Transcript Prednáška č.8

Metóda Konečných Prvkov
vo výrobných technológiach
prednáška č. 8
Obsah prednášky
• Úloha vedenia tepla v MKP
• Teoretické podklady
Bilančná rovnica prenosu tepla
Spôsoby prenosu tepla
Vnútorný zdroj tepla
Energia akumulovaná v systéme
• Diferenciálna rovnica vedenia tepla
Začiatočné podmienky
Okrajové podmienky
• Funkcionál tepelnej energie
prednáška č.8 - 2/XX
Obsah prednášky
• Výpočet teplotného poľa pomocou MKP
Diskretizácia telesa
Tvarové funkcie
Minimalizácia funkcionálu
Maticový zápis minimalizovaného funkcionálu
• Jednorozmerná úloha prenosu tepla vedením
• Dvojrozmerná úloha prenosu tepla vedením
Príklad
prednáška č.8 - 3/XX
Úloha prenosu tepla
• stanovenie teplotného poľa T(x,y,z,t) ([K],[°C]) v bodoch sledovanej
oblasti pri zachovaní predpísaných začiatočných a okrajových
podmienok
• teplotné pole: - stacionárne pole (steady state)
- nestacionárne pole (transient analysis)
• skalárne pole
prednáška č.8 - 4/XX
Teoretické podklady
Bilančná rovnica prenosu tepla:
• zo zákona zachovania energie
Ein + Eg = Eout + Eie
[J]
kde Ein je tepelná energia vstupujúca do systému, Eg je tepelná energia
generovaná v systéme, Eout je tepelná energia vystupujúca zo systému,
Eie je zmena vnútornej energie systému
• podelením rovnice prírastkom času t dostaneme bilančnú rovnicu
tepelných výkonov (tokov – heat flow)
Pin + Pg = Pout + Pie
[W]
prednáška č.8 - 5/XX
Teoretické podklady
Spôsoby prenosu tepla:
• vedením – kondukcia
• prúdením – konvekcia
• žiarením – radiácia
Nevyhnutnou podmienkou pre existenciu prenosu tepla je existencia
teplotného spádu.
(Druhý termodynamický zákon)
prednáška č.8 - 6/XX
Teoretické podklady
Prenos tepla vedením:
• Vedenie je prenos tepla v prostredí, ktorého častice sa v smere
tepelného toku nepohybujú.
T1
T2
P
x
l
• Tepelný tok (heat flow) v smere osi x popisuje Fourierov
• zákon vedenia tepla
P   A
T
 q A [W]
x
kde q   gradT [Wm2 ]
kde  - tepelná vodivosť materiálu [W.m-1.K-1],
A - plocha kolmá na smer vedenia tepla, q - hustota tepelného toku
(heat
flux)
prednáška
č.8 - 7/XX
Teoretické podklady
Prenos tepla prúdením:
• Teplo sa šíri prúdením z pevného do okolitého hmotného prostredia.
• Prúdenie, vyvolané iba rozdielom teplôt v tekutine – voľné prúdenie.
• Prúdenie, vyvolané vonkajšími silami (rozdielom tlakov v tekutine) –
nútená konvekcia.
q, h, Tr
Ts, A
P  h A (Ts  Tr )  q A [W]
kde q  h (Ts  Tr ) [Wm2 ]
kde h - koeficient prestupu tepla [W.m-2.K-1], Tr - teplota okolia [K]
Ts – povrchová teplota [K], A – teplovýmenná plocha [m-2]
prednáška č.8 - 8/XX
Teoretické podklady
Prenos tepla žiarením:
•
•
Teplo sa šíri prúdením medzi dvoma pevnými plochami.
Je jediným spôsobom prenosu tepla medzi dvoma telesami vo vákuu.
P, Tr
T, A, e
P  s e A (T 4  Tr4 )  q A [W]
kde q  s e (T 4  Tr4 ) [Wm2 ]
kde s – Stefanova-Bolzmannova konštanta [5,67e-8 W.m-2.K-4], Tr - teplota okolia
(referenčná), A – vyžarujúca plocha, e – emisivita povrchu telesa (e = 0 biele,
e = 1 čierne)
prednáška č.8 - 9/XX
Teoretické podklady
Vnútorný zdroj tepla:
• Tepelnú energiu generovanú vnútorným zdrojom (napr. Jouleovo teplo)
možno určiť zo vzťahu
Eg  q Vdt  Pg dt
[J]
.
kde q – merný výkon tepelného zdroja [W.m-3],
V – objem telesa vyžarujúceho teplo [m-3],
Pg – tepelný výkon vnútorného zdroja [W]
• Viaceré tepelné zdroje sú teplotne závislé, čo spôsobuje ďalšie
komplikácie pri výpočte teplotného poľa.
prednáška č.8 - 10/XX
Teoretické podklady
Energia akumulovaná v systéme:
• Pre zmenu vnútornej energie platí
T
Eie  r cV
dt  Pie dt
t
kde r – hustota látky [kg.m-3],
c – merná tepelná kapacita [J.kg-1.K-1],
V – objem telesa akumulujúceho teplo,
T – teplota telesa
T  t – časová zmena teplotného poľa [K.s-1]
Pie – tepelný výkon akumulovaný v telese [W]
prednáška č.8 - 11/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
Všeobecné rovnice pre 3D úlohu:
• Bilančná rovnica pre element telesa dV = dxdydz
y
P(y)
Ay = dxdz
P(z+dz)
Pg
P(x+dx)
P(x)
Ax = dydz
P(z)
z
x
Az = dxdy
P(y+dy)
( Px  Py  Pz )dt  Pg dt  ( Px  dx  Py  dy  Pz  dz )dt  Pu dt
( Px  Py  Pz )  Pg  ( Px  dx  Py  dy  Pz  dz )  Pu
[J]
[W]
prednáška č.8 - 12/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
• tepelný tok Px privedený na stenu elementu Ax = dydz sa odvedie do
vnútra vedením
T
T
Px  x Ax
 x
dy dz [W]
x
x
• odvedený tok v smere x
T  
T 
   x Ax
dx  Px  dPx
x x 
x 
T
  T 
Px   x
dy dz    x
dV
x
x  x 
Px   x Ax
• Podobne to platí pre osi y a z
prednáška č.8 - 13/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
• Po dosadení do bilančnej rovnice dostaneme základnú diferenciálnu
rovnicu vedenia tepla
  T    T    T 
T
   z
 x
    y
  q  r c
x  x  y  y  z  z 
t
[W.m-3 ]
• Pre izotrópny materiál  =  x =  y =  z
  2T  2T  2T 
T
  2  2  2   q  r c
t
y
z 
 x
• Pre stacionárne úlohy je pravá strana rovnice rovná nule.
  2T  2T  2T 
  2  2  2   q  0
y
z 
 x
.
• Ak neexistuje vnútorný zdroj tepla (q = 0) dostaneme Poissonovu
parciálnu diferenciálnu rovnicu (vyskytujúcu sa napr. i pri riešení elektrického
potenciálového poľa)
  2T  2T  2T 
 
 x
2

y
2

0
z 
2
prednáška č.8 - 14/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
Podmienky jednoznačnosti
pre riešenie DR vedenia tepla aj pomocou MKP je potrebné definovať
podmienky jednoznačnosti
• geometrické
• fyzikálne
• začiatočné
• okrajové
prednáška č.8 - 15/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
Začiatočné a okrajové podmienky:
• Vo všeobecnosti je rovnica vedenia tepla diferenciálnou rovnicou
druhého rádu závislou na čase.
• Preto na jej riešenie treba stanoviť začiatočnú podmienku a okrajové
podmienky (OP).
• Začiatočná podmienka obvykle vyjadruje začiatočnú teplotu v bodoch
telesa
T ( x, y, z, t )  T0 ( x, y, z)
pre t  0 na V
prednáška č.8 - 16/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
• Okrajové podmienky:
1. druhu - Dirichletova
predpísaná teplota na časti povrchu A1
T ( x, y, z, t )  T0
pre t  0 na A1
2. druhu - Neumanova
hustota tepelného toku q [W.m-2] privedeného na časť povrchu
telesa A2 sa odvedie do vnútra telesa vedením
x
T
T
T
 y
 z
 q  0
x
y
z
pre t  0 na A2
prednáška č.8 - 17/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
• Okrajové podmienky:
3. druhu - Fourierova
hustota tepelného toku q [W.m-2] privedeného telesom na časť
povrchu A3 sa odvedie do okolia ako tepelný tok prúdením s
teplotou okolia Tr a súčiniteľom prestupu tepla konvekciou h
x
T
T
T
 y
 z
 h(T  Tr )  0
x
y
z
pre t  0 na A3
4. druhu
popisuje podmienky pri dokonalom kontakte dvoch telies
 1 ( grad T1 )s  2 ( grad T2 )s
Ts1  Ts2
prednáška č.8 - 18/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
• Okrajové podmienky:
5. druhu – Stefanova
definuje podmienky pri prenose tepla s pásmom fázovej premeny
prednáška č.8 - 19/XX
Diferenciálna rovnica vedenia tepla
• Problém nájdenia rozloženia teploty vychádza z riešenia rovníc:
Px   x
T
  T 
dy dz    x
dV
x
x  x 
Py  
Pz  
pri zohľadnení začiatočných a okrajových podmienok.
• Pri použití variačného princípu (princíp virtuálnych prác) problém
rozloženia teploty T(x,y,z,t) minimalizáciou funkcionálu
2
2
2
 T 
1   T 
T  
1
 T 


x 
  z 

h(T  Tr ) 2 dA3
   y 
  2 q  rc
T  dV  q T dA2 
2 V 0   x 
t  
2 (e)
 z 

 y 
A2 ( e )
A3



(zohľadnenie OP vyjadruje pravá strana rovnice)


prednáška č.8 - 20/XX
Výpočet teplotného poľa pomocou
MKP
• Teleso s objemom V0 rozdelíme na noe elementov a non uzlových
bodov (nodes) s plochami A1, A2, A3 s aplikovanými OP
• Teplotu v ľubovoľnom bode elementu vyjadríme ako funkciu teploty
uzlových bodov prvku
T((xe,)y, z,t )  N( x, y, z ) T(e)
matica tvarových funkcií:

N( x, y, z )  N1( x, y, z )
Ni ( x, y, z )  N p( x, y, z )
(e)
vektor teplôt v uzlových bodoch elementu:
T(e)

 T1 (t ) 


 Ti (t ) 





T (t )
 p  prednáška č.8 - 21/XX
Výpočet teplotného poľa pomocou
MKP
• Funkcionál popisujúci prenos tepla cez celú oblasť nahradíme súčtom
funkcionálov (rovnakého tvaru) jednotlivých elementov

noe

 (e)
i 1
pričom
2
2
2
(e)
(e)
(e)








1
T
T
T
T ( e)  ( e) 
(e)
 x 
  y 
  z 
  2 q  rc
T  dV 
 







2 0( e )   x 
y 
z 
t 






V
1
q T ( e) dA2 
h(T ( e )  Tr ) 2 dA3
2 (e)
(e)


A2

A3
prednáška č.8 - 22/XX
Výpočet teplotného poľa pomocou
MKP
Minimalizáciou funkcionálu 


Ti
kde
m

i 1
 (e)
0
Ti
i  1,, m
m je počet uzlov s neznámou teplotou
dostaneme neznáme teploty v uzlových bodoch.
prednáška č.8 - 23/XX
Výpočet teplotného poľa pomocou
MKP
Minimalizovaný funkcionál (e)
 (e)

Ti

T (e)
q
dA2 
Ti
(e)

A2
(e)
  T ( e)   T (e)  
 T (e)   T (e )  
 T (e)   T (e)   
 T ( e) 

T







  

x 
 x     y  y T  y    z  z T  z     q  rc t  T  dV 


x

T
(e) 
i 
i 
i 
i 


 





V0 

A3
(e)
h(T
(e)
T (e)
 Tr )
dA3
Ti
Pozn.
Plošné integrály na pravej strane rovnice sa v nej nebudú vyskytovať ak
i-ty uzol neleží na plochách A2 alebo A3.
prednáška č.8 - 24/XX
Výpočet teplotného poľa pomocou
MKP
Minimalizovaný funkcionál (e) obsahuje
T ( e )  N1 N i

x
x
 x
  T ( e )  N i



Ti  x  x
N p  ( e )

T
x 
i  1,, m
T ( e )
 Ni
Ti


T ( e )
 N T ( e )  N1
t
Ni
 T1 / t 



T
/

t
 i

 Np 




T / t 
 p


 (e )
predstavuje časovú zmenu teplotného poľa v uzlových bodoch
T
prednáška č.8 - 25/XX
Výpočet teplotného poľa pomocou
MKP
Minimalizovaný funkcionál (e) v maticovom tvare
 
 (e)
 K1(e)
Ti
ij T
K 1( e )
T
( e)
(e)
   
P
( e)
 K (2e )
K 2(e) ij T (e)
i
T
(e)
 K 3( e )

 


K3(e) ij T (e)
0
 ( e )
T  P (e)
obsahuje:
maticu teplotnej vodivosti
 
K1( e ) ij
  N i N j 
 N i N j 
 N i N j 
   y 
   z 
 dV

 x 
(e) 
 x x 
 x x 
 x x 
V0 

prednáška č.8 - 26/XX
Výpočet teplotného poľa pomocou
MKP
maticu konvekcie
K 
(e)
2 ij


  h Ni N j dA3
A3( e )
maticu tepelnej kapacity
K 
(e)
3
ij


  r c N i N j dV
V 0(e)
vektor tepelných tokov od vnútorného zdroja, vedenia a konvekcie
P  
(e)
i
 q Ni dV   q Ni dA2   h Tr Ni dA3
V 0( e )
A2( e )
A3( e )
prednáška č.8 - 27/XX
Jednorozmerná úloha vedenia
tepla
T(x)
Ti
i
x, A
Tj
j
x
x
L
Uvažujme dvojuzlový čiarový prvok kruhového prierezu (s priemerom d ),
ktorý prenáša teplo vedením a generuje sa v ňom Jouleovo teplo
(vnútorný zdroj tepla - napr. spôsobený prechodom elektrického prúdu).
Teplota v mieste x
T ( x)  N T
(e)

 Ni
Ti   x
N j    1 
T j   L

x  Ti 
 
L  T j 
prednáška č.8 - 28/XX
Jednorozmerná úloha vedenia
tepla
matica teplotnej vodivosti – pre jednorozmerný prvok
K1( e )
K1( e )
L
  N i N j  
 N i N j 
   x 
  dV  x A 
 dx 
x x 
 x x  
0 
V 0( e ) 
Ni N j
1 1
L  Ni Ni
L 1 1


L L
L L
x x
x x
 x A  N N N N  dx  x A 
 dx
1 1
1 1
j
j
j
i
0 
0 
 L L L L 
x x 
 x x

x A  1 1



L  1 1 
prednáška č.8 - 29/XX
Jednorozmerná úloha vedenia
tepla
matica konvekcie - voľná konvekcia z povrchu do okolia
K (2e )


L
A3( e )

0
LN
i Ni
 hd  
0  N j Ni
K (2e )

  h N i N j dV  h  d  N i N j dx 
 13
 h d L 1
6
x x 
L  1  x 2
Ni N j 



1

L
L
L
dx  h  d  
 dx
x
x
x 2
N j N j 
 L  
0
 L 1  L 
1
6
1
3
prednáška č.8 - 30/XX
Jednorozmerná úloha vedenia
tepla
vektor tepelného toku - transformovaný do uzlových bodov
P ( e)   q N i dV   q N i dA2   h T N i dA3
V 0(e)
A2( e )
A3( e )
s uvažovaním iba konvekcie a generovaného Jouleovho tepla
P
(e)
  q
V 0( e )
NiT
dV  
h Tr NiT
A3( e )
LN
LN 

i

dA3  q A   dx  h Tr  d    dx 
0 N j 
0 N j 
i
L 1
L 1
 q A    h Tr  d  
2 1
2 1
prednáška č.8 - 31/XX
Jednorozmerná úloha vedenia
tepla
Rovnice prenosu tepla - pre jednorozmerný prútový prvok - majú
maticový tvar
  K ( e )    K ( e )    Ti    Pi 
  1  ij  2  ij  T   P 
 j   j 
 K 1( e )  K (2e )  T( e )  P ( e )
a po dosadení:
1
  A  1  1

3
 x 

h

d
L


1
 L  1 1 
 6
1  T
  i
6

L 1
L 1

     q A    h Tr  d  
1
2 1
2 1
3
  T j 
prednáška č.8 - 32/XX
Dvojrozmerná úloha vedenia tepla
Ti
T(x)
x
s3
A
i
L
j
s1
s2
x, A
Tj
Uvažujme úlohu prenosu tepla pre dvojrozmerné teleso všeobecného
tvaru (tretí rozmer telesa je rovný 1).
Diferenciálna rovnica vedenia tepla pre stacionárnu teplotnú sústavu má
tvar:
  T    T 
q  0
 x
   y
x  x  y  y 
[W.m-3 ]
prednáška č.8 - 33/XX
Dvojrozmerná úloha vedenia tepla
• Teleso s objemom V0 rozdelíme na noe elementov a non uzlových
bodov (nodes) s plochami A1, A2, A3 s aplikovanými OP
• Teplotu v ľubovoľnom bode elementu vyjadríme ako funkciu teploty
uzlových bodov prvku
matica tvarových funkcií:
vektor teplôt v uzlových bodoch elementu:
prednáška č.8 - 34/XX
Dvojrozmerná úloha vedenia tepla
Ti
T(x)
x
A
s3
i
L
j
s1
s2
x , A
Tj
prednáška č.8 - 35/XX
Dvojrozmerná úloha vedenia tepla
prednáška č.8 - 36/XX
Dvojrozmerná úloha vedenia tepla
prednáška č.8 - 37/XX
Dvojrozmerná úloha vedenia tepla
prednáška č.8 - 38/XX