Transcript ALGEBRA 1

ALGEBRA 1
KOMPLEXNÉ ČÍSLA
Goniometrický tvar komplexného
čísla a Moivrova veta
• Geometrické znázorňovanie komplexných čísel
-Gaussova rovina
-znázornenie čísla z=a+bi
-polárne súradnice bodu v rovine (r,φ)
-absolútna hodnota komplexného čísla z=a+bi
r=|z|= a 2  b 2
-amplitúda komplexného čísla z=a+bi, uhol φ
b
b
sin   
r
a2  b2
cos 
a
a

r
a2  b2
Goniometrický tvar komplexného
čísla a Moivrova veta
VETA 1. Každé komplexné číslo z≠0 sa dá písať práve
jedným spôsobom písať v tvare
z=r(cosφ+isinφ), kde r>0, 0≤φ≤2π;
kde r je absolútna hodnota čísla a φ amplitúda.
Príklad 1. Vyjadrite číslo 1+i
Poznámka. Ako je to pre z=0?
3
v goniometrickom tvare.
Goniometrický tvar komplexného
čísla a Moivrova veta
Násobenie komplexných čísel v
goniometrickom tvare
VETA 2. Nech sú dané dve komplexné čísla
z1 =r1 (cosφ1 +isinφ1 ), z2 =r2 (cosφ2
+isinφ2), potom pre ich súčin platí
z1z2=r1r2(cos(φ1+ φ2) +isin(φ1+ φ2),
Goniometrický tvar komplexného
čísla a Moivrova veta
Umocňovanie komplexných čísel v
goniometrickom tvare – Moivrova veta.
VETA 3. Nech z=r(cosφ+isinφ) a nech n je
celé kladné číslo. Potom platí:
zn =rn(cos(nφ)+isin(nφ)).
Príklad 2. Vypočítajte (1+i)10.
Príklad 3. Vypočítajte z-1 a z-n.
Goniometrický tvar komplexného
čísla a Moivrova veta
• Delenie komplexných čísel v
goniometrickom tvare
VETA 4. Nech sú dané dve komplexné čísla
z1 =r1 (cosφ1 +isinφ1 ), z2 =r2 (cosφ2
+isinφ2), kde z2≠0, potom pre ich podiel
platí z1 /z2=r1 /r2(cos(φ1 - φ2) +isin(φ1φ2).
Goniometrický tvar komplexného
čísla a Moivrova veta
• Odmocňovanie komplexných čísel v
goniometrickom tvare
• Definícia 1. Nech z je komplexné číslo a n
je celé kladné číslo. Potom n-tou
odmocninou z čísla z budeme nazývať
každé komplexné číslo ρ, pre ktoré platí:
ρn=z.
Goniometrický tvar komplexného
čísla a Moivrova veta
• Odmocňovanie komplexných čísel v goniometrickom
tvare
• VETA 5. Každé komplexné číslo z=r(cosφ+isinφ)≠0 má
práve n rôznych n-tých odmocnín. Je to týchto n
čísel:
n
r (cos
  2k
n
• Poznámka:Znak n
 i sin
z
  2k
n
), k  0,1,...,n  1.
bude znamenať
ktorúkoľvek n-tú odmocninu.
Goniometrický tvar komplexného
čísla a Moivrova veta
• Príklad 4. Nájdite všetky hodnoty symbolu
3
1
2

1
2
i