Transcript Komplexné čísla

Komplexné
čísla
MATEMATIKA
Úvod
Matematika nepopierateľne patrí medzi
najvýznamnejšie
pomocné vedné disciplíny všetkých oblastí techniky.
Mnohé
objavy matematiky nielen napomáhali vývoju
technických vied,
ale mnohokrát zmenili aj ich smerovanie a charakter.
V ďalších riadkoch by sme chceli hovoriť o jednom z
objavov
– výsledkov, ktoré dnes používame pri každodenných
výpočtoch a málokedy si uvedomujeme aká tŕnistá
História komplexných
čísel
Komplexné čísla, presnejšie história ich vzniku, sú
aj ukážkou schopností ľudského ducha. Objav
komplexných čísel je o to pozoruhodnejší, že
komplexné čísla sa vymykajú z bežného chápania
pojmu čísla, pretože, ľudovo povedané, sa nimi nič
nemeria. Nepatrí objav komplexných čísel, história
ich vzniku tak isto do pokladnice svetovej kultúry
ako dielo Bombelliho súčasníka Michelangela
Buonarottiho? Takže, preto treba žiakom niečo
povedať o komplexných číslach. Existuje jeden
didaktický problém. Patrí poučenie o komplexných
číslach do tej časti stredoškolskej matematiky,
ktorú majú poznať všetci žiaci ? V reálnom živote
ich budú potrebovať len profesionálni matematici
(vrátane niektorých učiteľov matematiky)
a špičkoví výskumní pracovníci.
Bombelli
Komplexné čísla a ich
zápis
Komplexné čísla sú zovšeobecnením pojmu reálne čísla.
V obore
reálnych čísel nemajú všetky polynomiálne rovnice
riešenie. Ak sa
číslo i definuje ako riešenie rovnice
, potom všetky
polynomiálne (algebrické) rovnice riešenie mať budú.
Algebraický tvar komplexného čísla
Označme komplexné číslo (0,1) písmenom i. Toto
komplexné číslo
sa nazýva aj imaginárna jednotka.
Goniometrický tvar
komplexného čísla
„Číselná os má rozmedzie od mínus nekonečna –∞ až
po plus nekonečno +∞. Keď si túto os predstavíme ako
priamku, ktorá leží v rovine, logicky sa spýtame, či aj v
iných bodoch roviny okrem bodov tejto priamky môžeme
nájsť nejaké čísla. Ukazuje sa, že áno. Aj v iných
miestach roviny sa nachádzajú čísla. Tieto čísla
nazývame imaginárne čísla. Dokopy so všetkými
reálnymi číslami tvoria množinu všetkých komplexných
čísel. Definoval ich nemecký matematik Gauss a podľa
neho sa aj táto rovina čísel pomenovala Gaussova
rovina. Túto rovinu rozdeľujú dve osi - už spomínaná
číselná os, ktorú budeme pokladať za os x (reálna os) a
na ňu kolmá os y (imaginárna os). Obe tieto osi sa
pretínajú v bode [0;0].„
Uhol ϕ tiež nazývame amplitúda komplexného čísla ako
orientovaný uhol v oblúkovej miere.
Komplexné čísla sú v podstate ako vektory. Sčítavame ich
rovnako ako vektory v priestore akurát súčin
a podiel sú trochu odlišné, kde dochádza aj k práci s amplitúdami
čísel.
Goniometrický tvar
komplexného čísla
Zrejme z obrázka (na str.5) platí:
Použitie komplexných
čísiel
Využívajú vo fyzike, elektronike alebo v 3D grafike. Vo fyzike sa využívajú tam,
kde
sa pracuje s vlnami, napr. elektromagnetické polia (Maxwellove rovnice),
vlnové funkcie
elektrónov, v aerodynamike alebo hydrodynamike. Keď sa napr. v
elektrotechnike
pracuje so striedavými prúdmi a v obvode sú okrem odporov aj kondenzátory
alebo
cievky. Vtedy sa pri využití komplexných čísel počíta tak, akoby boli v obvode
len
odpory, čo výpočet zjednodušuje. Keby sa ten istý obvod počítal bez
komplexných
čísel, celý postup by sa skomplikoval. V 3D grafike sa komplexné čísla
používajú, keď
sa počítajú aj lomy svetla na rozhraní priesvitných materiálov alebo na tenkých
vrstvách (olej na vode). Takto sa vytvárajú aj bez cádiozity vysoko reálne
obrázky.
Komplexné čísla
v elektrotechnike
V elektrotechnike sa často používa viacero foriem zápisu. Najmä striedavé
(harmonické)
veličiny sa niekedy lepšie chápu prostredníctvom komplexných čísiel.
Komplexné číslo
je číslo zložené z dvoch reálnych čísiel a a b v tvare:
alebo v tvare:
kde:
- je komplexné číslo
a - je reálna zložka (časť) komplexného čísla;
b - je imaginárna zložka (časť) komplexného čísla;
j - imaginárna jednotka
- veľkosť komplexného čísla
- uhol zvieraný s reálnou osou (x)
Pre imaginárnu jednotku platí:
V matematike sa imaginárna jednotka často značí symbolom i, ale tento
symbol sa v
elektrotechnike používa pre označenie striedavého prúdu, z daného dôvodu sa
pre
imaginárnu jednotku zaviedlo označenie j.
S komplexnými číslami je možné vykonávať také isté operácie ako s reálnymi
číslami,
t.j. sčítavanie, odčítavanie, násobenie, delenie, umocňovanie, alebo
odmocňovanie.
Všetky tieto operácie sú analogické operáciám s reálnymi číslami.
 PRÍKLAD 
Metóda slučkových prúdov (riešenie v komplexnom tvare)
Zadanie: Vypočítajte skutočné vetvové prúdy v schéme, ak je dané:
Postup:
Zvolíme smery prúdov v jednotlivých vetvách, pričom ak je viac
zdrojov,
polaritu prúdov môžeme zvoliť ľubovoľne. Zakreslíme smer napätia na
zdrojoch.
L1
R1
L2
R3
C1
Vypočítame reaktancie a impedancie
<
~
+
I3
<
-
U1
R2
-
~
IA
+
I1
U2
IB
I2
Zostavíme rovnice pre obidve slučky.
Riešime rovnice
vyriešime prúdy IA, IB dosadzovanou metódou
vyjadrený prúd IB dosadíme
do prvej rovnice:
dosadíme do rovnice pre prúd IB
Z vypočítaných slučkových prúdov určíme jednotlivé vetvové
prúdy, pričom
Berieme do úvahy aj vzájomné smery slučiek a prúdov.
Výpočet overíme skúškou správnosti a použijeme II. Kirchhoffov
zákon pre
obidve slučky. Zakreslíme skutočné smery prúdov.

Ďakujem za pozornosť 
SPŠ Elektrotechnická, Košice
Michael Pajzinka 4.C