Transcript Kvantová mechanika stručne - Slovenská technická univerzita v

Slovenská technická univerzita v Bratislave
Fakulta elektrotechniky a informatiky
Kvantová mechanika
stručne
Robert Redhammer
Bratislava, 2002
Obsah
• Základné pojmy a postuláty kvantovej
mechaniky
• Viazané stavy - kvantová jama
• Tunelovanie
Základné pojmy a postuláty
kvantovej mechaniky I
•
•
•
•
•
Kvantové vlastnosti žiarenia
Vlnové vlastnosti častíc
Analógia s optikou
Vlnová funkcia
Schrödingerova rovnica
Základné pojmy a postuláty
kvantovej mechaniky II
• Operátory a stredné hodnoty
merateľných veličín
• Bornova pravdepodobnostná
interpretácia vlnovej funkcie
• Vlastnosti vlnových funkcií
• Princíp superpozície
• Rovnica kontinuity
• Heisenbergov princíp neurčitosti
Kvantové vlastnosti žiarenia
Svetlo - elektromagnetické vlnenie (ω, λ)
- energetických kvánt - fotónov=častíc (E, p)
h 2
E    h
p 
vektorovo p  k


Planckova konštanta
h  6.626x 10-34Js,
  h / 2
základná kvantita určujúca miery kvantových javov
Vlnové vlastnosti častíc
• Voľná častica:
–moment p = mv
–kinetickou energiou E = p2/2m
• Vlnenie:
–de Broglieho vlnová dĺžka:  = h/p
–kruhová frekvencia a vlnovým vektorom k
1
 E

1
k p

Vlnové vlastnosti častíc
De Broglieho vlnu voľnej častice možno
potom opísať ako rovinnú postupujúcu
vlnu
1
 i

 x, t  
exp Et  px
2
 

Vlna nie je hmotnou - len opisuje
vlastnosti správania sa častice!!!
Analógia s optikou
intenzita elektrického poľa postupujúcej
vlny :
Ek x, t   E0 exp it  kx
uhlová frekvencia  a vlnová dĺžka λ
  ck

2c

Vlnová funkcia voľnej častice
komplexná vlnová funkca (r) napr.
elektrónu:
 i

 (r, t )  C exp ( t  p.r)
 

Riešením akej rovnice je táto funkcia?
Schrödingerova rovnica
Vlnová rovnica komplexnej vlnovej
funkcie
 2


  V (r)  (r)  E (r)
 2m



kde
2 2 2
 2  2  2
x
y
z
Schrödingerova rovnica II
Jednoduchší zápis
ˆ   E
H
kde
2

ˆ 
H
  V r 
2m
je Hamiltonián, Hamiltonov operátor.
Hamiltonián
Hamiltonán je Hermitovský operátor
Riešenie Schrödingerovej rovnice –
vlnová funkcia je vlastná funkcia
operátora.
Časovo závislá Schrödingerova
rovnica
Časovo závislá Schrödingerova rovnica

2  2
i  ( x, t )  
 ( x, t )  V ( x) ( x, t )
t
2m x
Riešenie rovnice
 x, t   exp iEt   x
=> Separácia premenných
Operátory a stredné hodnoty
merateľných veličín
priestorová súradnica
zložka hybnosti
zložka momentu
hybnosti
kinetická energia
Hamiltonián
x=x

x
 
 
ˆ
ˆ
L x  L1  i y  z 
y 
 z
p2 2
ˆk 
W


2m 2m
2

ˆ 
H
  V r 
2m
pˆ x  i
Pravdepodobnostná interpretácia
Konštrukcia pokusu s interferenčným obrazcom
Prechod častíc cez dvojštrbinu
• Interferenčný obraz zodpovedá
interferenčnému obrazu rovinnej vlny s
vlnovou dĺžkou =h/p.
• Interferenčný obrazec nezávisí od intenzity
zväzku - nie je dôsledkom vzájomnej
interferencie elektrónov
• Každý elektrón vyvolá jedno bodové
sčernenie - obrazec je súčtom sčernení
spôsobených jednotlivými elektrónmi.
Pravdepodobnostná interpretácia
(r)
amplitúda pravdepodobnostnej
vlny (nie amplitúda hmotnej vlny)
|(r)|2
hustota pravdepodobnosti
výskytu častice v bode r a v
elemente dt = d3r
|(r)|2dt pravdepodobnosť výskytu
častice v elemente dt
Vlastnosti vlnových funkcií
1. Kvadraticky integrovateľné
2. Normovateľné

1 *
 2    ( x) ( x)dx  1
 c 
3. Ortogonálne
Spolu ... ortonormálne.
Princíp superpozície
Pre riešenia 1, 2, 3,... rovnice
ˆ  n  An n
A
je aj lineárna kombinácia
 x    cn n x 
n
c n    n r  r dr
riešením rovnice, pričom cn sú komplexné
čísla – váhovacie koeficienty.
Ortogonálnosť
znamená
*

 n ( x) m ( x)dx   nm
kde Kroneckerová delta
 nm  
0 pre n  m
1 pre n = m
Rovnica kontinuity
Platí pre riešenia Schrödingerovej rovnice

 . j  0
t
kde
2


   r, t
je hustota pravdepodobnosti a


*
*
jr, t  
   
2im
je hustota toku (pravdepodobnosti)

Vlnový balík
Superpozícia rovinných postupujúcich vĺn
 x  
k 0  k
 ck  exp ikx dk
k 0  k
vyhovuje pre opis
priestorovo lokalizovanej častice.
Heisenbergov princíp neurčitosti
Súčin neurčitosti polohy a hybnosti
2

2
2
x p 
4
2

2
2
E t 
4
kde x2, p2, E2 a t2 sú stredné
kvadratické odchýlky polohy, impulzu,
energie a času.
Dôsledok vlnovej povahy!
Viazané stavy
- kvantová jama
Nekonečne hlboká pravouhlá
kvantová jama
Hľadáme riešenie Schrödingerovej
rovnice
 2 d 2 x 

 E x 
V
2m dx2
pre potenciálový profil
V 0
V 
pre 0  x  d
ináč
0
0
d
x
Okrajové podmienky
 0  0
a
 d   0
Ponúkané riešenie
Matematický problém vlastných čísiel,
skúsme riešenie napr. v tvare
 x   Asinx   B cosx 
kde

2m E

m je hmotnosť, E je celková energia.
Dané okrajové podmienky
Prvá je splnená ak B = 0
  Asinx 
a dosadením do druhej okrajovej
podmienky
 n d  n
Parameter α je vlastné číslo
Vlastné stavy
Dosadením za α máme vlastné energie
 2 2 2
En 
n
2
2m d
a vlastné funkcie
 n 
 n x   A sin x 
 n x   0
d

pre 0  x  d
Normovacia podmienka
d
  ( x)
2
dx  1
0
dáva vyjadrenie pre koeficient A, teda
2  n 
 n x  
sin x 
d
d 
pre n  1,2,3,...
je sústava vlnových rovníc.
Tvar vlnových funkcií
 (x)
0
d
x
Konečná pravouhlá kvantová jama
Potenciálový profil
V  x   V0  0
V x   0
pre x  d / 2
x  d /2
V
-d/2
0
V0
d/2
x
Schrödingerova rovnica
 2

 ( x)  V ( x) ( x)  E ( x)
2m x 2
pre hodnoty v rozmedzí
V x   V0  E  V x    0
prepíšem rovnicu do tvaru
kde
(39)
kde
(40)
a mimo jamy
d i
2
 i i  0
dx2
2
 
2

E  V0 
2
2m

 
2
2m

d 2 i
dx
2
2
E
  i2 i  0