Transcript 9. Elektrické obvody s harmonicky sa meniacimi veličinami v ustálenom stave • Základné vlastnosti a parametre harmonických priebehov • Komplexná reprezentácia harmonických veličín, fázory.

9. Elektrické obvody s harmonicky sa meniacimi
veličinami v ustálenom stave
• Základné vlastnosti a parametre harmonických priebehov
• Komplexná reprezentácia harmonických veličín,
fázory (komplexory)
• Vzťah medzi napätiami a prúdmi ideálnych obvodových prvkov
(dvojpólov)
• Impedancia, admitancia
• Výkon v obvodoch s harmonickými veličinami
• Analýza lineárnych obvodov pomocou komplexnej algebry,
analógia s metódami riešenia v ustálenom stacionárnom stave
• Indukčne viazané obvody (obvody s magnetickou väzbou)
9.1. Základné vlastnosti a parametre harmonických priebehov
Pod pojmom harmonický priebeh rozumieme taký časový priebeh napätia, resp. prúdu, ktorý
možno vyjadriť pomocou harmonických funkcií v tvare:
u t   Um  cos  t  u ,
i t   Im  cos  t  i 
  2f 
2
T
f - frekvencia
T - perióda
(Im) je maximálna hodnota
u (i) je
fázový uhol - uhlová konštanta a  je
Fázový - amplitúda,
uhol vyjadruje
vlastne
vzdialenosť
najbližšieho
maximatýchto parametrov je zrejmý z
uhlová frekvencia harmonického
napätia
(prúdu). Význam
od počiatku súradnicovej sústavy,
obrázku:
nakoľko funkcia cos(x) nadobúda
maximálne hodnoty pre argument
x=0+2k (k je ľubovoľné celé
číslo). Pre k=0 platí t+u=0, z
u (t ) čoho vychádza čas maxima
tmax= -u/. Fázový uhol sa zvykne
udávať v stupňoch [°] alebo v
Um
radiánoch [rad].
kde Um
u

t
0
T
9-1
9.2. Komplexná reprezentácia harmonických veličín, fázory
Pri riešení elektrických obvodov s harmonickými veličinami využívame (podobne ako pri
obvodoch v stacionárnom ustálenom stave) platnosť Ohmovho zákona a Kirchhoffových
zákonov.
Problémom je tuPoznámky:
skutočnosť, že aplikáciou týchto zákonov (ako aj odvodených metód)
Je nutné dodržiavať
typyriešenie
písma je
presíce
rôznu
dostaneme sústavy • trigonometrických
rovníc,rôzne
ktorých
možné, ale je veľmi
reprezentáciu
obvodových
veličín
pracné (je potrebné vykonávať
rôzne
matematické
operácie
s
harmonickými
(je
to
dané
rozdielnym
fyzikálnym,
resp. funkciami, ktoré
významom časových priebehov,
majú rôzne amplitúdy a matematickým
fázové uhly).
fázorov, maximálnych hodnôt a pod.).
• Imaginárna jednotka sa v elektrotechnike zvykne
označovať symbolom „j“ (symbol „i“ označuje
obyčajne okamžitú hodnotu prúdu).
Aby sme sa vyhli spomenutým komplikáciám pri riešení (z matematického hľadiska), je vhodné
reprezentovať
harmonické
veličiny
pomocou
komplexných
čísiel
nazývaných
fázory
(komplexory, časové vektory).
Výhodou je tu zjednodušenie riešenia obvodu, nakoľko matematické úkony s komplexnými
číslami sú omnoho jednoduchšie, ako s harmonickými funkciami.
9-2
9.2.1. Pojem fázor
Nech je daný harmonický časový priebeh napätia všeobecne ako
Poznámky:
ut   Um  cos  t  u 
• V prípade obvodov s harmonickými veličinami sa zvyčajne používajú
namiesto maximálnych fázorov efektívne fázory. Rozdiel spočíva v tom,
Tomuto harmonickému
napätiu
priradíme fázora
komplexné
nazývané
že veľkosť
efektívneho
je číslo
namiesto
maximálnej hodnoty
obvodovej
veličiny určená
jej tzv.
efektívnou hodnotou Uef  Um 2
maximálny rotujúci
fázor
U (t)že
podľa
vzťahu
Tonapätia
znamená,
s meniacim
sa časom
m
fázor napätia rotuje v komplexnej rovine
Dôvod je praktický
striedavé
prístroje
sú kalibrované na

j meracie
t  
smeru
ručičiek
s
–bežné
Um t   Um  cos  t  u proti
 jUm  sin
 t  hodinových
u   Um  e
efektívnu uhlovou
hodnotu
harmonických
Preto ak pri výpočtoch
rýchlosťou
 (pozriveličín.
obrázok).
použijemeTu efektívne
fázory,
možnosť
sa ukazuje
aj inýmáme
názorný
význampriameho porovnania
U
je
komplexná
konštanta
nazývaná
Je zrejmé, že nameraných
harmonické
napätie
predstavuje
reálnu
zložku
m
a vypočítaných
napätí
alebo
prúdov.
fázového
uhla
u – hodnôt
je tovlastne
uhol,
ktorý
zviera
maximálny
fázor
napätia
(nerotujúci).
Je
• V
ďalšomrotujúci
texte
budeme
efektívne
fázory
fázor používať
harmonickej
veličiny
s (ak nebude uvedené
maximálneho
rotujúceho
fázora
napätia.
daná
vzťahom
j

inak)
a kladnou
preUmreálnou
jednoduchosť
nebudeme
indexy
„ef“.
rovinypísať
 Um  e osou komplexnej
Z výrazu pre rotujúci
fázor
vyplýva,
j t veľkosť
 
t
Výraz U
t=0. že jeho
vt čase
U
 Uef (modul)
e j  e jurčená
 Uef  e jt
ef t   Uef  e
Je
zrejmé,
že
poloha
tohoto
maximálnou hodnotou harmonickej veličiny nezávisí od času.
komplexného
čísla
v komplexnej
U  Uef  znamená
Uef  e j obyčajný
predstavuje teda
efektívny
rotujúci rovine
fázor a
sa
slen
časom
nemení.
Rotácia
fázoraktorého
je
S časom sa mení
jehoefektívny
fázový
uhol
(argument)
okamžitá
(nerotujúci)
fázor.
vyjadrená výrazom
Namiesto
hodnota je•daná
výrazomzápisu
u+.t fázora
e jt pomocou exponenciálnej funkcie sa niekedy
j
používa tzv. verzorový tvar: Uef  e  Uef u
u
u
u
u
u
u
Vzťah pre rotujúci
fázor
možno
jednoducho
Symbol
„“
tu označuje
fázovýupraviť
uhol. do podoby
Um t   Um  e j t    Um  e j  e jt  Um  e jt
u
u
9-3
9.3. Vzťah medzi napätím a prúdom ideálneho rezistora
Nech prúd a napätie na ideálnom rezistore R sú dané vzťahmi
iR t   IRm  cos  t  iR 
uR(t)
uR t   URm  cos  t  uR 
iR(t)
R
Nakoľko pre ideálny rezistor platí v ľubovoľnom časovom okamihu
Ohmov zákon, možno napätie vyjadriť pomocou prúdu ako
uR t   R  iR t   R  IRm  cos  t  iR 
Z porovnania obidvoch výrazov pre napätie vyplýva, že
URm  R  IRm uR  iR
To znamená, že pri rotácii
oboch fázorov v komplexnej
rovine je
ich vzájomný
uhol
To znamená, že platí Ohmov
zákon
pre maximálne
hodnoty
nulový (pozri obrázok).
(podobne, ako pre stacionárne napätie a prúd rezistora).
Okrem toho je zrejmé, že fázový uhol napätia a prúdu rezistora je
rovnaký (hovoríme, že napätie a prúd ideálneho rezistora sú vo
fáze). Pre efektívne rotujúce fázory platí
UR t   UR  e jt  UR  e j t    UR  e j  e jt  R  I R  e jt  R  I R t 
uR
uR
UR  UR  e j  R  IR  e j  R  I R
uR
iR
9-4
9.4. Vzťah medzi napätím a prúdom ideálneho induktora
Nech prúd a napätie na ideálnom induktore L sú dané vzťahmi
iL t   ILm  cos  t  iL 
uL(t)
uL t   ULm  cos  t  uL 
iL(t)
L
V časti 2.6.5. sme ukázali, že napätie na ideálnom induktore je
priamoPoznámky:
úmerné časovej zmene prúdu tečúceho cez induktor.
• Vzájomný vzťah medzi fázormi napätia a prúdu možno vyjadriť aj priamo
Matematickypomocou
to možnofázorov:
vyjadriť ako
uL t   L 
diL t 

t  L  I dILcos
 e jt  t      jt
jt t   dI
L

 

L

I

sin


U L t  Lm
 UL  e
 L iL
 L Lm

 j iLL  I L  e
 j  L  I L t 
dt
2
dt
dt 
Z porovnaniaZ obidvoch
výrazov
pre
napätie
vyplýva,
že rotujúceho fázora podľa času je
uvedeného
výrazu
je zrejmé,
derivácia
To znamená,
žeže
pri
rotácii
ekvivalentná vynásobeniu
pôvodného
(nezderivovaného) fázora výrazom j.
oboch fázorov
v komplexnej
rovine
2 využili
ULm    L•  ILm
uL  iL  sme
je ich
vzájomný
Pri 
úpravách
známu
rovnosťuhol
rovný +/2 (pozri obrázok). e j  2   j
Fázový uhol napätia na ideálnom induktore je v ľubovoľnom
časovom okamihu väčší o /2 (90°) ako fázový uhol
prúdu
(hovoríme, že napätie predbieha prúd ideálneho induktora o /2).
Pre efektívne rotujúce fázory platí
UL t   UL  e jt  UL  e j t    UL  e j  e jt    L  IL  e j 
uL
UL  UL  e j    L  IL  e j 
uL
iL
  2
uL
iL
  2
 e jt  j  L  I L  e jt  j  L  I L t 
   L  e j  2  IL  e j    j  L  I L
iL
9-5
9.5. Vzťah medzi napätím a prúdom ideálneho kapacitora
Nech prúd a napätie na ideálnom kapacitore C sú dané vzťahmi
iC t   ICm  cos  t  iC 
uC(t)
uC t   UCm  cos  t  uC 
iC(t
)
C
V časti 2.6.4. sme ukázali, že napätie na ideálnom kapacitore je
priamo Poznámky:
úmerné náboju nazhromaždenému na elektródach, ktorý je
• Vzájomný vzťah medzi fázormi napätia a prúdu možno aj v tomto prípade
daný ako integrál
prúdu.
Matematicky
možno vyjadriť ako
vyjadriť
priamo
pomocou to
fázorov:
t
t
1
1t
ICm jt 1
ICm 1 
 1
j
IC e
d 
 IC  e jt 
 IC t 
 Cdt  UC esin t IiCC   d   cos
uC t    iC U
 t  iC

C0
j  C
C0
C
C C 0 
2j  C
uvedeného
výrazu
je napätie
zrejmé,
žepri
integrál
To znamená,
ževyplýva,
rotácii
Z porovnaniaZobidvoch
výrazov
pre
že rotujúceho fázora podľa času je
ekvivalentný vydeleniu
pôvodného
(nezderivovaného) fázora výrazom j.
oboch fázorov
v komplexnej
rovine
je ich
vzájomný
známu
rovnosťuhol
uC  iCsme

 2využili
UCm  ICm • Pri
 Cúpravách
rovný -/2 (pozri obrázok). e  j  2    j  1
Fázový uhol napätia na ideálnom kapacitore je v ľubovoľnom j
časovom okamihu menší o /2 (90°) ako fázový uhol
prúdu
(hovoríme, že napätie zaostáva za prúdom ideálneho kapacitora o
/2). Pre efektívne rotujúce fázory platí
I
1
1
UC t   UC  e jt  UC  e j t    UL  e j  e jt  C  e j   2  e jt 
 IC  e jt 
 IC t 
C
j  C
j  C
I
1
1
UC  UC  e j  C  e j   2 
 e  j  2  IC  e j   
 IC
C
C
j  C
9-6
uC
uC
iC
uC
iC
iC
9.6. Impedancia v obvodoch s harmonickými veličinami
ideálneho
Z predchádzajúcich
úvah vyplýva užitočný
poznatokideálneho
– ak časové priebehy Impedancia
harmonických
napätí
Impedancia
Impedancia ideálneho
kapacitora je rovná
je rovná
rezistora
je rovnáfázormi, je možnéinduktora
a prúdov
nahradíme
fázor napätia
vyjadriť ako súčin komplexnej konštanty a
1
1
ZL  j  L
ZRNapr.
 R pre ideálne jednoduché obvodové
ZC 
 j
fázora prúdu.
prvky platí
j  C
C
UC
UR
UL
1
UL  j  L  IL
U

 IC
UR  R  IR
I
C
I
j


C
C
I
R
L
L
R
C
Uvedené skutočnosti sa dajú zovšeobecniť aj na prípad ľubovoľného dvojpólu poskladaného z
ideálnych pasívnych obvodových prvkov (dvojpólov).
Spomínaná komplexná konštanta potom vyjadruje vzťah medzi fázormi napätia a prúdu
Z výrazu je zrejmé, že
všeobecne (nielen na jednoduchých obvodových
prvkoch).
impedancia
nezávisí
od času!
Táto komplexná konštanta má rozmer odporu ( - Ohm) a preto sa nazýva aj zdanlivý odpor,
Fázový uhol impedancie je
resp. impedancia - Z. Impedanciu teda možno všeobecne vyjadriť ako podiel fázora napätia a
daný ako rozdiel fázového
prúdu (je to vlastne obdoba, resp. zovšeobecnenie Ohmovho zákona):
uhla napätia a prúdu
U t  U  e j  e jt U  e j
U U j 
Z



 e
I t  I  e j  e jt
I
I
I  e j
u
i
UZ
IZ
Z
u

u i
 Z e
i
Schematická značka
impedancie je taká
istá, ako v prípade
rezistora.
jz
z  u  i
Veľkosť impedancie je daná
podielom
veľkostí
(resp.
efektívnych hodnôt) napätia a
prúdu
U
U
Z m 
Im
I
9-7
9.6.1. Zložkový tvar impedancie, rezistancia a reaktancia
Impedancia sa zvykne vyjadrovať aj v zložkovom tvare ako
Z  Z  e j  R  jX
z
Reálna zložka impedancie predstavuje tzv. skutočný odpor dvojpólu – R (rezistancia), ktorý
nemusí byť totožný s odporom nameraným pri stacionárnych ustálených prúdoch (napr. v
prípade ideálneho rezistora a kapacitora zapojených do série by sme namerali nekonečný
odpor).
Rezistancia môže nadobúdať len kladné hodnoty.
Imaginárna zložka impedancie sa nazýva reaktancia - X.
Reaktancia môže nadobúdať kladné aj záporné hodnoty.
Vtedy hovoríme, že impedancia má
induktívny
charakter,
lebo
reaktancia ideálneho induktora sa
rovná
XL    L  0
V druhom prípade hovoríme, že
impedancia
má
kapacitný
charakter,
lebo
reaktancia
ideálneho kapacitora sa rovná
1
XC  
0
C
9-8
9.7. Admitancia a jej zložky (konduktancia, susceptancia)
Prevrátená hodnota impedancie má rozmer elektrickej vodivosti
(S - Siemens)
a nazýva je
sa
Fázový
uhol admitancie
daný ako rozdiel fázového
admitancia - Y.
uhla prúdu a napätia
Admitanciu možno všeobecne vyjadriť ako podiel fázora prúdu a napätia:      
y
i
u
z
1
I t  I  e j  e jt
I  e j
I
I
j
j   
Y 





e

Y

e
Z U t  U  e j  e jt U  e j
U U
i
i
i
u
u
u
Aj admitancia sa dá vyjadriť v zložkovom tvare:
Y  Y e
j y
 G  jB
y
Veľkosť admitancie je daná
podielom
veľkostí
(resp.
efektívnych hodnôt) prúdu a
napätia
I
I
1
Y m  
Um U Z
Reálna zložka admitancie predstavuje tzv. skutočnú vodivosť dvojpólu - G (konduktancia) ktorá
nemusí byť totožná s vodivosťou nameranou pri stacionárnych ustálených prúdoch (napr. v
prípade ideálneho rezistora a kapacitora zapojených do série by sme namerali nulovú
vodivosť).
Konduktancia môže nadobúdať len kladné hodnoty.
Imaginárna zložka admitancie sa nazýva susceptancia - B.
Susceptancia môže nadobúdať kladné aj záporné hodnoty.
9-9
9.8. Výkon v obvodoch s harmonickými veličinami
Nech sú dané harmonické časové priebehy napätia a prúdu všeobecne ako
ut   Um  cos  t  u  i t   Im  cos  t  i 
Potom môžeme definovať výkon v ľubovoľnom časovom okamihu (okamžitý výkon) ako súčin
okamžitých hodnôt napätia a prúdu:
pt   ut   i t   Um  cos  t  u   Im  cos  t  i   2UI  cos  t  u   cos  t  i 
Po jednoduchých úpravách s využitím známeho vzťahu pre súčin dvoch harmonických funkcií
dostávame výsledok v tvare
pt   UI  cosu  i   UI  cos2    t  u  i 
cos  cos 
1
cos    cos  
2
Časový priebeh okamžitého výkonu teda tvoria dve zložky:
•
konštanta
•
periodický harmonický priebeh s dvojnásobnou uhlovou frekvenciou (2)
Z porovnania vzťahu pre konštantnú zložku okamžitého výkonu a definičného výrazu pre
impedanciu vyplýva dôležitá skutočnosť – argument funkcie cos v konštantnej zložke výkonu je
rovný fázovému uhlu impedancie! (možnosť kontroly správnosti numerických výpočtov).
p  u  i  z
9-10
9.8.1. Stredná hodnota výkonu
Časové priebehy napätia u(t), prúdu i(t) a okamžitého výkonu p(t) sú znázornené na obrázku:
u(t)
i(t)
p(t)
t
0
T
Stredná hodnota časového priebehu okamžitého výkonu p(t) je
1T
P  Pa   pt dt  UI  cosu  i   UI  cos p 
T0
Všimnite si, že je zhodný
s konštantnou zložkou
časového
priebehu
výkonu p(t)!
Táto veličina sa nazýva činný (skutočný, wattový) výkon a predstavuje časť energie (za
jednotku času), ktorá sa na dvojpóle s daným časovým priebehom napätia a prúdu nevratne
premení na teplo. Udáva sa vo Wattoch (W).
9-11
9.8.2. Komplexná reprezentácia výkonu
Podobne, ako v prípade napätia a prúdu je možné priradiť súčinu
dvoch harmonických funkcií komplexné číslo – časový vektor,
ktorého reálna zložka predstavuje časový priebeh tohoto súčinu.
Pre okamžitý výkon vieme nájsť zodpovedajúci fázor v tvare
S t   U t   I t   U t   I * t 
* znamená komplexne
združený časový vektor
(rotujúci
fázor)
prúdu.
Ak dosadíme za efektívne rotujúce fázory
napätia
a prúdu
príslušné
definičné vzťahy, možno prvý člen výrazu upraviť do podoby z
Poznámka:
ktorej je zrejmé, že
časovo premenlivú
Na reálna
rozdielčasť
od predstavuje
výkonu v stacionárnom
zložku výkonu

U t   I t   U  e j
u
P
ustálenom stave nestačí jednoducho
vynásobiť fázor napätia fázorom prúdu.
 e jt  I  e j  e jt  UI  e j 2t   


i
u
i
Podobne možno upraviť druhý člen výrazu do tvaru z ktorého
vyplýva, že reálna časť predstavuje konštantnú zložku výkonu



U t   I * t   U  e j  e jt  I  e  j  e  jt  UI  e j 
u
i
u
i 
 UI  e
j p
Z praktického hľadiska je zaujímavá práve táto (konštantná) časť
časového vektora výkonu, ktorá sa nazýva komplexný výkon:


S  Ut   I *t   Ue jt  Ie jt  Ue jt  I *e jt  U  I *  UI  e
*
jp
 S e
jp
Je zrejmé, že táto časť
časového
vektora
nezávisí od času.
9-12
9.8.3. Zložky komplexného výkonu
V praxi sa komplexný výkon najčastejšie vyjadruje v zložkovom tvare:
S  U  I *  UI  e
jp
 UI  cosp  jUI  sinp  P  jQ  S  e
jp
Reálna zložka komplexného výkonu P je už spomenutý činný výkon:
Činný výkon na pasívnom dvojpóle (impedancii) môže mať len kladné hodnoty.
P  UI  cos p 
Veličina cos(p) sa
nazýva účinník.
Imaginárna zložka komplexného výkonu Q sa nazýva jalový (reaktívny) výkon a predstavuje
časť energie (za jednotku času) vynaloženú na vytvorenie magnetického, resp. elektrického
poľa na dvojpóle s daným časovým priebehom napätia a prúdu. Udáva sa vo volt-ampéroch
Poznámka:
reaktančných (VAr).Komplexný výkon sa dá znázorniť v
komplexnej
pomocou
Jalový výkon na pasívnom
dvojpóle rovine
môže mať kladné
aj záporné hodnoty (podľa toho, aké
pravouhlého
tzv.
výkonového
znamienko má imaginárna
zložka Z
impedancie
trojuholníka.
geometrie- reaktancia).
trojuholníka
vyplýva:
Q  UI  sin  p
S 2  P 2  Q2 tg   Q
p
P
Im{S}
Absolútna hodnota (veľkosť) komplexného výkonu S sa nazýva
S
Q
zdanlivý výkon. Nemá priamy fyzikálny význam. Udáva sa vo voltp
ampéroch (VA).
0
P
Re{S}
S  UI
9-13
 
9.9. Analýza lineárnych obvodov pomocou komplexnej algebry
Výhody použitia
komplexnej
reprezentácie
obvodových veličín a náhrady pasívnych
obvodových prvkov impedanciami (alebo admitanciami) možno najjednoduchšie demonštrovať
na príklade.
Príklad:
V obvode s harmonickými veličinami na obrázku je dané:
R1  10 
R4
R2  5 
L4
R3  20 
L1
R1
C2
R4  15 
R2
R3
u5(t)
i6(t)
Poznámka:
L1  0,1H
L4  0,2 H


u5 t   10  cos 100t  
4



i 6 t   1,5  cos 100t  
3

  100 rad/s
C2  500 F
V skutočnosti potrebujeme 12 rovníc,
Úloha:
pretože u každej obvodovej veličiny
Vypočítajte časové priebehy všetkých
neznámych
obvodových
veličínaj(napätí aj prúdov)!
potrebujeme
vypočítať
amplitúdu
fázový uhol.
Poznámka:
V tomto obvode je 5 neznámych prúdov a 1 neznáme napätie na prúdovom zdroji – spolu 6
neznámych veličín. Potrebujeme teda sformulovať sústavu 6 rovníc so 6 neznámymi
veličinami.
9-14
9.9.1. Priame riešenie pomocou harmonických funkcií
Najskôr si ukážeme klasický postup bez využitia fázorov:
Postup pri riešení:
1 B
C 1. V obvode vyznačíme zvolené smery
A
neznámych
obvodových
veličín
Poznámka:
iu5(t L
(nesmieme zabudnúť na napätia na
i2(t) R
i1(t) R1
1
C
Využijeme
pri
tom
známe
vzťahy
2
2
)
ideálnych
prúdových zdrojoch).
medzi napätiami
R3 a prúdmi na
S2 obvodových 2.prvkoch
u5(t)
Zvolíme
pravý strom (jeho vetvy sú
S3 ui6(t)
ideálnych
(pozri
kapitoly
9.3., 9.4.
a 9.5.). vyznačené svetlozelenou farbou)
i3(t)
i6(t)
V
príslušných
3.harmonických
Na základe jeho voľby sformulujeme
funkciách ale nie vždypomocou
poznáme
I. resp. II. Kirchhoffovho zákona
Rovnice pre vyznačené uzly
amplitúdy a fázové uhly
(sú
to
potrebný počet rovníc (podľa toho, akou
(I. Kirchhoffov zákon):
neznáme veličiny, ktoré je
potrebné
metódou
ideme obvod riešiť).
nájsť).
A:  iu5 t   i1t   i 4 t   0
a. I. Kirchhoffov zákon využijeme na
Je zrejmé, že ďalšie pokračovanie v
určenie 3 rovníc (obvod má 4 uzly).
by bolo
B:  i6 t   i1t   i2 t   0 riešení nemá zmysel, nakoľkoZvolené
uzly sú vyznačené modrou
potrebné riešiť sústavu šiestich
farbou.
C:  i2 t   i3 t   i 4 t   0 trigonometrických rovníc, pri úprave
b. II.
Kirchhoffov zákon využijeme na
ktorých by sme sa nevyhli
použitiu
Rovnice pre vyznačené slučky
určenie
rôznych súčtových vzťahov
prezvyšných 3 rovníc (v obvode
(II. Kirchhoffov zákon):
trigonometrické funkcie a pod.sa dajú zvoliť 3 nezávislé slučky).
Zvolené
slučky
sú
vyznačené
S1:  uR1t   uL1t   uR4 t   uL4 t   uR2 t   uC2 t   0
tyrkysovou farbou.
S2:  uR1t   uL1t   uR2 t   uC2 t   uR3 t   u5 t   0 4. Za jednotlivé napätia a prúdy dosadíme
príslušné harmonické funkcie.
S3:  uR1t   uL1t   ui 6 t   u5 t   0
i4(t)
R4 S
L4
9-15
9.9.2. Nepriame riešenie pomocou fázorov – voľba metódy
Na tom istom príklade ukážeme princíp riešenia založený na použití komplexnej reprezentácie
obvodových
veličín
a
náhrady
pasívnych
obvodových
prvkov
impedanciami
(alebo
admitanciami).
Postup pri riešení:
1. V obvode vyznačíme zvolené smery
fázorov neznámych obvodových veličín.
2. Zvolíme pravý strom (jeho vetvy sú
vyznačené svetlozelenou farbou).
Ak nahradíme úseky so skutočnými pasívnymi
prvkami príslušnými impedanciami a zdroje
nahradíme fázormi, dostávame zjednodušený
obvod znázornený na obrázku:
A
IZ4
Z4
IZ1
B IZ2
Z2
Z1
Iu5
U5
C
Z3
UI6
I6
IZ3
0
Jednotlivé impedancie a efektívne
fázory
zdrojov majú tvar: Z1  R1  j  L1

10 j 4
U5 
e
1
2
Z 2  R2 
j  C 2
Z3  R3
Z4  R4  j  L4

1,5  j 3
I6 
e
2
3. Na základe jeho voľby sformulujeme
pomocou I. resp. II. Kirchhoffovho zákona
potrebný počet rovníc (podľa toho, akou
metódou ideme obvod riešiť).
V tomto prípade možno použiť napr.
metódu slučkových (alebo tetivových)
prúdov, resp. uzlových (alebo vetvových)
napätí (vždy stačí riešiť dve rovnice o 2
neznámych).
4. Zvolíme si napr. metódu uzlových napätí.
Uzol 0 zvolíme za referenčný a pomocou I.
Kirchoffovho zákona (podobne ako pri
priamom riešení) pre uzly A, B a C
sformulujeme sústavu 3 rovníc v ktorej
vystupujú fázory 5 neznámych (Iu5 , IZ1, IZ2,
IZ3, IZ4) a 1 známeho prúdu (I6).
9-16
Nepriame riešenie pomocou fázorov – symbolické riešenie
5. V obvode vyznačíme napätia uzlov A, B a
C voči referenčnému uzlu 0 – uzlové
Z4
B IZ2
C
A IZ1
napätia. Sú to pochopiteľne tiež fázory.
6. Fázory neznámych prúdov vyjadríme
Z
Z1
Iu5
2
UB0
Poznámka:
pomocou uzlových napätí a známych
UC0 preZ3 uzly A,impedancií.
Rovnice
B a C sa dajú
U5
UI6
UA0
Neznáme
napísať aj pre rotujúce
fázory.napätie
To alena prúdovom zdroji (UI6)
je totožné
s uzlovým
U  UB0
IZ3 praktický
I6 nemá žiadny
význam,
lebo napätím UB0.
I Z1  A0
Uzlové výraz
napätie UA0 je známe, lebo je
každý rotujúci fázor obsahuje
Z1
0
totožné s napätím zdroja U5.
e jt
7. Získané vzťahy dosadíme do rovníc pre
Rovnice pre fázory prúdov
ktorý sa vykráti.
uzly A, B a C. Dostaneme tak sústavu
(I. Kirchhoffov zákon):
troch rovníc pre dve neznáme uzlové
Ui 6  UB0
napätia (UB0 a UC0) a jeden neznámy prúd,
A:  Iu5  IZ1  IZ 4  0
ktorý tečie cez napäťový zdroj (Iu5).
U A0  U C0
I


I

I

I

0
U

U
Z
4
B:
6
Z1
Z2
A0
5
8. Po následnej úprave a premiestnení
Z4
členov so známymi veličinami na pravé
C:  IZ 2  IZ3  IZ 4  0
strany rovníc dostaneme upravenú
sústavu rovníc, ktorú môžeme riešiť
Sústava upravených rovníc:
ľubovoľnou matematickou metódou.
U  U C0
U
I Z 2  B0
IZ 3 1 C0
 1 
 1
1  Nakoľko neznámy prúd sa nachádza iba v
A:  Iu5Z2UB0      UC0    Z 3 U5    
 Z1 
 Z4 
 Z1 Z 4  jedinej rovnici (pre uzol A), postačí
vyriešiť len sústavu zvyšných dvoch
 1
 1 
 1
1 
rovníc (pre uzly B a C) pre dve neznáme
B: UB0      UC0      I 6  U5   
uzlové napätia (UB0 a UC0). Ostatné
 Z1 Z 2 
 Z2 
 Z1 
neznáme veličiny sa totiž dajú vypočítať
 1
 1 
 1 
1
1 
pomocou nich.
  U5  


C: UB0      UC0   
Z
Z
Z
Z
Z

 4
2
3
4
 2
9-17
IZ4
Nepriame riešenie pomocou fázorov – numerické riešenie
A
IZ4
Z4
IZ1
Iu5
U5
B IZ2
Z1
UB0
Z2
UA0
UI6
UC0
I6
Z3
IZ3
9. Symbolické
výrazy
pre
jednotlivé
impedancie a fázory napätí zdrojov
C
nahradíme číselnými hodnotami.
10. Vyriešením sústavy posledných dvoch
rovníc
získame
číselné
hodnoty
efektívnych fázorov uzlových napätí UB0 a
UC0, ktoré dosadíme do prvej rovnice.
Takto určíme aj prúd Iu5.
0
Sústava upravených rovníc s dosadenými
číselnými hodnotami v maticovom tvare:
A:
B:
C:
  1 0,0707  e j2,356 0,0400  e j2,214   Iu5  0,7810  e j3,090 

 

 
 0 0,0618  e j0,048 0,0485  e j1,816   UB0    1,3803  e j0,728 




 0 0,0485  e j1,816 0,0870  e j0,174  UC0 0,2828  e j0,142 




Číselné výsledky riešenia sústavy:
UB0  15,9733  e  j 0,382
UC0  10,8025  e j0,501
Iu5  1,1791 e j1,619
9-18
Určenie časových priebehov z vypočítaných fázorov
Efektívne fázory hľadaných obvodových veličín:
U  UB0
IZ1  A0
 1,0405  e j1,516
Z1
IZ2 
UB0  UC0
 0,5994  e j0,202
Z2
IZ3 
UC0
 0,5401 e j0,501
Z3
IZ4 
UA0  UC0
 0,1792  e j2,255
Z4
Iu5  1,1791 e j1,619
UI6  UB0  15,9733  e j0,382
11. Pomocou už známych hodnôt uzlových
napätí vypočítame efektívne fázory prúdov
tečúcich cez jednotlivé impedancie.
12. Časové priebehy neznámych obvodových
veličín
určíme
ako
reálne
zložky
maximálnych rotujúcich fázorov (efektívne
fázory vynásobíme 2 a výrazom e jt ).
Poznámka:
Veľkosti efektívnych fázorov je možné
odmerať priamo pomocou striedavého
ampérmetra resp. voltmetra. To je
dôvod, prečo sa pri výpočtoch používajú
efektívne fázory.
Časové priebehy hľadaných obvodových veličín:
i1t   1,0405  2  cos100  t  1,516
i2t   0,5994  2  cos100  t  0,202
i3t   0,5401 2  cos100  t  0,501
  100 rad/s
i4t   0,1792  2  cos100  t  2,255
iu5t   1,1791 2  cos100  t  1,619
ui6t   15,9733  2  cos100  t  0,382
9-19
9.9.3. Skúška správnosti riešenia
Najspoľahlivejšia skúška správnosti riešenia je výkonová bilancia elektrického obvodu.
Poznámka:
Výkonová bilancia spočíva v určení komplexných výkonov všetkých aktívnych (zdrojov) aj
Treba si uvedomiť, že I. (ako aj II.) Kirchhoffov
pasívnych zákon
prvkov (spotrebičov
- impedancií).
platí pre vektorový
súčet fázorov v
komplexnej
rovine,
ale nie
pre veľkosti
týchto
Ak sú obvodové
veličiny
vypočítané
správne,
súčet komplexných
výkonov musí byť nulový.
fázorov!!! Súčet veľkostí fázorov je:
Iu5  IZ1 jeIZ 4náročná
 1,1791na
 1,0405
 0,1792  0,0406  0
Výkonová bilancia
numerické
výpočty, preto sa obyčajne robí zjednodušená
skúška správnosti, ktorou sa overuje platnosť
základných rovníc.
Skúsme napr. overiť platnosť I. Kirchhoffovho
zákona pre uzol A:
A:  Iu5  IZ1  IZ 4  0
Všetkysúčet
fázory s meniacim
Z obrázku je zrejmé, že vektorový
sa
časom
rotujú
v
fázorov v komplexnej rovine je nulový,
čím
je
platnosť
rovnice
overená. komplexnej
Podobným rovine proti
hodinových ručičiek
spôsobom možno overiť platnosťsmeru
ostatných
s uhlovou rýchlosťou , ale
rovníc pre fázory prúdov, ako aj napätí.
ich
vzájomná
poloha
Dá sa ukázať, že súčet prúdov vystupujúcich
v
zostáva nezmenená!
rovnici pre uzol A bude nulový v ľubovoľnom
časovom okamihu, teda rovnosť je splnená aj
pre rotujúce fázory ako aj ich priemety do
reálnej osi – časové priebehy.
Im{I}
Iu5
IZ4 0
IZ1
IZ4
Re{I}
IZ1
-Iu5
9-20
Skúška správnosti riešenia – súčet časových priebehov
Aplikáciou I. Kirchoffovho zákona na uzol A pre časové priebehy sme dostali rovnicu:
A:  iu5 t   i1t   i 4 t   0
Na obrázku sú znázornené výpočtom zistené časové priebehy prúdov v tejto rovnici:
Z obrázku je zrejmé, že v
ľubovoľnom čase je súčet
vyznačených
harmonických
časových priebehov skutočne
nulový.
iu5t   1,1791 2  cos100  t  1,619
i1t   1,0405  2  cos100  t  1,516
i4t   0,1792  2  cos100  t  2,255
iu5(t)
-iu5(t)
i1(t)
i4(t)
0
-iu5(t) + i1(t) + i4(t) = 0
t
9-21
9.10. Riešenie obvodov so vzájomnými indukčnosťami
Ako už bolo spomenuté v predchádzajúcich častiach, štvorpól s riadenými zdrojmi
Znamienka v rovniciach sú určené
reprezentujúci prvok so vzájomnou indukčnosťou
možno veličín
opísať (prúdov)
pomocou sústavy dvoch
smerom riadiacich
vzhľadom
na začiatok
vinutí; uvedené
rovníc v tvare, ktoré platia pre ľubovoľné
časové priebehy
obvodových
veličín:
rovnice platia v prípade, že sa
i1(t) M i2(t)prúdmi
magnetické toky vyvolané
di1t 
di2 t 
u1t   L1 
M 
tečúcimi
cez
jednotlivé
vinutia
dt
dt
spočítavajú.
u1(t) L1
L2 u2(t)
di1t 
di2 t 
u2 t   M 
 L2 
dt
dt
Riešenie elektrických obvodov so vzájomnými indukčnosťami má niektoré špecifiká
vyplývajúce z použitia náhradných modelov reálneho obvodového prvku (transformátora).
Poznámka:
Univerzálnou náhradou je štvorpól obsahujúci zdroje napätia riadené prúdmi, v niektorých
Ďalší postup pri riešení takýchto
prípadoch sa dá použiť náhrada pomocou tzv. T-článku (pozri predchádzajúce časti).
obvodov je štandardný (pozri metódu
tetivových resp. slučkových prúdov).
V prípade náhrady pomocou štvorpólu s riadenými zdrojmi je najjednoduchšie použiť metódu
tetivových (slučkových) prúdov, pretože vtedy možno riadiace veličiny zdrojov napätia (prúdy)
priamo stotožniť s neznámymi (a známymi) tetivovými, resp. slučkovými prúdmi.
Ak sa obvod nachádza v harmonickom ustálenom stave, rovnice možno prepísať pomocou
Využili sme skutočnosť, že derivácii
fázorov, ktoré priradíme jednotlivým obvodovým
rotujúcehoveličinám,
fázorado tvaru
podľa
času
zodpovedá vynásobenie pôvodného
U1  j  L1  I1  j  M  I2
(nezderivovaného) fázora výrazom j.
U2  j  M  I1  j  L1  I2
9-22
9.10.1. Obvody so vzájomnými indukčnosťami – príklad
V nasledujúcom príklade ukážeme postup pri formulovaní sústavy rovníc potrebných pre
vyriešenie elektrického obvodu so vzájomnými indukčnosťami v harmonickom ustálenom stave
metódou slučkových prúdov.
Príklad:
V obvode s harmonickými veličinami na obrázku je dané:
i2(t)
i1(t)
R1  25 


u1t   8  cos 200t  
M
4

R1
L1  0,15 H
u1(t)
L1
L2
C2
L2  0,2 H
  200 rad/s
M  0,10 H
C2  1000 F
Smery
napätí
riadených
Úloha:
zdrojov sú určené zvolenými
Vypočítajte časové priebehy všetkých neznámych
smermi prúdov!
fázorov
prúdov
I2
I1
pri riešení:
vzhľadom Postup
na začiatok
vinutí.
1. Úseky so skutočnými pasívnymi prvkami
Z1
nahradíme príslušnými impedanciami,
transformátor nahradíme štvorpólovým
Z2
U1
jMI2
prvkom s riadenými zdrojmi a zdroje
jMI1
nahradíme fázormi.
2. Dostávame
zjednodušený
obvod
znázornený na obrázku.
Z1  R1  j  L1
3. V obvode vyznačíme zvolené smery
1
fázorov neznámych obvodových veličín.
Z 2  j  L2 
j  C 2
9-23
Fomulácia rovníc a numerické riešenie
I1
I2
Z1
U1 S1 jMI2
S2
Z2
jMI1
S1:  U1  R1  j  L1  I1  j  M  I2  0
S2:  j  M  I1   j  L2 

1 
  I2  0
j  C2 
Sústava upravených rovníc v maticovom tvare:
R1  j  L1

  j  M 


 j  M

  I  U 

1    1   1
 j  L2 
 I
 2  0 
j


C

2 
4. V obvode vyznačíme potrebný počet
uzavretých slučiek.
5. Pomocou
II.
Kirchhoffovho
zákona
napíšeme pre každú slučku príslušnú
rovnicu.
6. Získané rovnice upravíme do vhodného
tvaru tak, aby na ľavých stranách rovníc
zostali iba členy s neznámymi veličinami.
7. Symbolické
výrazy
pre
jednotlivé
impedancie a fázory napätí zdrojov
nahradíme číselnými hodnotami.
8. Vyriešením sústavy dvoch rovníc získame
číselné hodnoty efektívnych fázorov
(slučkových) prúdov I1 a I2.
9. Časové priebehy neznámych prúdov i1(t) a
i2(t) určíme ako reálne zložky maximálnych
rotujúcich fázorov.
Číselné výsledky riešenia sústavy:
I1  0,1816  e j1,424
I2  0,1038  e j1,424
Časové priebehy hľadaných prúdov:
i1t   0,1816  2  cos200  t  1,424
i1t   0,1038  2  cos200  t  1,424
9-24
9.11. Záver
Z predchádzajúcich príkladov je zrejmé, že použitie komplexných vektorov (fázorov) prináša
značné zjednodušenie riešenia elektrických obvodov v harmonickom ustálenom stave.
Výhodou takéhoto prístupu je skutočnosť, že sa dajú použiť tie isté postupy a metódy, ako pri
riešení obvodov v stacionárnom ustálenom stave.
Jedinou komplikáciou je to, že namiesto reálnych konštánt pracujeme pri výpočtoch s
komplexnými konštantami (namiesto rezistorov sa v obvode vyskytujú impedancie, namiesto
napätí a prúdov ideálnych zdrojov resp. známych aj neznámych obvodových veličín používame
fázory).
Z uvedeného vyplýva, že nutnou podmienkou úspešného zvládnutia tejto kapitoly predmetu
Elektrické obvody je dokonalé ovládanie komplexného počtu.
Preto je nevyhnutné zopakovať si základné matematické úkony s komplexnými číslami (súčet,
rozdiel, súčin, podiel, umocňovanie a odmocňovanie).
9-25
Príloha
Stredná hodnota periodickej veličiny je definovaná ako výška
obdĺžnika nad periódou T, ktorého plocha je rovnaká ako plocha
pod krivkou určenou daným časovým priebehom:
I
a
1T
Ia   i t dt
T0
0
t
T
Poznámka:
Časť plochy
v časovom
intervale,
kedy periodická
Stacionárny (jednosmerný)
prúd
I=Ia prenesie
za časový
interval o
veličina nadobúda záporné hodnoty sa uvažuje so
dĺžke periódy Tzáporným
rovnaké znamienkom.
množstvo elektrického náboja ako
Preto je stredná hodnota harmonickej funkcie
periodický prúd i(t).
nulová (kladná a záporná polvlna sa odčítajú).
=
Efektívna hodnota periodickej veličiny je definovaná ako druhá
odmocnina
zo
strednej hodnoty druhej mocniny priebehu
V prípade harmonického časového priebehu prúdu
periodickej veličiny:
(alebo napätia) v tvare
i t   I  cos  t   
m
I  Ief 
T
1 2
i t dt
T 0
i
dostávame pre efektívnu hodnotu prúdu (napätia)
výsledok
1T 2
1T
Im   2 
2
Im stacionárny
 dt 

i t dt ako
 taký
 cos  t  i prúd
V prípade prúdu ju možnoIefinterpretovať
T
T 0
T 0
2
I=Ief, ktorý na danom rezistore R v časovom intervale o dĺžke
periódy T vyvinie rovnaké množstvo tepla, ako periodický prúd i(t).
9-26