Slide 1

Tiaž a tiažové zrýchlenie
normálne tiažové zrýchlenie
skutočné tiažové zrýchlenie
tiažové anomálie


Slide 2

Tiažová sila
Výslednica príťažlivej sily F a odstredivej sily P

GFP


Slide 3

Príťažlivá sila
Newtonov gravitačný zákon
mM
R2
Oneskorenie kyvadlových hodín pri ich premiestnení z Paríža do
Cayenne (na rovníku) vplyvom zmenšovania g
 = 6,672.10-11 m3kg-1s-2 – gravitačná konštanta
M = 5,974.1024 kg – hmotnosť Zeme
m – hmotnosť častice
R – polomer Zeme
Potenciál príťažlivej sily
F  

dm
V 
r


Slide 4

Odstredivá sila P
P

mv 2



v – obvodová rýchlosť v bode v  
 – polomer rovnobežky
 – uhlová rýchlosť otáčania Zeme (7,292 115 147. 10-5 rad.s-1)


Slide 5

Potenciál odstredivej sily U
• jeho derivácie sa rovnajú jednotlivým zložkám potenciálu Px, Py
U 

1
2

  
2

2

1
2



2

x

2

 y

2



Py  P sin 

Pz  0

Px   cos 

Py   sin 

Pz  0

x   cos 

y   sin 

Px  P cos 

P  

2

2

Px   x
2

2

Py   y
2


Slide 6

Potenciál tiažovej sily
• Energia poľa

W V U
2
dm 
2
2
W 

x  y
r
2





• Nepoznáme rozloženie hustoty hmôt v zemskom telese, ani
jeho presný tvar, takže nemôžeme vypočítať hmotnosť
elementov dm
• Predpokladáme že Zem je rotačné teleso, sploštené na póloch,
má približne tvar gule a všetky priťahujúce hmoty sú vo vnútri
gule (sféroid)


Slide 7

Tiažový potenciál v ľubovoľnom bode na
povrchu Zeme
M

1 2 2
2
W 
 3 C  A 1  3 sin     l cos 2 
l
2
2l

• W tiažový potenciál
• A, C momenty zotrvačnosti, vzhľadom k osiam x, y, z
• l
vzdialenosť bodu na hladinovej ploche od stredu
Zeme
l 2  x2  y2  z 2
• M hmotnosť Zeme
•  gravitačná konštanta (6,67.10-11.m3.kg-1.s-2)
•  uhlová rýchlosť otáčania Zeme (7,292115147.10-5 rad.s-1)
•  geocentrická šírka
•  geodetická dĺžka


Slide 8

Moment zotrvačnosti
• Vyjadruje kinetickú energiu otáčavého pohybu telesa
• Moment zotrvačnosti pre hmotný bod
I  m .r

2

• Kinetická energia otáčavého hmotného bodu
Ek 

1
2

I 
2

1
2

mr 
2

2


Slide 9

Potenciál hladinovej plochy
• Hladinová plocha má konštantný potenciál
W  C  konšt .

• Tiažové zrýchlenie (smer tiaže sa označuje záporným
znamienkom) je derivácia potenciálusily tiaže v smere tiažnici
g 

dW
dh

• dh je odľahlosť dvoch nekonečne blízkych hladinových plôch
• Rozdiel potenciálov dvoch hladinových plôch je konštantný
 W  W 2  W 1  C 2  C 1  konšt .

• Potenciál nulovej hladinovej plochy (geoidu) sa označuje
W 0  C 0  konšt .


Slide 10

Vlastnosti hladinových plôch
• Vzdialenosť medzi dvomi hladinovými plochami klesá so
vzrastajúcou hodnotou tiažového zrýchlenia
h  

W
g

• K pólom sa hladinové plochy zbiehajú
• Hladinové plochy sa nemôžu pretínať
h  0


Slide 11

Tiažové zrýchlenie
• Druhý Newtonov gravitačný zákon
– intenzita K gravitačného poľa je daná podielom gravitačnej sily
hmotného bodu a hmotnosti m

G
K
m

N .kg 
1

– intenzita gravitačného poľa v istom mieste sa rovná zrýchleniu –
tiažové zrýchlenie

Kg

• Fyzikálne jednotky: m.s-2, 1 gal = cm.s-2
• Skutočné tiažové zrýchlenie meriame na fyzickom povrchu
gravimetrami
• Normálne tiažové zrýchlenie je definované na elipsoide a
počíta sa


Slide 12

Potenciál nulovej hladinovej plochy na
rovníku =0°, =0°, l=a
M

1 2 2
W0  C 0  konšt.  
 3 C  A   a
a 2a
2
Porovnanie W a W0 :

 3C  A  2 a 3  2
l
 sin 
 1  

2
a
2M 
 2a M


Slide 13

Vzdialenosť bodu od stredu Zeme


2
3
 3C  A  a 
2

l  a

a
sin

2
2
M
2aM
 

 


 
q
p



q

l  a   3 p   a sin 2 
2

i

Substitúcie:
CA
p
2
2a M

 2a3
q
M


Slide 14

Sploštenie elipsoidu i
q
i  3p 
2
3C  A  2 a 3
i

2
2a M
2M
l
q 2

 1   3 p   sin 
a
2

i

l
2
 1  i sin 
a


Slide 15

Tiažové zrýchlenie ľubovoľného bodu
na geoide
2 3
W
M
3

l

2
g
  2 1  2 C  A 1  3 sin  
cos 2 
l
M
l  2l M




Nahradením za l:



q

l  a   3 p   a sin 2 
2


dostaneme pre ľubovoľný bod na geoide tiažové zrýchlenie



M
2




g   2 1  3 p  q 1  2q  3 p sin 
a




Slide 16

Clairautov teorém
• Tiažové zrýchlenie na rovníku (=0)
M
g e   2 1  3 p  q 
a

• Nahradenie  za  (líšia sa maximálne na 45°
q
rovnobežke o 11,6´
i
5
2
  q i
p
  2q  3 p
2

3

• Tiažové zrýchlenie v ľubovoľnom bode
(Clairautov teorém)



g  g e 1  sin 
2




Slide 17

Tiažové zrýchlenie na póle (=90°)
g p  g e 1   



g p  ge
ge

• Pomer odstredivej sily a tiažového zrýchlenia na
rovníku

a
q
ge

2


Slide 18

Výpočet sploštenia
• Pre výpočet sploštenia i sa určí veľká poloos a zo
stupňových meraní, z astronomických meraní 
a z gravimetrických meraní ge a 
5
  q i
2

5
i  q
2


Slide 19

Normálne tiažové zrýchlenie
• Pizzetti (1913), Somigliano (1929)
• Priblíženie: Elipsoid je „hladinová plocha“
normálnej tiaže
 

a e cos 2   b p sin 2 
a 2 cos 2   b 2 sin 2 

• Substitúcie:
b  a 1  i 

 p   e 1   

   e 1    i  i sin 2  1  2i  i 2 sin 2  



1
2


Slide 20

• Rozvoj druhého člena rovnice (odmocniny)
podľa binomickej vety a roznásobenie
členov:
2


i
i  2 
2
   e 1   sin      sin 2 
8 4



• Substitúcia 2

i
i
1  
8 4

• Normálne tiažové zrýchlenie

   e 1   sin    1 sin 2 
2

2


Slide 21

Úprava vzorca
1
sin   1  cos 2 
2
 45
e 

1   1
2
2




   45 1 
cos 2 
 2


   45 1   cos 2 
 


2


Slide 22

Určenie konštánt e,,1
• Teoreticky stačí určiť tiažové zrýchlenie  na troch
bodoch v rôznych 1, 2, 3, previesť ich na elipsoid
(do nulových výšok) a určiť tri konštanty e,,1
• Ak je nadbytočný počet meraní vyrovnávame ich podľa
sprostredkujúcich meraní pomocou MNŠ
• Tabuľky normálneho tiažového zrýchlenia z veľkého
počtu meraní, pre rôzne 
• Na našom území sa normálne tiažové zrýchlenie mení
o 0,0009 m.s-2 na 1° zemepisnej šírky  (90 mgal)


Slide 23

Helmertov vzorec
• Helmert určil konštanty v rokoch 1901-1909 z 1603
meraných a redukovaných hodnôt tiažového
zrýchlenia pri sploštení i=1:298,2
 H  9,780 301  0,005 302 sin 2   0,000 007 sin 2 2 m.s 2

• používa sa pre Krasovského elipsoid, lebo odpovedá
splošteniu iK=1:298,3


Slide 24

Cassiniho vzorec
• Cassiniho vzorec doporučila Medzinárodná únia
geodetická a geofyzikálna v roku 1930 ako
medzinárodný pre Hayfordov elipsoid so
sploštením i=1:297,0
 C  9,780 318 1  0,005 2884 sin 2   0,000 0059 sin 2 2 m.s 2


Slide 25

Konvenčná stredná hodnota normálneho
tiažového zrýchlenia na povrchu Zeme
  9,806 65 m.s 2


Slide 26

Skutočné tiažové zrýchlenie
• Spôsobené skutočným tiažovým poľom Zeme
• Merané gravimetrickými prístrojmi:
• Kyvadlové merania
– pôvodné merania využívali dobu kyvu vhodného kyvadla

• Merania využívajúce voľný pád
– presnejšie

• Absolútne merania
– hodnota tiažového zrýchlenia na bode

• Relatívne merania
– určujú sa rozdiely tiažových zrýchlení medzi tiažovými
bodmi
– pripočítavajú sa relatívne hodnoty


Slide 27

Absolútny bod
• Svetový základný tiažový bod v Postupimi
– P = 52°22,86´
– P = 13°04,06´
– výška nad morom HP = 87 m
– gP = 9,812 600 m.s-2 ± 30m.s-2

• R. 1978 bod s absolútnou tiažou Pecný u
Prahy a v Žiline


Slide 28

Výška bodu nad elipsoidom
• Hg – výška nad geoidom
•  – rozdiel medzi geoidom a
elipsoidom
• H – výška nad elipsoidom

H  Hg 

• Ak prevedieme pomocou
vhodných korekcií namerané g
do bodu P0 dostaneme
redukované g0
• Rozdiel g0 a 0 je pravá tiažová
anomália


Slide 29

Pravá tiažová anomália
g  g 0   0
• porucha skutočného zemského tiažového poľa
vzhľadom k normálnemu
• anomálie tiaže sú vyvolané nerovnomerným rozložením
hustoty zemskej hmoty, hlavne v zemskej kôre
• g0 – redukovaná hodnota tiažového zrýchlenia - prevod
odmeranej hodnoty g na elipsoid P0
• 0 – vypočítané normálne tiažové zrýchlenie
•  – normálne tiažové zrýchlenie prevedené z elipsoidu
na povrch


Slide 30

Výpočet normálneho tiažového
zrýchlenia
• Prevod normálneho tiažového zrýchlenia 0 z bodu
P0 na elipsoide do bodu P na fyzickom povrchu

g  g  

  g  g


Slide 31

Zmiešané anomálie
• používajú sa v
gravimetrickej geodézii
• prevod tiažového
zrýchlenia vzhľadom ku
kvázigeoidu (P do bodu P´)
• výška nad kvázigeoidom –
normálna výška HN
• zanedbáva sa prevýšenie
kvázigeoidu nad elipsoidom




Slide 32

Regularizácia Zeme
• Stokes v klasickej teórii tvaru Zeme
nepredpokladal existenciu hmoty mimo
geoid
• Redukciami nameraných hodnôt tiaže sa
odstráni vplyv vonkajších hmôt (hmoty
medzi geoidom a fyzickým povrchom)
dovnútra geoidu
• približné metódy, pretože nevieme odmerať
hustotu hmôt


Slide 33

Fayova redukcia
• Nepredpokladá sa existencia hmoty nad
geoidom - „redukcia vo voľnom vzduchu“
• prevod odmeraného tiažového zrýchlenia
bodu P do P0
• Predpoklad:
– Zem je guľa o polomere R
– zanedbanie odstredivej sily (malá v porovnaní s
príťažlivou)

• Redukcia o nadmorskú výšku


Slide 34

• Tiažové zrýchlenie na povrchu (Newtonov gravitačný
zákon)
M
g 

R2

• Tiažové zrýchlenie nad povrchom vo výške H:
M
M  H
gP  
  2 1  
2
R 
R
R  H 

2

• Binomický rozvoj druhého člena
M  2 H 3H 2 
g P   2 1 
 2 
R 
R
R 

• Redukcia z vplyvu výšky bodu
M  2 H 3H 2 
 H  g  g P   2 
 2 
R  R
R 

H  g

2H
R

 3H 
1 

 2R 


Slide 35

Aplikácia Fayovej redukcie
• Veľkosť g závisí od zemepisnej šírky
• Dosadením priemernej hodnoty normálneho
tiažového zrýchlenia 9,81033 m.s-2 a R=6371200 km
pre =47°30´ do =51°30´ dostaneme Fayovu
redukciu

 H   3,080 H  0,0000007 H 2 m.s 2

• Druhý člen rovnice sa uplatní pre výšky nad 2500m
(5m.s-2 =0,5mgal)


Slide 36

Helmertov vzorec pre Fayovu redukciu
 H   0,3086 H  0,00071 H cos 2  mgal
• pre H<2500m H <0,3 mgal, preto sa druhý člen
zanedbáva a zostáva

 H  3,086 H μ m.s 2
• Ak sa zmení nadmorská výška o 1 m, zmení sa
tiažové zrýchlenie o 3 m.s-2 (0,3 mgal)
• So vzrastajúcou výškou sa tiažové zrýchlenie
zmenšuje


Slide 37

Prevody tiažových zrýchlení
• Odmerané tiažové zrýchlenie sa redukuje z
vplyvu výšky na nulovú hladinu

g0  g   H

• Normálne tiažové zrýchlenie sa prevedie z
elipsoidu do bodu s nadmorskou výškou H

  0 H
• Spôsob regularizácie Zeme (tiažové zrýchlenie g v
bode P je ovplyvnené príťažlivosťou hmôt medzi
geoidom a povrchom, prevodom do P0 sa tieto
hmoty „premiestňujú“ pod povrch geoidu


Slide 38

Fayova amomália
g F  g 0   0  g  

• Je to zmiešaná anomália, pretože sa dosadzuje
normálna výška (nad kvázigeoidom)


Slide 39

Význam Fayovej anomálie
• Využitie v gravimetrickej geodézii – určenie
regularizovaného geoidu

• Výpočet tiažnicových odchýliek
• Pri určovaní tiažových korekcií nivelačných prevýšení

• Tiaž sa meria a anomálie sa počítajú v diskrétnych
bodoch
• Medzi diskrétnymi bodmi sa anomálie interpolujú