Transcript Lineárne funkcie, rovnice a nerovnice

Lineárne funkcie, rovnice a
nerovnice
Lineárna funkcia je každá funkcia definovaná na
množine R, ktorá je daná v tvare:
y = ax + b, kde a, b  R (a, b  0)
- ak a = 0, y = b je to konštantná funkcia
- ak b = 0, y = ax je to priama úmernosť
Definičný obor D(f) je množina všetkých x  R,
pre ktoré je rovnica (nerovnica) definovaná.
Označujeme ho D.
Obor hodnôt H(f) (obor pravdivosti) je množina
všetkých x  D, pre ktoré sa rovnica (nerovnica)
stáva pravdivým výrokom.
Koreňom rovnice nazývame také číslo x0, pri
ktorom po dosadení tohto čísla do rovnice
namiesto neznámej x dostávame pravdivý výrok.
Dve rovnice nazývame ekvivalentnými práve vtedy, keď sa
ich obory hodnôt rovnajú.
Ekvivalentné úpravy sú:
pripočítanie rovnakého čísla k obom stranám rovnice
vynásobenie obidvoch strán rovnice rovnakým
nenulovým číslom
výmena strán rovnice
Dôsledková (= neekvivalentná) úprava ROVNÍC je:
odmocňovanie
umocňovanie
vynásobenie oboch strán rovnakým výrazom
Dôsledková úprava NEROVNÍC je:
vynásobenie oboch strán rovnakým výrazom
umocňovanie, pričom sa mení znamienko nerovnosti na
opačné
odmocňovanie
Monotónnosť funkcií
a=0
f: y = b
a0
b=0
f: y = ax
a0
b0
f: y = ax + b
a0
b=0
f: y = ax
a0
b0
f: y = ax + b
D(f): R
H(f): b
-konštantná
-nie je prostá
-max, min = b
-je ohraničená
D(f): R
H(f): R
- rastúca
- prostá
- max, min –
nemá
- nie je
ohraničená
- nepárna
D(f): R
H(f): R
- rastúca
- prostá
D(f): R
H(f): R
- klesajúca
- prostá
- nepárna
D(f): R
H(f): R
- klesajúca
- prostá
Sústavy rovníc s dvomi neznámymi
Lineárna rovnica s dvoma neznámymi x, y je každá rovnica, ktorá má tvar
ax + by = c, pričom a, b, c  R a, b  0. Vyriešiť LR s dvoma premennými
znamená nájsť v danom číselnom obore všetky usporiadané dvojice, pre
ktoré po dosadení do danej rovnice dostaneme pravdivý výrok.
Sústava LR s dvoma neznámymi je dvojica rovníc, ktoré majú byť splnené
súčasne (konjunkcia LR). Koreňom rovnice je taká dvojica x, y, ktorá patrí
do oborov hodnôt oboch rovníc sústavy.
Metódy riešenia:
GRAFICKÁ – znázorníme karteziánske grafy oboch rovníc, dostaneme 2
priamky:
– ak sú priamky rovnobežné  sústava nemá riešenie
– ak sú priamky rôznobežné  sústava má jedno riešenie
– ak priamky splývajú  sústava má nekonečne veľa riešení
SČÍTACIA – rovnice sústavy násobíme voľnými číslami tak, aby sa po sčítaní
rovníc jedna neznáma vylúčila
DOSADZOVACIA – jednu neznámu vyjadríme z prvej rovnice a dosadíme do
druhej, čím sa táto neznáma v rovnici vylúči.
Lineárne rovnice s tromi
neznámymi
Sústava LR s tromi neznámymi je konjunkcia LR
s 3 neznámymi. Riešením je taká trojica čísel,
ktorá je riešením každej rovnice sústavy.
Metódy riešenia:
• sčítacia, dosadzovacia
• maticou
• pomocou determinantu
Lineárne nerovnice
Lineárne nerovnice definujeme obdobne ako
lineárne rovnice. Riešime ich ako lineárne
rovnice s tým rozdielom, že pri násobení
nerovnice záporným číslom sa nám nerovnosť
zmení na opačnú. Má tvar: ax + b  0 ( ; ;  )
Sústava dvoch (alebo viacerých) lineárnych
nerovníc s jednou neznámou riešime tak, že
určíme obor hodnôt každej z nich. Obor hodnôt
sústavy nerovníc je prienik oborov hodnôt
všetkých nerovníc sústavy.
LR s parametrom
Okrem rovníc, ktoré obsahujú neznáme, môžu
rovnice aj nerovnice obsahovať aj ďalšie
premenné, ktoré nazývame parametre a takto
získané rovnice (nerovnice) parametrické
rovnice (nerovnice).
Ide o rovnice (nerovnice), ktoré predstavujú
zápis všetkých rovníc (nerovníc), ktoré
dostaneme dosadením čísel z daného oboru za
premenné (oboru parametra).
RIEŠENIE
LR s absolútnymi hodnotami
LR s abs. hodnotou nazývame každú rovnicu (s
neznámou x  R) tvaru:
|a1x + b1| + |a2x + b2| + ... + |anx + bn| = |a0x +
b0|,
kde a,b sú dané reálne čísla.
Existuje niekoľko metód pre riešenie takéhoto typu
rovníc :
• Metóda nulových bodov (metóda intervalov)
• Grafická metóda
• Geometrická metóda