Transcript NDR2

Numerické metódy
riešenia diferenciálnych
rovníc
Matematicko-počítačové
modelovanie
4. semester
2. prednáška
ODR s viacrozmerným
fázovým priestorom
Zaoberáme sa lineárnymi diferenciálnymi
rovnicami typu:
x´=Ax,
kde A je matica rozmeru nxn.
Takýto systém rovníc voláme
Lineárny systém ODR s konštantnými
koeficientami
Analógia s prípadom n=1

Mocniny matice



Nech je daná matica A rozmeru nxn.
A2 = A.A
Ak = A.Ak-1
e
A
IA
A
2
2


A
3
 ... 
A
3!
k
 ...
k!
Potom
2 2
e
At
 I  At 
A t
2
3 3

A t
3!
k k
 ... 
A t
k!
 ...
Základná veta
Nech A je matica rozmeru nxn. Riešením
ODR
x´=Ax
s počiatočnou podmienkou
x(0)=x0
je vektorová funkcia
A t krivka v n- rozmernom
x ( t )  x 0 e priestore

Riešenie lin. systému ODR




Prípad, pre navzájom rôzne nenulové
reálne vlastné čísla
Nájdeme vlastné čísla  k , k  1, 2 ,... n
matice A
Nájdeme vlastné vektory
v k , k  1, 2 ,... n
matice A.
vyjadríme počiatočnú podmienku v tvare
n
x0 
c
k 1
k
vk
Riešenie lin. systému ODR

Riešenie problému x´=Ax, x(0)=x0 je potom
vektorová funkcia
n
x(t) 
c
k
e
kt
vk
k 1

V ostatných prípadoch je situácia trošku
zložitejšia
Príklad

Riešme homogénny lineárny systém
diferenciálnych rovníc x´=Ax s maticou
  0 .1
A  
 1



 0 .1 
1
a začiatočnou podmienkou
x1 (0)  1
x 2 (0)  0
Príklad - riešenie

Riešením je vektor:
x1(t)  e
 0 .1 t
x 2 (t)  e
cos t
 0 .1 t
sin t
Grafy zložiek vektora riešení
1
1
0.5
0.5
5
5
10
15
20
25
10
-0.5
-0.5
-1
-1
x1 (t)
x2 (t)
15
20
25
Trajektória riešenia
0.6
0.4
0.2
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0.5
0.75
1
Integrálna krivka
1
0.5
0
-0.5
1
-1
1
0
0.5
10
0
-0.5
20
-1
Klasifikácia stacionárnych bodov
a fázové portréty v rovine


Rozoberieme prípad n=2. Pre
dvojdimenzionálnu úlohu má matica práve
dve vlastné čísla môžu nastať len tieto
možnosti:
dve nenulové reálne vlastné čísla:
1   2  0
priťahujúci uzol
0  1   2
odstredivý uzol
1  0   2
sedlo
Priťahujúci uzol
2
1
-2
-1
1
-1
-2
2
Odstrediý uzol
2
1
-2
-1
1
-1
-2
2
Sedlo
2
1
-2
-1
1
-1
-2
2
Klasifikácia stacionárnych bodov
a fázové portréty v rovine

Nenulové komplexné vlastné čísla  1 , 2    i 
  0 ,   0 priťahujúce ohnisko
  0 ,   0 odstredivé ohnisko
  0,   0


cykly
Jedno vlastné číslo je nulové- ustálené stavy
tvoria podpriestor – priamku
obe vlastné čísla sú nulové - všetky body sú
rovnovážne stavy
Priťahujúce ohnisko
2
1
-2
-1
1
-1
-2
2
Odstredivé ohnisko
2
1
-2
-1
1
-1
-2
2
Cykly
2
1
-2
-1
1
-1
-2
2
Nelineárne ODR
Úloha x´=v(x), kde v je vektorové pole
fázovej rýchlosti vo fázovom priestore M z
RN .
 Oveľa náročnejšie riešenie
 xs je kritický bod vektorového poľa: v(xs)=0.
Ak je proces deterministický, teda existuje
jediné riešenie pre ľubovoľnú počiatočnú
podmienku, potom je xs ustáleným stavom.

Nelineárne ODR


Nech x je z malého okolia kritického bodu xs
Z Taylorovho rozvoja máme:.
v ( x )  v ( x s )  v ( x s )( x  x s ) 



1
2
v ( x s )( x  x s )  ...
v(x) vektor fázovej rýchlosti
v´(x) Jacobiho matica
v´´(x) Hessova matica (tenzor) vektorovej
funkcie
2
Nelineárne ODR
v(x s )  0
xs je kritickým bodom
v ( x )  v ( x s )( x  x s )
Lineárna funkcia (vektorová) premennej x
1
2
v ( x s )( x  x s )  ...
2
malé členy druhého a vyššieho rádu -zanedbáme
Nelineárne ODR
v ( x )  v ( x s )  v ( x s )( x  x s )  v ( x s ) x  v ( x s ) x s
v ( x )  Ax  b
IS-LM model








t -čas
r(t) - úroková miera v čase t
y(t) - hrubý domáci produkt v čase t
Rovnováha na trhu:
Inv+ G = S+T
Inv - investície
G -štátne výdaje
S - úspory
T - dane
IS-LM model
Inv = i0-i1r(t)
S = (1-b)(y(t)-T)-a




i0 -nezávislé investície
i1 - úroková senzitivita investícií
a - nezávislá spotreba
b - marginálna spotreba
IS-LM model
Rovnováha na finančnom trhu:
L=M
 L - peňažný dopyt
 M - množstvo peňazí
 c0 - nezávislý peňažný dopyt
 c1 - prijímová elasticita peňažného dopytu
 c2 - úroková elasticita peňažného dopytu
 L= c0+ c1 y(t)-c2r(t)
IS-LM model
Ekonomická analýza:



časová zmena úrokovej miery a
národného dochodku je úmerná odchýlke
od rovnováhy na finančnom resp.
kapitálovom trhu:
y'(t)=k1 (Inv+G-(S+T))
r'(t)=k2 (L-M)
IS-LM model
Y  ( t )  AY ( t )  b
 y (t ) 

Y ( t )  
 r (t ) 
Zaujíma nás rovnovážny stav
Rovnovážny stav
16
16
15
15
14
14
13
13
12
11
12
520
540
560
580
600
620
525
550
575
600
625
650
Rovnovážny stav
20
20
18
18
16
16
14
14
12
12
10
10
1840
1850
1860
1870
1880
1890
1900
1840
1860
1880
1900