Transcript Prednáška č.6

Metóda Konečných Prvkov
vo výrobných technológiach
prednáška č. 6
Obsah prednášky
• MKP v dynamike telies
• Základné pojmy v lineárnej dynamickej analýze
Rovnice dynamickej rovnováhy telesa
Matica hmotnosti
Matica tlmenia
• Typy dynamických analýz
• Modálna analýza
Určenie vlastných tvarov kmitania
Určenie vlastných frekvencií kmitania
prednáška č.6 - 2/24
MKP v dynamike
Rozdiel medzi statickou a dynamickou analýzou:
• zaťažujúce sily sa v čase menia (nestacionárna úloha)
• posunutia, rýchlosti, zrýchlenia, deformácie a napätia sú časovo
závislé
• čas vystupuje ako ďalšia premenná
• úlohu riešime v nejakom časovom intervale
• rovnica
K a(t) = f(t)
vyjadruje podmienku rovnováhy telesa v danom časovom okamihu
• pre dynamické úlohy je potrebné túto rovnicu rozšíriť o účinok
zotrvačných a vnútorných tlmiacich síl
prednáška č.6 - 3/24
MKP v dynamike
prednáška č.6 - 4/24
Základné pojmy
Rovnice dynamickej rovnováhy:
• podľa d´Alambertovho princípu zahrnieme zotrvačné sily do MKP
formulácie ako objemové sily
) dV   N eT ( γ  r e N e a ) dV
f b z   N eT ( γ  r e u
e
e
V
V
  N eT γ dV   r e N eT N e a dV  fbe  f ze
e
V
kde
V
ü je lokálny vektor zrýchlenia všeobecného bodu prvku
äe je lokálny vektor (zovšeobecnených) zrýchlení uzlových bodov
prvku
re je hustota materiálu prvku
prednáška č.6 - 5/24
Základné pojmy
Matica hmotnosti:
V prvkoch konštrukcie pribudne zotrvačná sila
e
e
e e
f z    r e NeT Ne a dV  M a
Ve
kde
Me je lokálna matica hmotnosti prvku
M   r e NeT Ne dV
e
Ve
Ak miesto äe použijeme globálny vektor zrýchlení uzlových bodov
prvku äe dostaneme globálnu maticu hmotnosti prvku Me a globálny
vektor zotrvačných síl fze prvku.
prednáška č.6 - 6/24
Základné pojmy
Súčtom rozšírených globálnych vektorov zotrvačných
dostaneme globálny vektor zotrvačných síl konštrukcie fz
noe
*
síl
prvku
*
e
f z    M a  M a
e
e1
kde
M je matica hmotnosti konštrukcie.
Rovnice rovnováhy konštrukcie potom budú mať tvar
Ma  K a  f
kde
f  f b  f z  f p  f  q
0
prednáška č.6 - 7/24
Základné pojmy
Ak pri odvodení matice hmotnosti rozdelíme celkovú hmotnosť prvku do
uzlov na základe „spriemerovania“ dostaneme tzv. maticu sústredenej
hmotnosti prvku (lumped matrix). Pre určitú časť hmotnosti prvku sa
predpokladá konštantné zrýchlenie rovné zrýchleniu uzla. Získané
matice sú diagonálne.
Ak sa pri odvodení uplatňujú interpolačné matice pre hodnoty zrýchlení
bodov prvku mimo uzlov prvku, t.j. na aproximáciu zmeny zrýchlenia v
objeme prvku sa využíva tá istá matica interpolačných funkcií Ne ako
pre posunutia bodov, dostaneme tzv. konzistentnú maticu hmotnosti
(consistent matrix).
prednáška č.6 - 8/24
Základné pojmy
Matica tlmenia:
Podobným spôsobom môžeme do formulácie dynamickej úlohy zahrnúť
tlmiace sily, ktorá závisia od rýchlosti bodu telesa.
Dynamické rovnice rovnováhy konštrukcie (telesa) budú mať potom tvar
M a(t )  C a (t )  K a(t )  f (t )
kde
C je matica tlmenia telesa
å je vektor rýchlostí uzlov konštrukcie
Ce   k e N eT N e dV
Ve
ke je parameter určujúci tlmiace vlastnosti prvku
prednáška č.6 - 9/24
Základné pojmy
Tento parameter je obtiažne určiť a preto sa v praxi globálna matica
tlmenia C netvorí z matíc tlmenia prvkov, ale vytvára sa pomocou matíc
hmotnosti M a tuhosti K konštrukcie.
Často sa predpokladá tzv. proporcionálne (Rayleighovo) tlmenie a potom
C  aM  bK
ako aproximácia reálneho tlmenia telesa, ktoré sa skladá z vonkajšieho
tlmenia (odpor prostredia), vnútorného (materiálového) tlmenia a
konštrukčného tlmenia.
Súčiniteľe a, b sa určujú experimentálne.
Vo všeobecnosti: tuhostné tlmenie tlmí viac vyššie frekvencie a menej
nižšie, kým pri hmotnostnom tlmení je to opačne.
prednáška č.6 - 10/24
Typy dynamických analýz
• Modálna analýza
• Harmonická analýza
• Spektrálna analýza
• Prechodová analýza
prednáška č.6 - 11/24
Metódy riešenia
• metódy priamej integrácie pohybových rovníc
explicitné – metóda stredovej diferencie
implicitné – Houboltova metóda
Wilsonova –metóda
Newmarkova metóda – najčastejšie používaná
(ANSYS)
• metóda superpozície vlastných tvarov
prednáška č.6 - 12/24
Modálna analýza
Cieľ modálnej analýzy:
• určenie vlastných frekvencií kmitania
• určenie vlastných tvarov kmitania
Využitie modálnej analýzy:
• vyhnutie sa neželaným vibráciam v rezonančnej oblasti
• naladenie sústavy na vlastnú kruhovú frekvenciu
• ako základný prvok pre ďalšie typy analýz
prednáška č.6 - 13/24
Modálna analýza
Matematická formulácia problému
M a(t )  C a (t )  K a(t )  f (t )
(tlmenie a zaťaženie nie sú uvažované) čiže
M a(t )  K a(t )  0
riešenie predpokladáme v tvare
a(t )   sin(wt )
kde
w je vlastná kruhová frekvencia
 je vektor vlastných tvarov (módov) kmitania, ktorý obsahuje
veľkosť amplitúd zložiek kmitania uzlových bodov telesa
nezávislých od času, ale len od počiatočného impulzu, ktorý
ich vyvolal
prednáška č.6 - 14/24
Modálna analýza
Matematická formulácia prejde na problém vlastných čísiel
(K  w 2 M )Φ  0
Pre neupevnené teleso je K singulárna a riešením je aj w = 0 (tuhý
pohyb telesa). To vedie na rovnicu K atuh.teleso = 0 čo sa často využíva
pri kontrole kvality zvolených prvkov.
Pri hľadaní nenulových hodnôt vlastných frekvencií sa úloha redukuje
odobraním riadkov a stĺpcov zodpovedajúcich odstráneným stupňom
voľnosti
~
2 ~
(K  w M )Φ  0
potom zovšeobecnený problém vlastných čísel má nenulové riešenia
vtedy, ak
~
2 ~
K w M  0
prednáška č.6 - 15/24
Modálna analýza
Rozpísaním determinantu
k11  w 2 m11 k12  w 2 m12  k1n  w 2 m1n
k 21  w 2 m21 k 22  w 2 m22  k 2 n  w 2 m2 n


k n1  w 2 mn1 k n 2  w 2 mn 2


 k nn  w 2 mnn
0
dostaneme algebraickú rovnicu n-tého stupňa pre výpočet w2.
Korene tejto rovnice predstavujú vo všeobecnosti n vlastných čísiel, v
tomto prípade n druhých mocnín vlastných kruhových frekvencií telesa
w12, w22, ..., wn2
Frekvencii wi potom zodpovedá vektor i - vlastný tvar kmitania telesa
pri tejto frekvencií.
prednáška č.6 - 16/24
Modálna analýza
Z rovnice
(K  wi2M)i  0
vyplýva:
Ak Fi je riešením tak aj ci je riešením, t.j. amplitúdy voľného kmitania
môžu mať (teoreticky) ľubovolnú hodnotu v závislosti od začiatočného
impulzu, ktorý pohyb vyvolal.
Preto pri výpočte amplitúd i sústavy pre známu frekvenciu wi
amplitúdy normujeme, napr. tak že in = 1
i 

i1
in
i 2
in

in 1
in

1
Dostaneme tak správny relatívny pomer amplitúd uzlov telesa.
Absolútne hodnoty amplitúd uzlov sú závislé od spôsobu normovania.
prednáška č.6 - 17/24
Modálna analýza
Na riešenie problému sa používajú v programe ANSYS nasledovné
algoritmy
- Block Lanczos (default)
- Subspace
- Power Dynamics
- Reduced
- Unsymmetric
- Damped (full)
- QR Damped
prednáška č.6 - 18/24
Modálna analýza
Pri riešení pomocou metódy superpozície vlastných tvarov je potrebné
normovať každý vlastný tvar tak, aby
iT M i  1
i  1,2,, n
iT K i  wi2
i  1,2,, n
alebo
ΦT M Φ  I kde Φ je tzv. modálna maticakonštrukcie
ΦT K Φ  Λ kde Λ je tzv. spektrálna maticakonštrukcie
Špeciálnou vlastnosťou vlastných tvarov, ktorá sa pri tejto metóde využíva
je ich ortogonálnosť vzhľadom na M a K
iT M  j  0
i j
iT K  j  0
i j
prednáška č.6 - 19/24
Príklad - jednorozmerná netlmená dvojhmotová sústava
Vypočítajte vlastné tvary a frekvencie kmitania
u1 = 0
u2(t)
2k
1
u3(t)
k
2
2m
k = 128 Nm-1
3
F
m
m = 1 kg
prednáška č.6 - 20/24
Matica tuhosti a hmotnosti sústavy
u1
 2k
K   2k
 0
u2
u3
 2k
2k
0
u1 u 2
0  0 0
0  0 k
0 0  k
u3
0   2k
 k    2k
k   0
 2k
3k
k
0 
 k 
k 
0 0 0 
M  0 2m 0 
0 0 m
Dosadením do
K  w 2M  0
 2k
  2k

 0
 2k
3k
k
0
0 0 0 
 k   w 2 0 2m 0   0
0 0 m
k 
prednáška č.6 - 21/24
Po redukcií sústavy rovníc (pre u1 = 0)
 2k
  2k

 0
 2k
3k
k
0
0 0 0 
 k   w 2 0 2m 0   0
0 0 m
k 
Dostaneme redukovanú sústavu rovníc
 3k
 k

 k
0
2 2m
w 
0


k 
 0 m
~
2~
K w M  0
Po roznásobení dostaneme kvadratickú rovnicu
2m2 (w 2 ) 2  5k mw 2  2k 2  0
prednáška č.6 - 22/24
Výsledkom riešenia sú 2 vlastné frekvencie
w1  0,5k / m  8 s 1
w 2  2k / m  16 s 1
t.j.
f1  w1 /(2 )  1,273 Hz
f 2  w 2 /(2 )  2,546 Hz
Vlastný tvar kmitania (vektor i ) pre i-tu vlastnú frekvenciu určíme z
~
~
(K  wi2M)i  0
  3k

 k

 k
0   2i 
2  2m
   0
 wi 


 
k 
0
m

   3i 
prednáška č.6 - 23/24
Ak zvolíme normovanie 3i = 1 dostaneme 2 vlastné tvary (vektory) pre
obe vlastné frekvencie kmitania.
  0,5
   21    
31   1 
   1
    22    
32   1 
Normovanie vzhľadom na M
0,4082
  

 0,8165
 0,5774

  

 0,5774 

Modálna matica konštrukcie F má potom tvar
nn
Φ  
21 22  0,5  1
   
 1 1



 31 32  
prednáška č.6 - 24/24