
Zostavenie matice konštrukcie
M (šírka polpása)
M
profil pása
0
n
symetrická
časť
0
n (počet rovníc)
prednáška č.4 - 13/58
Príklad - jednorozmerná úloha
Vypočítajte reakcie a maximálne napätie v prúte.
E1 , A1
E2 , A2
E3 , A3
F
l1
l2
l3
e1
e2
e3
F1
F = F3
1
2
3
F4
4
prednáška č.4 - 14/58
Zostavenie výslednej sústavy rovníc úlohy:
Vektor posunutí telesa:
a = [u1 u2 u3 u4] T
Okrajové podmienky:
u1 = u4 = 0
a) Celková potenciálna energia sústavy
1

       aeiT K ei aei - aeiTf ei 
i 1
i 1  2

3
ei
3
k3
k1
k2
2
2
2
  u2  u1   u3  u2   u4  u3   F1 u1  F3 u3  F4 u4
2
2
2
prednáška č.4 - 15/58
Minimalizáciou potenciálnej energie vzhľadom na posunutia

 Ka-f  0
a
dostaneme

 k1 u1  u2   F1  0
u1

 k1 u2  u1   k 2 u2  u3   0
u2

 k 2 u3  u2   k 4 u3  u4   F3  0
u3

 k 4 u4  u3   F4  0
u4
prednáška č.4 - 16/58
čo v maticovom tvare
 k1
 k
 1
 0

 0
 k1
k1  k 2
 k2
0
 k2
k 2  k3
0
 k3
0   u1   F1 
0  u 2   0 
    
 k3  u3   F3 
   
k3  u 4   F4 
prednáška č.4 - 17/58
b) Matice tuhosti elementov sústavy
A1E1

K e1   lA11E1
 l1
 A1l1E1   k1  k1 
A1E1   


k
k
1 
  1
l1
 A2l E2
  A22 E2
 l2
 A2l2E2   k2
A2 E2   
  k2
l2
 k2 
k2 
A3 E3

K e3   lA33 E3
 l3
 A3l3E3   k3
A3 E3   
  k3
l3
 k3 
k3 
K
e2
prednáška č.4 - 18/58
Rozšírené matice tuhosti elementov sústavy:
1
*
2
e1
K 
3
4
1
*
e2
K

2
3
4
1
*
e3
K 
2
3
4
1
2
 k1  k1
 k
 1 k1
 0
0

0
 0
1 2
0 0
0 k
2

0  k 2

0 0
1
0
0

0

0
3
0
0
0
0
3
0
 k2
k2
0
2
0
3
0
0
0
0 k3
0  k3
4
0
0
0

0
4
0
0
0

0
4
0 
0 
 k3 

k3 
prednáška č.4 - 19/58
Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie):
noe
*
*
*
e2
*
e3
K  K  K  K  K
ei
e1
i 1
 k1
0
0 
 k1
 k k  k


k
0
2

K 1 1 2
 0
 k 2 k 2  k3  k3 


0
0

k
k
3
3 

Pozn. noe označuje počet elementov v sústave
e1
e2
e3
F1
F = F3
1
2
3
F4
4
prednáška č.4 - 20/58
Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie):
*
e1
*
e2
*
e3
K K K K
 k1
k1
 k
k1  k 2
1

K
0
 k2

0
0
e1
F1
1
0
 k2
k 2  k3
 k3
e2
2
0 
0 
 k3 

k3 
e3
3
F3
4
F4
prednáška č.4 - 21/58
Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie):
*
e1
*
e2
*
e3
K K K K
 k1
k1
 k
k1  k 2
1

K
0
 k2

0
0
e1
F1
1
0
 k2
k 2  k3
 k3
e2
2
0 
0 
 k3 

k3 
e3
3
F3
4
F4
prednáška č.4 - 22/58
Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie):
*
e1
*
e2
*
e3
K K K K
 k1
k1
 k
k1  k 2
1

K
0
 k2

0
0
e1
F1
1
0
 k2
k 2  k3
 k3
e2
2
0 
0 
 k3 

k3 
e3
3
F3
4
F4
prednáška č.4 - 23/58
Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie):
{
šírka polpásu matice  2
 k1
k1
 k
k1  k 2
1

K
0
 k2

0
0
Pozn.
0

0 

 k3 

k3 
0
 k2
k 2  k3
 k3
Symetria matice vyplýva z Maxwell-Bettiho vety o vzájomnosti posunutí.
prednáška č.4 - 24/58
Výsledná sústava rovníc celej konštrukcie pre neupevnené teleso:
 k1
 k
Ka 1
 0

 0
 k1
0
k1  k 2
 k2
 k2
k 2  k3
0
 k3
0   u1   F1 
0  u2   F2 

f





 k 3 u3
F3
   
k3  u4   F4 
Matica K je singulárna.
Po dosadení okrajových podmienok a do vektora uzlových síl
 k1
 k
Ka 1
 0

 0
 k1
0
k1  k 2
 k2
 k2
k 2  k3
0
 k3
0   0   F1 
0  u2   0 

f
 k 3  u3   F 
   
k3   0   F4 
prednáška č.4 - 25/58
Redukovaná sústava rovníc celej konštrukcie má tvar
 k 2  u2   0  ~
~ ~ k1  k 2
Ka
 f



k 2  k 3  u3   F 
  k2
k1  k2 u2  k 2u3  0
 k 2u 2  k 2  k3 u3  F
Výsledné posunutia uzlov 2 a 3
F k2
u2 
k1k 2  k 2 k3  k1k3
u3 
F k1  k 2 
k1k 2  k3 k 2  k1k3
prednáška č.4 - 26/58
Vynechané rovnice pre výpočet reakcií
 k1
 k1
 k k  k
Ka 1 1 2
 0
 k2

0
 0
0
 k2
k 2  k3
 k3
0   0   F1 
0  u2   0 
 
f
 k 3  u3   F 
   
k3   0   F4 
 k1u2  F1
 k3u3  F4
Napätia v elementoch sústavy
e
E
 e  e u e1  u e 
l
 1  El u2  u1 
1
1
u3  u2 
 3  El u4  u3 
2 
E2
l2
3
3
prednáška č.4 - 27/58
Príklad - dvojrozmerná prútová sústava
Vypočítajte reakcie a sily v prútoch sústavy.
y
L
P
3
2
2
1
L
1
3
45o
x
prednáška č.4 - 28/58
matice tuhosti prútov v LSS
K 
e1
A1E1  1  1
l1  1 1 
K 
e2
A2 E2  1  1
l2  1 1 
K 
e3
A3 E3  1  1
l3  1 1 
vektory posunutí uzlov v LSS
u1e1 
a   e1 
u 2 
e1
u e22 
a   e2 
u 3 
e2
u1e 3 
a   e3 
u 3 
e3
vektory uzlových síl v LSS
f
e1
 N1e1 
  e1 
N2 
f
e2
 N 2e 2 
  e2 
 N3 
f
e3
 N1e 3 
  e3 
 N3 
prednáška č.4 - 29/58
rozšírené matice tuhosti prútov v LSS
1

A1 E1  0
e1
K 
l1  1

0
0  1 0
0 0 0
0 1 0

0 0 0
K
e2
1

A2 E2  0

l2  1

0
0  1 0
0 0 0
0 1 0

0 0 0
K
e3
1

A3 E3  0

l3   1

0
0  1 0
0 0 0
0 1 0

0 0 0
rozšírené vektory posunutí uzlov v LSS
u 1e1 
 e1 
v
e1
a   1e1 
u 
 e21 
 v 2 
u e22 
 e2 
v2 
e2

a  e2
u 3 
 e2 
v3 
u1e 3 
 e3 
v1 
e3

a  e3
u 3 
 e3 
v3 
rozšírené vektory uzlových síl v LSS
 N1e1 


0
f e1   e1 
N 
 2 
 0 
f e2
 N 21e 2 


0
  e2 
 N3 


0


f e3
 N1e 3 


0
  e3 
N3 


0


prednáška č.4 - 30/58
Transformácia uzlových posunutí a síl medzi LSS a GSS
y - GSS
x - LSS
j
y - LSS vi
i
vi
ui
L

ui
x - GSS
u i  ui cos   vi sin
u i   cos  sin  ui 
  
 v 
v
v i  ui sin  vi cos 

sin

cos

 i
 i 
~
ui  Tui
prednáška č.4 - 31/58
Pre dvojuzlový prutový element potom
 u i   cos 
v  
 i    sin
u j   0
  
 v j   0
sin
cos 
0
0
0
0
cos 
 sin
0   ui 
 
0   vi 
sin  u j 
 
cos    v j 
u  Tu
~
T 0 
T
~
 0 T
u  Tu
~
T
0
T
~
 0 T
Podobne sú transformované uzlové sily
 N i   cos  sin
T  
 i    sin cos 
N j   0
0
  
0
 T j   0
pre prút T i  T j  0
0
0
cos 
 sin
0   Fxi 
F 

0   yi 
sin   Fxj 
 
cos    Fyj 
prednáška č.4 - 32/58
Matice prúta v 2-D priestore
rovnovážne rovnice v LSS
AE  1  1  u i   N i 
 




l  1 1  u j   N j 
rozšírené rovnice v LSS
1

AE  0
l  1

0
0  1 0  u i   N i 
 
0 0 0  v i   0 



N j 
0 1 0 u j
   
0 0 0  v j   0 
*
*
e
*
e
K a f
e
*
*
*
K e  TT K T
e
Ke je globálna symetrická matica 4x4
prednáška č.4 - 33/58
y, x
transformácia matíc do GSS
Prút 1:
vektor globálnych posunutí uzlov prvku
vektor globálnych uzlových síl
transformačná matica
0
0  0
 cos 90 sin 90
 sin 90 cos 90
  1
0
0
1

T 
 0
0
cos 90 sin 90   0

 
0
0

sin
90
cos
90

 0
2
 u1 
v 
a e1   1 
u2 
 
 v2 
1
y
1
 F1 x 
F 
1y
f e1   
 P
 
 F2 y 
0
0 0 0
0 0 1

0  1 0
1
0
prednáška č.4 - 34/58
L
x
globálna matica tuhosti prvku
K e1  T1T K T1
e1
u1
v1
0 0
0 1
AE
K e1  1 1 
l1 0 0

0  1
u2
v2
0 0
0  1

0 0

0 1
rozšírená matica tuhosti prvku
0 0
0 1

*
A1 E1 0 0
e1
K 

l1 0  1
0 0

0 0
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0

0

0
0

0
prednáška č.4 - 35/58
y, y
L
transformácia matíc do GSS
Prút 2:
vektor globálnych posunutí uzlov prvku
3
2
u2 
v 
ae2   2 
u 3 
 
 v3 
vektor globálnych uzlových síl
f e2
transformačná matica
0
0  1
 cos 0 sin 0
 sin 0 cos 0
 0
0
0

T2  
 0
0
cos 0 sin 0  0

 
0
0

sin
0
cos
0

 0
2
 F2 x 
F 
2y
 
 F3 x 
 
 F3 y 
0 0 0
1 0 0

0 1 0

0 0 1
prednáška č.4 - 36/58
x, x
globálna matica tuhosti prvku
K e 2  T2T K T 2
e2
u2
K e2
1
0
AE
 2 2
l2   1

0
v2
u3
0 1
0 0
0 1
0 0
v3
0
0

0

0
rozšírená matica tuhosti prvku
*
e2
K
0
0

A2 E2 0


l 2 0
0

0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0
0

0

0
0

0
prednáška č.4 - 37/58
y
transformácia matíc do GSS
Prút 3:
vektor globálnych posunutí uzlov prvku
3
3
u1 
v 
a e3   1 
u3 
 
 v3 
vektor globálnych uzlových síl
f e3
transformačná matica
0
0   22
 cos 45 sin 45
 sin 45 cos 45
  2
0
0
 2
T2  
 0
0
cos 45 sin 45   0

 
0
0

sin
45
cos
45

  0
y
45o
1
 F1x 
F 
1y
 
 F3 x 
 
 F3 y 
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2

2
2
0

0
2
2

2
2 
prednáška č.4 - 38/58
x
x
globálna matica tuhosti prvku
K e3  T3T K T3
e3
u1
v1
1
2
u3
v3
 12  12 
 12
 1
1
1
1


A
E
K e3  3 3  2 1 2 1 1 2 1 2 
l3  2  2 2
2 
 1
1
1
1 
 2  2 2
2 
rozšírená matica tuhosti prvku
1
 12
2
 1
1
2
2

*
0
A3 E3  0
e3
K 

0
l3  0
 12  12
 1
1
 2  2
0 0  12  12 
0 0  12  12 

0 0 0
0

0 0 0
0
1 
0 0 12
2

1
1
0 0 2
2 
prednáška č.4 - 39/58
y
globálny vektor posunutí konštrukcie
 u1 
0
v 
0
1
 
 
u2 
u 2 
a   a 
 v2 
0
u 3 
u 3 
 
 
 v3 
u 3 
2
3 u3
2
1
L
v3
v3=0
u2
v1=0
3
45o
1
globálny vektor uzlových síl konštrukcie
 F1x 
 F1x 
F 
 F 
1
y
 
 1y 
 F2 x 
 P 
f    f 

F
F
 2y 
 2y 
 F3 x 
 F3 x 
 


F
 3 y 
 F3 x 
L
v2=0
x
u1=0
y
L
F2y
N3=0
F3y
P
2
1
L
F3x
3
F1y
1
3
2
45o
F1x
x
prednáška č.4 - 40/58
vzhľadom na okrajové podmienky
v 3  u3 sin 45  v3 cos 45  
u3  v3  0

2
2
2
2
u3 
v   0
 3
u3  v3
Pozn. multipoint constraint
podobne pre sily
 Fx 3 
 F   0
N 3  Fx 3 cos 45  Fy 3 sin 45  
 y3 
Fx 3  Fy 3  0

Fy 3   Fx 3
2
2
2
2
prednáška č.4 - 41/58
Celková globálna matica tuhosti konštrukcie
*
e1
*
e2
*
e3
K  K K K
prednáška č.4 - 42/58
Výpočet primárnych neznámych
a reakcií vo väzbách
Výslednú sústavu rovníc celej konštrukcie upravíme do tvaru
Kaf
K aa
K
 ba
kde:
K ab  a a  f a 
 



K bb  a b  fb 
aa sú neznáme zložky uzlových posunutí
ab sú známe zložky uzlových posunutí
fa sú známe (zaťažujúce) sily v uzloch
fb sú neznáme reakcie vo väzbách
prednáška č.4 - 43/58
Potom neznáme uzlové posunutia aa vypočítame z rovníc
K aa aa  fa  K ab ab
a neznáme reakcie fb
fb  Kba aa  Kbb ab
Úloha sa výrazne zjednoduší ak ab = 0 t.j. v uzloch sú tuhé upevnenia
K aa a a  f a
~~ ~
Kaf
prednáška č.4 - 44/58
Izoparametrické prvky
Dôvody zavedenia a používania izoparametrických elementov:
• modelovanie zložitých telies so zakriveným povrchom,
• problémy s integráciou cez objem a povrch zložitých telies
Princíp IE:
• využívajú vlastnosti a možnosti transformácie bodov oblasti (objemu)
na iný jednoduchší (normalizovaný) tvar,
• objemová, resp. plošná integrácia sa potom vykonáva na tejto
normalizovanej tzv. jednotkovej oblasti,
• transformácia musí byť pritom jednojednoznačná (každému bodu
pôvodnej oblasti jednoznačne prislúcha jeden bod normalizovanej
oblasti a naopak).
prednáška č.4 - 45/58
y, v
4 (x4, y4)
(, ) = g (x, y)
=0
 = -1
 = +1

3 (1, 1)
4 (-1, 1)
9 (x9, y9)
1 (x1, y1 )
 = -1
3 (x3, y3)
=0
 = +1
2 ( x2, y2)
x, u

9 (0, 0)
1 (-1, -1)
2 (1, -1)
( x, y ) = f ( ,  )
S (x, y)  S (,  )
prednáška č.4 - 46/58
Izoparametrické prvky
Pre transformáciu súradníc ľubovolného bodu platí
 x
 y 
 
 
f 
 
pritom    1,1
   1,1
teda
 x( , )   N1 ( , )
x( , )  


 y( , )  

N1 ( , )
N 2 ( , )

... 
N 2 ( , )....
kde Ni() sú tvarové funkcie vyjadrené v prirodzených súradniciach
prednáška č.4 - 47/58
Izoparametrické prvky
ktoré musia spĺňať okrajové podmienky
Ak
= 1
= 1
= 0
= 0
:
:
atď....
x() = x3
y() = y3
x() = x9
y() = y9
prednáška č.4 - 48/58
Izoparametrické prvky
Izoparametrický prútový prvok
Le
uie
j
i
xie
pre ľubovolný bod
prvku
uje
u(r), u(x)
r = -1
x = xie
x
r = +1
x = xje
x - LSS
xje
 0 
u (r )   0  1 r  1 r  
1 
a 
u ( x)  a0  a1 x  1 x  0 
 a1 
prednáška č.4 - 49/58
Izoparametrické prvky
pre posunutia uzlových bodov
u i   0  1 (1)
u j   0  1 (1)
u i  a0  a1 xi
u j  a0  a1 x j
 0 
u j  ui
u u
1  j i
2
2
u j  ui
xi
 xi 
 a0  1  e u i  e u j a1 
L
2
 L 
potom posunutie ľubovolného bodu prvku
ui 
1
1
u (r )  2 (1  r ) 2 (1  r )   N(r ) a e
u j 
 xi  x x  xi  u i 
e
u ( x)  1  e

N
(
x
)
a
L
Le  u j 

prednáška č.4 - 50/58
Izoparametrické prvky
vzťah medzi súradnicou x a prirodzenou súradnicou r
x   0  1 r
r  1 x  x i
 0 
r  1 x  x j
x   (1  r )
1
2
1
2
xi  x j
2
1 
x j  xi
2
 xi 
(1  r )   N(r ) x e
x j 
prednáška č.4 - 51/58
Izoparametrické prvky
pomerná deformácia prvku
d u (r ) d u (r ) dr
ε   ( x) 

  12
dx
dr dx
d u (r )
  12
dr
1
2
1
2
2 ui   1
 e     e
L u j   L
1
Le 
ui 
u 
 j
ui 
 
u j 
e
e
x
x


x
L
L
i
j
1
  i   det J  dx  det J dr  dr
2 

2
x j  2 2 2
dr
1
2
 J 1 
 e
dx
det J L
kde J je Jakobián (Jakobiho matica) zobrazenia, zabezpečujúci vzťah
medzi globálnymi a prirodzenými súradnicami.
dx
  12
dr
prednáška č.4 - 52/58
Izoparametrické prvky
lokálna matica tuhosti prvku
x ej
1



T
Le
K   B D B dV    1  E  L1e
e
V
x ie  L 
e
 L1e 
   1  E  L1e
1  Le 
1

1
Le


1
Le

 L1e 
A dx    1  E  L1e
1  Le 
1

1
Le
 A Jdr 
Le
E A  1  1
A dr  e 
2
L  1 1 
Pre zložitejšie prvky sa integrácia v matici tuhosti robí numericky, napr.
pomocou Gaussovej kvadratúry.
prednáška č.4 - 53/58
Izoparametrické prvky
Delenie izoparametrických prvkov
• subparametrické prvky
prvky pri ktorých sú pre transformáciu súradníc uzlov použité tvarové
funkcie nižšieho rádu ako pre transformáciu posunutí
• izoparametrické prvky
prvky pri ktorých sú pre transformáciu súradníc uzlov použité rovnaké
tvarové funkcie ako pre transformáciu posunutí
• superparametrické prvky
prvky pri ktorých sú pre transformáciu súradníc uzlov použité tvarové
funkcie vyššieho rádu ako pre transformáciu posunutí
prednáška č.4 - 54/58
Numerická integrácia
Numerická integrácia funkcie jednej premennej
• vyčíslovanie integrálov pri výpočte matíc prvku pri použití
prirodzených súradníc sa vykonáva vždy na rovnakej
oblasti s jednotkovými hranicami
• preto je možné pre výpočet použiť numerickú integráciu
• najčastejšie sa používa metóda Gaussovej kvadratúry
prednáška č.4 - 55/58
Numerická integrácia
Majme integrál
1
I   f ( ) d
1
Integrál počítame tak, že hodnotu funkcie f v niekoľkých
vybraných bodoch (tzv. integračných bodoch) vynásobíme ich
váhovými súčiniteľmi w a sčítame navzájom:
1
n
1
i 1
I   f ( ) d   wi f (i )
prednáška č.4 - 56/58
Numerická integrácia
Pri Gaussovej metóde je poloha bodov i zvolená symetricky od
stredu intervalu tak, aby bola dosiahnutá maximálna presnosť
integrácie.
prednáška č.4 - 57/58
Numerická integrácia
Vo všeobecnosti platí:
ak použijeme n integračných bodov, dostaneme exaktný výsledok
pre polynóm stupňa 2n-1 a nižší
prednáška č.4 - 58/58
prednáška č.4 - 59/58