Prednáška č.8
Download
Report
Transcript Prednáška č.8
Metóda Konečných Prvkov
vo výrobných technológiach
prednáška č. 8
Obsah prednášky
• Úloha vedenia tepla v MKP
• Teoretické podklady
Bilančná rovnica prenosu tepla
Spôsoby prenosu tepla
Vnútorný zdroj tepla
Energia akumulovaná v systéme
• Diferenciálna rovnica vedenia tepla
Začiatočné podmienky
Okrajové podmienky
• Funkcionál tepelnej energie
prednáška č.8 - 2/XX
Obsah prednášky
• Výpočet teplotného poľa pomocou MKP
Diskretizácia telesa
Tvarové funkcie
Minimalizácia funkcionálu
Maticový zápis minimalizovaného funkcionálu
• Jednorozmerná úloha prenosu tepla vedením
• Dvojrozmerná úloha prenosu tepla vedením
Príklad
prednáška č.8 - 3/XX
Úloha prenosu tepla
• stanovenie teplotného poľa T(x,y,z,t) ([K],[°C]) v bodoch sledovanej
oblasti pri zachovaní predpísaných začiatočných a okrajových
podmienok
• teplotné pole: - stacionárne pole (steady state)
- nestacionárne pole (transient analysis)
• skalárne pole
prednáška č.8 - 4/XX
Teoretické podklady
Bilančná rovnica prenosu tepla:
• zo zákona zachovania energie
Ein + Eg = Eout + Eie
[J]
kde Ein je tepelná energia vstupujúca do systému, Eg je tepelná energia
generovaná v systéme, Eout je tepelná energia vystupujúca zo systému,
Eie je zmena vnútornej energie systému
• podelením rovnice prírastkom času t dostaneme bilančnú rovnicu
tepelných výkonov (tokov – heat flow)
Pin + Pg = Pout + Pie
[W]
prednáška č.8 - 5/XX
Teoretické podklady
Spôsoby prenosu tepla:
• vedením – kondukcia
• prúdením – konvekcia
• žiarením – radiácia
Nevyhnutnou podmienkou pre existenciu prenosu tepla je existencia
teplotného spádu.
(Druhý termodynamický zákon)
prednáška č.8 - 6/XX
Teoretické podklady
Prenos tepla vedením:
• Vedenie je prenos tepla v prostredí, ktorého častice sa v smere
tepelného toku nepohybujú.
T1
T2
P
x
l
• Tepelný tok (heat flow) v smere osi x popisuje Fourierov
• zákon vedenia tepla
P A
T
q A [W]
x
kde q gradT [Wm2 ]
kde - tepelná vodivosť materiálu [W.m-1.K-1],
A - plocha kolmá na smer vedenia tepla, q - hustota tepelného toku
(heat
flux)
prednáška
č.8 - 7/XX
Teoretické podklady
Prenos tepla prúdením:
• Teplo sa šíri prúdením z pevného do okolitého hmotného prostredia.
• Prúdenie, vyvolané iba rozdielom teplôt v tekutine – voľné prúdenie.
• Prúdenie, vyvolané vonkajšími silami (rozdielom tlakov v tekutine) –
nútená konvekcia.
q, h, Tr
Ts, A
P h A (Ts Tr ) q A [W]
kde q h (Ts Tr ) [Wm2 ]
kde h - koeficient prestupu tepla [W.m-2.K-1], Tr - teplota okolia [K]
Ts – povrchová teplota [K], A – teplovýmenná plocha [m-2]
prednáška č.8 - 8/XX
Teoretické podklady
Prenos tepla žiarením:
•
•
Teplo sa šíri prúdením medzi dvoma pevnými plochami.
Je jediným spôsobom prenosu tepla medzi dvoma telesami vo vákuu.
P, Tr
T, A, e
P s e A (T 4 Tr4 ) q A [W]
kde q s e (T 4 Tr4 ) [Wm2 ]
kde s – Stefanova-Bolzmannova konštanta [5,67e-8 W.m-2.K-4], Tr - teplota okolia
(referenčná), A – vyžarujúca plocha, e – emisivita povrchu telesa (e = 0 biele,
e = 1 čierne)
prednáška č.8 - 9/XX
Teoretické podklady
Vnútorný zdroj tepla:
• Tepelnú energiu generovanú vnútorným zdrojom (napr. Jouleovo teplo)
možno určiť zo vzťahu
Eg q Vdt Pg dt
[J]
.
kde q – merný výkon tepelného zdroja [W.m-3],
V – objem telesa vyžarujúceho teplo [m-3],
Pg – tepelný výkon vnútorného zdroja [W]
• Viaceré tepelné zdroje sú teplotne závislé, čo spôsobuje ďalšie
komplikácie pri výpočte teplotného poľa.
prednáška č.8 - 10/XX
Teoretické podklady
Energia akumulovaná v systéme:
• Pre zmenu vnútornej energie platí
T
Eie r cV
dt Pie dt
t
kde r – hustota látky [kg.m-3],
c – merná tepelná kapacita [J.kg-1.K-1],
V – objem telesa akumulujúceho teplo,
T – teplota telesa
T t – časová zmena teplotného poľa [K.s-1]
Pie – tepelný výkon akumulovaný v telese [W]
prednáška č.8 - 11/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
Všeobecné rovnice pre 3D úlohu:
• Bilančná rovnica pre element telesa dV = dxdydz
y
P(y)
Ay = dxdz
P(z+dz)
Pg
P(x+dx)
P(x)
Ax = dydz
P(z)
z
x
Az = dxdy
P(y+dy)
( Px Py Pz )dt Pg dt ( Px dx Py dy Pz dz )dt Pu dt
( Px Py Pz ) Pg ( Px dx Py dy Pz dz ) Pu
[J]
[W]
prednáška č.8 - 12/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
• tepelný tok Px privedený na stenu elementu Ax = dydz sa odvedie do
vnútra vedením
T
T
Px x Ax
x
dy dz [W]
x
x
• odvedený tok v smere x
T
T
x Ax
dx Px dPx
x x
x
T
T
Px x
dy dz x
dV
x
x x
Px x Ax
• Podobne to platí pre osi y a z
prednáška č.8 - 13/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
• Po dosadení do bilančnej rovnice dostaneme základnú diferenciálnu
rovnicu vedenia tepla
T T T
T
z
x
y
q r c
x x y y z z
t
[W.m-3 ]
• Pre izotrópny materiál = x = y = z
2T 2T 2T
T
2 2 2 q r c
t
y
z
x
• Pre stacionárne úlohy je pravá strana rovnice rovná nule.
2T 2T 2T
2 2 2 q 0
y
z
x
.
• Ak neexistuje vnútorný zdroj tepla (q = 0) dostaneme Poissonovu
parciálnu diferenciálnu rovnicu (vyskytujúcu sa napr. i pri riešení elektrického
potenciálového poľa)
2T 2T 2T
x
2
y
2
0
z
2
prednáška č.8 - 14/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
Podmienky jednoznačnosti
pre riešenie DR vedenia tepla aj pomocou MKP je potrebné definovať
podmienky jednoznačnosti
• geometrické
• fyzikálne
• začiatočné
• okrajové
prednáška č.8 - 15/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
Začiatočné a okrajové podmienky:
• Vo všeobecnosti je rovnica vedenia tepla diferenciálnou rovnicou
druhého rádu závislou na čase.
• Preto na jej riešenie treba stanoviť začiatočnú podmienku a okrajové
podmienky (OP).
• Začiatočná podmienka obvykle vyjadruje začiatočnú teplotu v bodoch
telesa
T ( x, y, z, t ) T0 ( x, y, z)
pre t 0 na V
prednáška č.8 - 16/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
• Okrajové podmienky:
1. druhu - Dirichletova
predpísaná teplota na časti povrchu A1
T ( x, y, z, t ) T0
pre t 0 na A1
2. druhu - Neumanova
hustota tepelného toku q [W.m-2] privedeného na časť povrchu
telesa A2 sa odvedie do vnútra telesa vedením
x
T
T
T
y
z
q 0
x
y
z
pre t 0 na A2
prednáška č.8 - 17/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
• Okrajové podmienky:
3. druhu - Fourierova
hustota tepelného toku q [W.m-2] privedeného telesom na časť
povrchu A3 sa odvedie do okolia ako tepelný tok prúdením s
teplotou okolia Tr a súčiniteľom prestupu tepla konvekciou h
x
T
T
T
y
z
h(T Tr ) 0
x
y
z
pre t 0 na A3
4. druhu
popisuje podmienky pri dokonalom kontakte dvoch telies
1 ( grad T1 )s 2 ( grad T2 )s
Ts1 Ts2
prednáška č.8 - 18/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
• Okrajové podmienky:
5. druhu – Stefanova
definuje podmienky pri prenose tepla s pásmom fázovej premeny
prednáška č.8 - 19/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
• Problém nájdenia rozloženia teploty vychádza z riešenia rovníc:
Px x
T
T
dy dz x
dV
x
x x
Py
Pz
pri zohľadnení začiatočných a okrajových podmienok.
• Pri použití variačného princípu (princíp virtuálnych prác) problém
rozloženia teploty T(x,y,z,t) minimalizáciou funkcionálu
2
2
2
T
1 T
T
1
T
x
z
h(T Tr ) 2 dA3
y
2 q rc
T dV q T dA2
2 V 0 x
t
2 (e)
z
y
A2 ( e )
A3
(zohľadnenie OP vyjadruje pravá strana rovnice)
prednáška č.8 - 20/XX
Výpočet teplotného poľa pomocou
MKP
• Teleso s objemom V0 rozdelíme na noe elementov a non uzlových
bodov (nodes) s plochami A1, A2, A3 s aplikovanými OP
• Teplotu v ľubovoľnom bode elementu vyjadríme ako funkciu teploty
uzlových bodov prvku
T((xe,)y, z,t ) N( x, y, z ) T(e)
matica tvarových funkcií:
N( x, y, z ) N1( x, y, z )
Ni ( x, y, z ) N p( x, y, z )
(e)
vektor teplôt v uzlových bodoch elementu:
T(e)
T1 (t )
Ti (t )
T (t )
p prednáška č.8 - 21/XX
Výpočet teplotného poľa pomocou
MKP
• Funkcionál popisujúci prenos tepla cez celú oblasť nahradíme súčtom
funkcionálov (rovnakého tvaru) jednotlivých elementov
noe
(e)
i 1
pričom
2
2
2
(e)
(e)
(e)
1
T
T
T
T ( e) ( e)
(e)
x
y
z
2 q rc
T dV
2 0( e ) x
y
z
t
V
1
q T ( e) dA2
h(T ( e ) Tr ) 2 dA3
2 (e)
(e)
A2
A3
prednáška č.8 - 22/XX
Výpočet teplotného poľa pomocou
MKP
Minimalizáciou funkcionálu
Ti
kde
m
i 1
(e)
0
Ti
i 1,, m
m je počet uzlov s neznámou teplotou
dostaneme neznáme teploty v uzlových bodoch.
prednáška č.8 - 23/XX
Výpočet teplotného poľa pomocou
MKP
Minimalizovaný funkcionál (e)
(e)
Ti
T (e)
q
dA2
Ti
(e)
A2
(e)
T ( e) T (e)
T (e) T (e )
T (e) T (e)
T ( e)
T
x
x y y T y z z T z q rc t T dV
x
T
(e)
i
i
i
i
V0
A3
(e)
h(T
(e)
T (e)
Tr )
dA3
Ti
Pozn.
Plošné integrály na pravej strane rovnice sa v nej nebudú vyskytovať ak
i-ty uzol neleží na plochách A2 alebo A3.
prednáška č.8 - 24/XX
Výpočet teplotného poľa pomocou
MKP
Minimalizovaný funkcionál (e) obsahuje
T ( e ) N1 N i
x
x
x
T ( e ) N i
Ti x x
N p ( e )
T
x
i 1,, m
T ( e )
Ni
Ti
T ( e )
N T ( e ) N1
t
Ni
T1 / t
T
/
t
i
Np
T / t
p
(e )
predstavuje časovú zmenu teplotného poľa v uzlových bodoch
T
prednáška č.8 - 25/XX
Výpočet teplotného poľa pomocou
MKP
Minimalizovaný funkcionál (e) v maticovom tvare
(e)
K1(e)
Ti
ij T
K 1( e )
T
( e)
(e)
P
( e)
K (2e )
K 2(e) ij T (e)
i
T
(e)
K 3( e )
K3(e) ij T (e)
0
( e )
T P (e)
obsahuje:
maticu teplotnej vodivosti
K1( e ) ij
N i N j
N i N j
N i N j
y
z
dV
x
(e)
x x
x x
x x
V0
prednáška č.8 - 26/XX
Výpočet teplotného poľa pomocou
MKP
maticu konvekcie
K
(e)
2 ij
h Ni N j dA3
A3( e )
maticu tepelnej kapacity
K
(e)
3
ij
r c N i N j dV
V 0(e)
vektor tepelných tokov od vnútorného zdroja, vedenia a konvekcie
P
(e)
i
q Ni dV q Ni dA2 h Tr Ni dA3
V 0( e )
A2( e )
A3( e )
prednáška č.8 - 27/XX
Jednorozmerná úloha vedenia
tepla
T(x)
Ti
i
x, A
Tj
j
x
x
L
Uvažujme dvojuzlový čiarový prvok kruhového prierezu (s priemerom d ),
ktorý prenáša teplo vedením a generuje sa v ňom Jouleovo teplo
(vnútorný zdroj tepla - napr. spôsobený prechodom elektrického prúdu).
Teplota v mieste x
T ( x) N T
(e)
Ni
Ti x
N j 1
T j L
x Ti
L T j
prednáška č.8 - 28/XX
Jednorozmerná úloha vedenia
tepla
matica teplotnej vodivosti – pre jednorozmerný prvok
K1( e )
K1( e )
L
N i N j
N i N j
x
dV x A
dx
x x
x x
0
V 0( e )
Ni N j
1 1
L Ni Ni
L 1 1
L L
L L
x x
x x
x A N N N N dx x A
dx
1 1
1 1
j
j
j
i
0
0
L L L L
x x
x x
x A 1 1
L 1 1
prednáška č.8 - 29/XX
Jednorozmerná úloha vedenia
tepla
matica konvekcie - voľná konvekcia z povrchu do okolia
K (2e )
L
A3( e )
0
LN
i Ni
hd
0 N j Ni
K (2e )
h N i N j dV h d N i N j dx
13
h d L 1
6
x x
L 1 x 2
Ni N j
1
L
L
L
dx h d
dx
x
x
x 2
N j N j
L
0
L 1 L
1
6
1
3
prednáška č.8 - 30/XX
Jednorozmerná úloha vedenia
tepla
vektor tepelného toku - transformovaný do uzlových bodov
P ( e) q N i dV q N i dA2 h T N i dA3
V 0(e)
A2( e )
A3( e )
s uvažovaním iba konvekcie a generovaného Jouleovho tepla
P
(e)
q
V 0( e )
NiT
dV
h Tr NiT
A3( e )
LN
LN
i
dA3 q A dx h Tr d dx
0 N j
0 N j
i
L 1
L 1
q A h Tr d
2 1
2 1
prednáška č.8 - 31/XX
Jednorozmerná úloha vedenia
tepla
Rovnice prenosu tepla - pre jednorozmerný prútový prvok - majú
maticový tvar
K ( e ) K ( e ) Ti Pi
1 ij 2 ij T P
j j
K 1( e ) K (2e ) T( e ) P ( e )
a po dosadení:
1
A 1 1
3
x
h
d
L
1
L 1 1
6
1 T
i
6
L 1
L 1
q A h Tr d
1
2 1
2 1
3
T j
prednáška č.8 - 32/XX
Dvojrozmerná úloha vedenia tepla
Ti
T(x)
x
s3
A
i
L
j
s1
s2
x, A
Tj
Uvažujme úlohu prenosu tepla pre dvojrozmerné teleso všeobecného
tvaru (tretí rozmer telesa je rovný 1).
Diferenciálna rovnica vedenia tepla pre stacionárnu teplotnú sústavu má
tvar:
T T
q 0
x
y
x x y y
[W.m-3 ]
prednáška č.8 - 33/XX
Dvojrozmerná úloha vedenia tepla
• Teleso s objemom V0 rozdelíme na noe elementov a non uzlových
bodov (nodes) s plochami A1, A2, A3 s aplikovanými OP
• Teplotu v ľubovoľnom bode elementu vyjadríme ako funkciu teploty
uzlových bodov prvku
matica tvarových funkcií:
vektor teplôt v uzlových bodoch elementu:
prednáška č.8 - 34/XX
Dvojrozmerná úloha vedenia tepla
Ti
T(x)
x
A
s3
i
L
j
s1
s2
x , A
Tj
prednáška č.8 - 35/XX
Dvojrozmerná úloha vedenia tepla
prednáška č.8 - 36/XX
Dvojrozmerná úloha vedenia tepla
prednáška č.8 - 37/XX
Dvojrozmerná úloha vedenia tepla
prednáška č.8 - 38/XX