Transcript NDR1

Numerické metódy
riešenia diferenciálnych
rovníc
Matematicko-počítačové
modelovanie
4. semester
Literatúra:





Arnold V.I. Obyčajné diferenciálne rovnice
Komorník, Komorníková, Mikula:
Modelovanie ekonomických a finančných
procesov
Babušíková, Slodička, Weisz: Numerické
metódy, skriptum
Míka, Kufner: Okrajové úlohy pre ODR
Handlovičová, Schiesslová: Diferenčné
metódy riešenia inžinierskych úloh
Obyčajné diferenciálne rovnice
Základné vedomosti z klasickej teórie ODR




ODR 1. rádu, separovateľná lineárna,
lineárna s pravou stranou
ODR 2. rádu, vyšších rádov pre lineárne
ODR s konštantnými koeficientami a
pravou stranou
Cauchyho úloha, okrajová úloha
Systém ODR
Fázový priestor



Proces
Proces sa nazýva deterministický, ak celý
jeho budúci aj minulý vývoj je
jednoznačne určený súčasným stavom.
Množina všetkých stavov procesu sa
nazýva fázový priestor
Príklady deterministických
procesov



1. klasická mechanika- pohyb sústavy je
jednoznačne určený začiatočnou polohou
a rýchlosťou sústavy na začiatku.
2. finančníctvo - narastanie hodnoty
vkladu na bankovom účte pri pevne
stanovenom úroku
3. biológia – rozmnožovanie živočíšneho
druhu v modeloch populačnej dynamiky
Nedeterministické procesy
1. Kvantová mechanika – nie je
deterministický proces
2. Vedenie tepla - polodeterministický proces,
budúcnosť je prítomnosťou jednoznačne
určená, minulosť nie
3. Finančníctvo - hodnota opcie alebo iného
finančného derivátu
Fázový priestor
Proces sa nazýva konečnorozmerný, ak
jeho fázový priestor je konečnorozmerný
to jest, ak počet parametrov potrebných
na popis jeho stavu je konečný.
Príklady:
spojité úrokovanie – jendorozmerný fázový
priestor
Matematické kyvadlo - dvojrozmerný
Diferencovateľný proces

Proces sa nazýva diferencovateľný ak
jeho fázový priestor má štruktúru
diferenciálnej variety a zmena stavu v
čase sa opisuje diferencovateľnými
funkciami
Charakter procesu je možné určiť len
experimentálne
Fázový tok




Nech je M RN fázový priestor procesu ,
RN je N-rozmerný euklidovský priestor
x0 z M je počiatočný stav procesu.
gt(x0) je stav procesu v čase t, teda pre
reálne t sme definovali zobrazenie
 
t
g :M M
g tR
Množinu
nazývame
tokom fázovým priestorom ak plati:

t
Fázový tok
x0  M , t , s  R :
g
t s
( x0 )  g ( g ( x0 )) g ( x0 )  x0
s
t
0
Vývoj stavu, trajektória

Vývojom stavu x0 z M riadeným tokom gt
nazývame zobrazenie x : R  M , pre
ktoré platí
x(t )  g ( x0 )
t

Obraz zobrazenia x je krivka v priestore M
a nazýva sa trajektória (fázová krivka)
Integrálna krivka, ekvilibrium




Kartézsky súčin RxM nazývame rozšíreným
fázovým priestorom.
Krivku {(t,x(t)), t z R } nazývame integrálnou
krivkou
Rovnovážnym (ustáleným ) stavom toku gt
fázovým priestorom M nazývame bod xs z M,
pre ktorý platí gt (xs )= xs pre všetky t z R,
teda bod, ktorý je sám o sebe trajektóriou.
Rovnovážny stav nazývame tiež stacionárny
bod alebo ekvilibrium procesu
Fázová rýchlosť

Fázovou rýchlosťou v(x) toku gt v bode x z M
sa nazýva vektor rýchlosti pohybu toho bodu
t.j.
d t 
v( x)   g ( x) 
 dt
 t 0

Je to vlastne vektor dotyčnice ku fázovej krivke
prechádzajúcej bodom x. Vyjadruje tendenciu
vývoja procesu nachádzajúceho sa v stave x
Veta

Bod xs z M je stacionárny bod toku gt
vtedy a len vtedy, keď je kritickým bodom
vektorového poľa v, to jest keď v(xs)=0.
Príklady
Spojité úrokovanie – fázový priestor je
jenorozmerný:
Fázový priestor:
M  x  R; x  0
Zákon vývoja: x´=rx, x hodnota investície, r
úroková miera , počiatočný stav x(0)=x0
Pole fázovej rýchlosti: v(x)=rx
Fázový tok, trajektória
integrálne krivka
rt
x(t )  x0e
Príklady
Rýchlosť rádioaktívneho rozpadu – fázový
priestor je jenorozmerný:
Fázový priestor: M  x  R; x  0
Zákon vývoja: x´=-kx, x množstvo látky,k
koeficient úmernosti
Pole fázovej rýchlosti: v(x)=-kx
Fázový priestor
Príklady:
matematické kyvadlo- proces závislý od dvoch
parametrov:
x1 – uhol odklonu od zvislej roviny
x2 – uhlová rýchlosť pohybu
Pre malé výchylky platí:
x1´=x2, x2´=-kx1, k=l/g
Fázový priestor:
M  ( x1, x2) : x1   , x2   
Vektorové pole mat. kyvadla
x1´=x2, x2´=-kx1, k=l/g
3
k=1
2
v: (x1,x2) -> (x2,-kx1)
1
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
Matematické kyvadlo –
presnejší model
x1  x2, x2  k sin x

Vektorové pole:
2
1
2
2
-1
-2
ODR



Fázový tok teda definuje vektorové pole
fázových rýchlostí v.
Opačná úloha: nájsť tok gt fázovým
priestorom, ak je zadané rýchlostné pole
v(x) v každom bode x z M nazývame
hľadaním riešenia obyčajnej diferenciálnej
rovnice.
Z lokálneho zákona evolúcie , teda
zadaných fázových rýchlostí v bodoch x z
M hľadáme globálny obraz vývoja,
minulosť aj prítomnosť
ODR

U je otvorená oblasť v RN a nech v je
vektorové pole v U . Obyčajnou
diferenciálnou rovnicou danou vektorovým
poľom v nazývame rovnicu:
x  v(x)
Riešenie ODR

Nech I={t z R; a<t<b} je časový interval.
Riešením ODR sa nazýva
diferencovateľné zobrazenie x : I  U
také, že pre každé t z I platí rovnosť
d
x (t )  v ( x (t ))
dt
Riešenie ODR

Ak pre zobrazenie x navyše platí
podmienka
x(t0 )  x0

Hovoríme, že riešenie x ODR spĺňa
začiatočnú podmienku