Transcript Mechanické kmitanie (kmitavý pohyb) je periodický pohyb, pri ktorom teleso pravidelne prechádza rovnovážnou polohou. Mechanický oscilátor je zariadenie, ktoré môže voľne kmitať.

Mechanické kmitanie (kmitavý pohyb) je periodický pohyb, pri ktorom teleso pravidelne prechádza
rovnovážnou polohou.
Mechanický oscilátor je zariadenie, ktoré môže voľne kmitať bez vonkajšieho pôsobenia.
Trajektória kmitajúcich telies môže byť priamočiara aj krivočiara. Závislosť okamžitej polohy
kmitajúceho bodu (ťažiska telesa) od času možno zobraziť časovým diagramom.
Základným údajom všetkých periodických dejov je perióda – doba kmitu T a frekvencia f. Perióda je
najkratšia doba, po ktorej sa opakuje pohybový stav telesa.
f = T-1
[T] = s
[f] = s-1 = Hz (hertz)
Kmit je pohyb, ktorý hmotný bod vykoná za jednu periódu.
Harmonický pohyb je kmitavý pohyb, ktorého graf závislosti výchylky z rovnovážnej polohy od času
má sínusový priebeh. (t.j. priemet hmotného bodu pohybujúceho sa rovnomerne po kružnici do
zvislého priemeru koná vo vertikálnej rovine harmonický pohyb)
Príkladom mechanického oscilátora, ktorý koná
harmonický pohyb je pružinový oscilátor:
Ak vzťažnú sústavu zvolíme vhodne so začiatkom v rovnovážnej polohe, potom poloha bodu v
určitom čase t (okamžitá výchylka) je určená súradnicou y. Zvoľme čas t = 0s v okamihu, keď
hmotný bod (ťažisko) je v rovnovážnej polohe.
Popisovanému pohybu priradíme zodpovedajúci rovnomerný pohyb po kružnici (so stredom v bode
O a polomerom ym, doba obehu T so rovná dobe kmitu).
Pre rovnomerný pohyb hmotného bodu po kružnici
platí:
Pre harmonický pohyb potom možno ľahko odvodiť:
y = ym.sin ωt
v = ym.ω.cos ωt
a = – ym ω2.sin ωt = – ω2y
ω = 2π / T = 2πf [ω] = s-1
– uhlová frekvencia
φ = ωt
– okamžitá fáza
Pre t = 0s sa výraz ωt = φ0 (v našom prípade φ0 = 0)
nazýva začiatočná fáza.
V prípade, že začiatočná fáza φ ≠ 0, majú rovnice, ktoré popisujú harmonické kmitanie, tvar:
y = ym.sin (ωt + φ0)
v = ym.ω.cos (ωt + φ0)
a = – ym ω2.sin (ωt + φ0)
Ak majú dva rôzne harmonické pohyby s rovnakou frekvenciou f začiatočné fázy φ 1 a φ2, potom
rozdiel Δφ = φ1 – φ2 sa nazýva fázový rozdiel pohybov.
O zloženom kmitaní hovoríme, ak hmotný bod koná súčasne viac harmonických pohybov. Ak
koná niekoľko harmonických pohybov toho istého smeru s výchylkami y1, y2,.., yk, potom je
okamžitá výchylka zloženého kmitania y = y1+ y2+ ... +yk (princíp superpozície).
Jednoduchým prípadom je skladanie dvoch rovnosmerných harmonických izochrónnych pohybov
(f1 = f2), ktoré majú rovnakú amplitúdu výchylky ym a počiatočné fázy φ1, φ2.
φ1 = 0°
φ2 = 45°
Δφ = 45°
φ1 = 0°
φ2 = 90°
Δφ = 90°
V tomto prípade, ak zložené kmitanie je harmonické, izochrónne s oboma skladanými pohybmi s
rovnakou amplitúdou, platia nasledujúce vzťahy:
y1 = ym.sin (ωt + φ1)
y2 = ym.sin (ωt + φ2)
|Y| = 2ym. cos ½(φ2 – φ1) = 2ym. cos ½Δφ
y = y1 + y2 = 2ym. cos ½(φ2 – φ1). sin [ωt + ½(φ2 – φ1) ]
φ = ½(φ2 – φ1)
– výsledná amplitúda výchylky
– okamžitá výchylka
– začiatočná fáza
Rovnaký výsledok dostaneme z fázorového diagramu Y = Y1 + Y2
Fázorový diagram je diagram, v
ktorom sú veličiny (y, v, a)
symbolicky znázornené pomocou
rotujúceho vektora – fázora.
Príklad skladania dvoch harmonických pohybov:
f 1 = f2
ym = ym1 = ym2
φ1 = 22°
φ2 = 64°
Špeciálne prípady:
Δφ = 0°
Ym = ym1 + ym2
Δφ = 180°
Ym = | ym1 – ym2 |
Amplitúdy výchyliek as algebraicky sčítajú.
Výsledná amplitúda je rozdielom oboch amplitúd.
Ak nie sú skladané pohyby izochrónne (f1 ≠ f2), je zložené kmitanie neharmonické. Periodické
je iba v prípadoch, keď pomer frekvencií so rovná pomeru celých čísel:
Ak je rozdiel f1 – f2 malý, zloženým kmitaním sú rázy – neharmonické kmitanie, ktorého
amplitúda výchylky sa periodicky mení:
Premeny energie v mechanickom oscilátore
Celková mechanická energia kmitajúceho oscilátora je E = Ek + Ep = ½mω2ym2 = konšt.
Pri harmonickom kmitaní sa periodicky mení potenciálna energia na kinetickú a naopak.
Celková mechanická energia je konštantná.
Potenciálna energia sa rovná práci, potrebnej
na vychýlenie telesa z rovnovážnej polohy.
k = m. ω2
– tuhosť pružiny
Ep = W = ½F.y = ½k.y2 = ½mω2y2 =
= ½mω2ym2.sin2ωt
Ek = ½m.v2 = ½mym2ω2cos2ωt
Premeny energie v mechanickom oscilátore
E
Celková mechanická energia
Ek
Kinetická energia
Ep
Potenciálna energia
Pre reálny oscilátor sa amplitúda výchylky postupne zmenšuje. Mechanická energia sa mení
na iné druhy energie (napr. na vnútornú energiu oscilátora a okolia). Kmity oscilátora sú
tlmené. Tlmenie ovplyvňuje nielen amplitúdu výchylky, ale aj periódu vlastného kmitania.
Tlmenie oscilátora je ovplyvňované jeho vlastnosťami a prostredím, v ktorom oscilátor
kmitá.
Ďakujem
za
pozornosť
Použitá literatúra:
Lank, V. – Vondra, M.: Fyzika v kocke. Art Area, 2000, s. 43-47
Internet:
http://atom.physics.calpoly.edu/Graphics/
Autor: Zdenko Štrbík
2005/2006 4.C