Transcript Mocniny PTT zhrnutie.

MOCNINY
Operácie s
mocninami
MOCNINY
m
a
Exponent
(mocniteľ)
základ
a2 = a . a
72 = 7 . 7 = 49
44 = 4 . 4 . 4 . 4 = 256
Operácie s mocninami
sčítavanie a odčítavanie
mocnín,
súčin mocnín,
podiel mocnín,
umocňovanie mocnín,
záver.
Sčitovanie mocnín
2x3 + 6x4 + 7x3 + 5x4 =
= 9x3 + 11x4
-5y5
+
8z3
+
9y5
+
4z3
5 + 12z3
4y
=
0,8a3 - 1/2b8 + 1,3a3 - 3/4b8 =
= 2,1a3 - 5/4b8
Odčitovanie mocnín
4x2 - 5x6 + (-5x2) - 9x6 = -1x2 - 14x6
8x3 - 7x9 - (3x3 - 6x9) =
8x3 - 7x9 - 3x3 + 6x9 = 5x3 - 1x9
-5a + 9b5 - (-8a + 3b5) =
-5a + 9b5 + 8a - 3b5 = 3a + 6b5
Sčitovanie a odčitovanie mocnín
Sčitovať a odčitovať môžeme
tie mocniny, ktoré
majú ten istý základ (x) a
toho istého exponenta (3).
3
2x
+
3
7x
=
3
(2+7)x
=
3
9x
Sčitovanie a odčitovanie mocnín
PRIKLADY
a) 3a2 - 2a + 4a2 + a =
b) 3k2 + (-2k3) - k2 - (+5k3) =
c) 6x2 - 2y2 - 3x2 + 2x3 + 5y2 - 7x3 =
d) (2,7x2+5,3x-4,9) - (3,1x2+4,7x+3,2) =
e) (-4z2) + (-2z) + (-z2) - (-3z) - (+5z2) =
f) 7y3 - (-6y) - (+2y2) - (+y) + y2 - 6y3 =
g) 8a2 - (+4b2) + (-5a2) - 1 + 2b2 - 3a2 + 2 =
Sčitovanie a odčitovanie mocnín
VÝSLEDKY
a) 7a2 - a
b) 2k2 - 7k3
c) 3x2 - 5x3 + 0y2 =
3x2 - 5x3
d) -0,4x2 + 0,6x - 8,1
e) z - 10z2
f) y3 - y2 + 5y
g) 1 - 2b2
Súčin mocnín
3
2
.
5
2
=2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 =
=
2
a
.
4
a
3
+
5
2
=
8
2
=a.a.a.a.a.a=
=
2
+
4
a
=
6
a
4x5 . 3x3 . (-2x4) =
= -24x5+3+4 = -24x12
Súčin mocnín
5x5 . 8x3 = 40x5+3 = 40x8
-0,2x7 . 4x5 = -0,8x7+5 = -0,8x12
1/2x9 . 2/5x = 1/5x9+1 = 1/5x10
3a2b3c . 8ab8c2 =24a2 + 1b3 + 8c1 + 2 =
= 24a3b11c3
Súčin mocnín
Mocniny s rovnakým základom
násobíme tak, že základ
umocníme súčtom exponentov.
m
a
.
n
a
m, n  N
=
m
+
n
a
Súčin mocnín
PRÍKLADY
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3a2b . 4ab3 =
5m4n2 . (-2m2n3) =
-5b . (-2b)3 =
k . 2k2 . 3k3 =
5ax3 . (-x) . (-a)2 =
(-2) 2 . (-2)3 =
(3x - 2) . (3x - 2)2 =
Súčin mocnín
VYSLEDKY
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
= 12a3b4
= -10m6n5
= +40b4
= 6k5
= 5a3x4
= (-2)5 = -32
= (3x - 2)3
Podiel mocnín
24 : 22 =24/22= 2 . 2 . 2 . 2 / 2 . 2 =
=
3
2
/
5
2
4
2
2
=
2
2
=2.2.2/2.2.2.2.2=
=
3
5
2
=
-2
2
a4 / a4 =a . a . a .a / a . a . a . a =
=
4
4
a
=
0
a
24x5 / 3x3 = 8x5-3 = 8x2
=1
Podiel mocnín
15x5
:
5x3
= 3x5-3
= 5x2
-1,2x7 : 4x7 = -0,7x7-7 = -0,7x0 = -0,7
1/2x3
:
2/5x5
= 5/4x3-5
= 5/4x-2
45x8y5z2 : 9x6y5z4 =(45:9)x8-6y5-5z2-4 =
= 5x2y0z-2 = 5x2z-2
Podiel mocnín
Mocniny s rovnakým
základom delíme tak,
že základ umocníme
rozdielom exponentov.
m
a
:
n
a
=
m
n
a
Delenie mocnín
m
a
ak:
:
n
a
=
m
n
a
=
mocniteľ delenca je väčší ako exponent deliteľa
m>n
x
a
m=n
m<n
0
a
x - kladný ex.
mocniteľ delenca sa rovná exponent deliteľa
=1
mocniteľ delenca je menší ako exponent deliteľa
-x
a
=1/x
Podiel mocnín
PRÍKLADY
a) 3a5b2 : 0,2a3b =
b) 5x2y3 : (-10x2y4) =
c)
18z6 : (-9z4) =
d) (-4a2b3c4) : 2a2b2c =
e)
24xy2 : (-8x2y2) =
f)
1015 : 106 =
g)
(3a - 1)3 : (3a - 1) =
Podiel mocnín
VYSLEDKY
a)
= 5a2b
b)
= -0,5y-1
c)
= -2z2
d)
= -2bc3
e)
= -3x-1
f)
= (10)9 = 1000 000 000
g)
= (3a - 1)2
Mocnina súčinu a podielu
(a . b)4 = ab . ab . ab . ab = a.a.a.a . b.b.b.b =
= a4 . b4
(2xy)3 = 23x3y3 = 8x3y3
(-2 . 4)3 = (-8) 3 = 512
alebo
= (-2)3 . (4)3 = 8 . 64 = 512
(-2y3z5)4 =(-2)4y3.4 z5.4 = 16y12z20
Mocnina súčinu a podielu
Súčin umocníme tak,
že umocníme každého
činiteľa.
(a .
n
b)
=
n
a .
n
b
Mocnina súčinu a podielu
(2/3)2 = (2 . 2) / (3 . 3) = 22/32 =
= 4/9
(a/b)4 = (a . a . a .a) / (b . b. b . b) =
= a4/b4
2
2
2
2
 2a  2a 2a 2 .a 4a
   .  2 2 2
9b
 3b  3b 3b 3 .b
Mocnina súčinu a podielu
Zlomok umocníme tak,
že umocníme činiteľa i
menovateľa zlomku.
(a /
n
b)
=
n
a /
n
b
Umocňovanie mocnín
2
3
(2 )
3
4
(a )
=
2
2
=
2
.
3
2
=
a3
=
(-4x5y3)2
.
.
2
2
a3
3
.
4
a
.
=
.
2
2
6
2
a3
=
2+2+2 =
2
=
.
a3
=
3+3+3+3
a
12
a
2
5.2
3.2
(-4)
x
y
=
=
= +16x10y6
=
Umocnenie mocnín
(5x5)3 = 53x5 . 3 = 125x15
(-0,2x7)2 = (-0,2)2x7 . 2 = +0,4x14
(1/2x9)4 = 1/16x9 . 4 = 1/16x36
(3x4y2)3 = 33x4 . 3y2.3 = 27x12y6
Umocňovanie mocnín
Mocninu umocníme tak,
že základy mocniny
umocníme súčinom
exponentov.
m
n
(a )
=
m
.
n
a
Umocňovanie mocnín
PRÍKLADY
a) (4 . 5)2 =
b) (-2a2/3)3 =
c)
(-a2bc4)3 =
d) (-8x2y3z5)2 =
e)
(a2 . 1/2c4)3 =
f)
(5 . 2 . 3)2 =
g)
[(0,5a2)2 . (2a4b3)2]2 =
Umocňovanie mocnín
VYSLEDKY
a)
= (20)2 = 400 alebo = 42. 52 = 16.25 = 400
b) = -23a2.3/33 = -8a6/27
c)
= -a2.3b1.3c4.3 = -a6b3c12
d) = -82x2.2y3.2z5.2 = +64x4y6z10
e)
= a2.3 . 13/23c4.3 = a6 . 1/8c12
f)
= (30)2 = 900 alebo 52 . 22 . 32 = 25.4.9 = 900
g)
= [0,25a4.4a8b6]2 = [1a12b6]2 = 1a24b12
ZÁVER
• sčitujeme a odčitujeme LEN mocniny s
ROVNAKÝM základom a mocniteľom
2x2 + 3x2 = (2 + 3)x2 = 5x2
m
• násobenie: a
.
m
• delenie: a
n
a
:
n
a
• umocnenie: (am)n
• a0 = 1; a1 = a
• a-m = 1/am
=
=
m
+
n
a
m
n
a
= am . n
KONIEC
Ak chceš, môžeš mi napísať na email.
Napíš mi:
 či sa ti to páčilo,
 či si to pochopil,
 čo by si zmenil.
[email protected]