Transcript prednaska2

Viacrežimové modely s režimami určenými
pozorovateľnými premennými
Modely SETAR (Self-Exciting Threshold Autoregressive)
SETAR je špeciálnym prípadom TAR modelu, kde sa ako indikačná premenná qt
berie hodnota časového radu posunutá v čase o d  N časových intervalov, teda qt =
Xt–d pre určité prirodzené číslo d. Výsledný model sa nazýva SETAR model (SelfExciting TAR). SETAR model je lineárny vo vnútri každého režimu, ale prechádza z
jedného režimu do druhého pri prekročení prahovej hodnoty premennou qt.
2-režimový SETAR model s režimami AR(p1) a AR(p2) má tvar:
 1,0  1,1X t 1    1,p1 X t p1  t
Xt  
2,0  2,1X t 1    2,p2 X t p2  t
ak X t - d  c
ak X t - d  c
resp. pomocou indikačnej funkcie
X t  Yt,1 1IX t d  c   Yt,2  2 IX t d  c   t 
 Yt,1 1 1  IX t d  c   Yt,2  2 IX t d  c   t
kde


Yt,i  (1, X t -1,..., X t pi ) a i   i,0,  i,1,,  i,pi  , i  1, 2
[A] je indikačná funkcia,
{t} je proces bieleho šumu s nulovou strednou hodnotou a rozptylom 2 .
 1,0  1,1X t 1  t
Xt  
2,0  2,1X t 1  t
ak
ak
X t 1  c
X t 1  c
1
Ekvilibrium modelu je v bode X*, ak X* je pevný bod skeletonu t.j. F(X*, ) = X*
alebo (pre tento model ekvivalentné) priesečník skeletonu so 45o priamkou.
c = 0; 1,0 = 2,0 = 0; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5;
Jediné stabilné equilibrium X* = 0, E[Xt]  0
 1,0  1,1X t 1 ak
Xt  
2,0  2,1X t 1 ak
X t 1  c
X t 1  c
c = 0; 1,0 = 2,0 = 0; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = 1
c = 0; 1,0 = 2,0 = 0; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = -1
 1,0  1,1X t 1  t
Xt  
2,0  2,1X t 1  t
c = 0;
ak
ak
X t 1  c
X t 1  c
1,0 = -0.3; 2,0 = 0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5;
Dve stabilné equilibria X1,* = -0.2, X2,* = 0.2
 1,0  1,1X t 1 ak
Xt  
2,0  2,1X t 1 ak
c = 0;
X t 1  c
X t 1  c
1,0 = -0.3; 2,0 = 0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = 1
c = 0; 1,0 = -0.3; 2,0 = 0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = -1
 1,0  1,1X t 1 ak
Xt  
2,0  2,1X t 1 ak
c = 0;
X t 1  c
X t 1  c
1,0 = -0.3; 2,0 = 0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = 1
c = 0; 1,0 = -0.3; 2,0 = 0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = 0
 1,0  1,1X t 1  t
Xt  
2,0  2,1X t 1  t
c = 0;
ak
ak
X t 1  c
X t 1  c
1,0 = -0.3; 2,0 = -0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5;
Jedno stabilné equilibrium X* = -0.2
 1,0  1,1X t 1 ak
Xt  
2,0  2,1X t 1 ak
c = 0;
X t 1  c
X t 1  c
1,0 = -0.3; 2,0 = -0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = 1
c = 0; 1,0 = -0.3; 2,0 = -0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = -1
 1,0  1,1X t 1  t
Xt  
2,0  2,1X t 1  t
c = 0;
ak
ak
X t 1  c
X t 1  c
1,0 = 0.3; 2,0 = -0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5;
Neexistuje equilibrium
 1,0  1,1X t 1 ak
Xt  
2,0  2,1X t 1 ak
c = 0;
X t 1  c
X t 1  c
1,0 = 0.3; 2,0 = -0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = 1
c = 0; 1,0 = 0.3; 2,0 = -0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = -1
Niekedy dva režimy nestačia. V tomto prípade môžu nastať dve situácie:
a) režimy sú charakterizované jednou premennou
b) režimy sú charakterizované kombináciou viacerých premenných.
V prvom prípade za predpokladu m režimov definujeme m + 1 konštant c0, c1, …,
cm, pre ktoré platí:
- = c0 < c1 < … < cm = + .
Model SETAR s AR(pi), i = 1, ..., m v jednotlivých režimoch má v tomto prípade
tvar:
X t  i, 0  i,1X t 1    i,pi X t pi  t
pre ci-1  X t d  ci
Model, v ktorom sú režimy určené kombináciou premennými (napr. Xt-1 a Xt-2) má
za predpokladu prahových konštant c1,c2 a modelu AR(1) vo všetkých režimoch
tvar :
1, 0  1,1X t 1   t
   X  
 2, 0
2,1 t 1
t
Xt  
3, 0  3,1X t 1   t
4, 0  4,1X t 1   t
X t 1  c1 a X t - 2  c 2
X t 1  c1 a X t - 2  c 2
X t 1  c1 a X t - 2  c 2
X t 1  c1 a X t - 2  c 2
Nakreslite 3-režimový SETAR proces (dĺžky n = 500) pre p1 = p3 = 1, p2 = 2, d = 1
s počiatočnými hodnotami X0 = 2, X1 = 2.1. Vypočítajte počet dát v jednotlivých
režimoch.
Model má tvar:

1,0  1,1X t 1  t

X t  2,0  2,1X t 1  2,2 X t  2  t

3,0  3,1X t 1  t

ak X t -1  c1
ak c1  X t -1  c 2
X t -1  c 2
resp. pomocou indikačnej funkcie
X t  Yt,1 1IX t 1  c1  Yt,2  2 Ic1  X t 1  c 2   Yt,3 3 IX t 1  c 2   t
kde






Yt,i  (1, X t -1) a i   i,0, i,1 , i  1, 3, Yt,2  (1, X t -1, X t 2 ) a  2   2,0, 2,1, 2,2
c1= 0.5; c2 = 2; 1,0 = -0.2; 1,1 = -0.8; 2,0 = 0.2; 2,1 = 0.4; 2,2 = -0.2;
3,0 = 0.6; 3,1 = 0.65;
Vyskúšajte tento model aj pre iné počiatočné hodnoty a hodnoty parametrov.
Nakreslite 4-režimový SETAR proces (dĺžky n = 500) pre p1 = p2 = p3 = p4 = 1, v
ktorom sú režimy charakterizované kombináciou premenných Xt-1 a Xt-2 s
počiatočnými hodnotami X0 = 2, X1 = 2.1. Vypočítajte počet dát v jednotlivých
režimoch.
Model má tvar:
1, 0  1,1X t 1   t
   X  
 2, 0
2,1 t 1
t
Xt  
3, 0  3,1X t 1   t
4, 0  4,1X t 1   t
X t 1  c1 a X t - 2  c 2
X t 1  c1 a X t - 2  c 2
X t 1  c1 a X t - 2  c 2
X t 1  c1 a X t - 2  c 2
c1= 0.5; c2 = 2; 1,0 = -0.2; 1,1 = -0.8; 2,0 = 0.2; 2,1 = 0.4;
3,0 = 0.6; 3,1 = -0.2; 4,0 = 0.1; 4,1 = 0.8;
Vyskúšajte tento model aj pre iné počiatočné hodnoty a hodnoty parametrov.
a) Odhad parametrov pre model SETAR
Budeme uvažovať 2-režimový SETAR model s režimami AR(p1) a
AR(p2). Jeho tvar je:
X t  Yt 1IX t d  c   Yt 2 IX t d  c   t
kde

Yt  (1, X t -1,..., X t p ) a i  i,0,  i,1,, i,p
 , i  1, 2
p = max(p1, p2)
[A] je indikačná funkcia s hodnotami [A] = 1, ak udalosť A
nastane a  [A] = 0, ak nenastane
{t} je proces bieleho šumu s nulovou strednou hodnotou a
rozptylom 2 .
Najprv sa metódou najmenších štvorcov odhadnú parametre 1 a 2:
 n

ˆc     Yt c  Yt c  


 t k 1

kde
1
 n

  Yt c  X t 


 t k 1


Yt c  Yt 1  IX t d  c, Yt IX t d  c, k = max(p1, p2. d).
Reziduá:
ˆ t c   X t  ˆ c  Yt c 
Odhad rozptylu:
n
1
2


ˆ 2 c  

ˆ
c
t
n  k t k 1
Odhad parametra c metódou najmenších
minimalizáciou reziduálneho rozptylu:
štvorcov
sa
získa
cˆ  arg min ˆ 2 c 
cC
C musí byť taká, aby každý režim obsahoval minimálne 15% pozorovaní.
Identifikáciu vhodných prahových hodnôt, oneskorení a rádov pi, i =
1, ..., m pre AR(pi) modely v jednotlivých režimoch môžeme robiť
minimalizáciou informačných kritérií.
Tong definoval AIC (Akaike’s Information Criterion) pre m-režimový
SETAR model
m
AIC p1,,pm    ni ln ˆ i2  2 pi  1
i1


kde ni je počet pozorovaní a 
ˆ i2 je reziduálny rozptyl v i-tom režime, i =
1, ..., m .
BIC (Bayesian Information Criterion) pre m-režimový SETAR model
definovali Franses a van Dijk analogicky:
m

BIC p1,,pm    ni ln ˆ i2  pi  1 ln ni
i1

Zadefinujte funkcie na výpočet AIC a BIC. Vypočítajte AIC a BIC pre
vygenerovaný 2-, 3- a 4-režimový SETAR model.
Osnova programu na druhé cvičenie
Odhad parametrov modelu SETAR:
 Nahrať balíky na analýzu časových radov a definičný súbor
 Zadefinovať funkcie pre:
1. indikačnú funkciu
2. premenné pre prvý a druhý režim
3. skeleton (deterministická časť modelu)
4. odhad autoregresných parametrov
5. model SETAR (skeleton + t)
6. informačné kritériá AIC a BIC.
Osnova programu na druhé cvičenie - pokračovanie
 Určiť minimálnu a maximálnu hranicu pre výber parametra c:
1. usporiadať dáta (označiť napr. du)
2. vypočítať k1 = Round[0.075*n], k2 = Round[0.925*n]
3. minimálna hranica pre parameter c je hmin = du[[k1]]
4. maximálna hranica pre parameter c je hmax = du[[k2]]
 Vytvoriť procedúru pre odhad parametrov modelu SETAR ako tri do
seba vnorené cykly:
1. vonkajší cyklus je pre rád p (od 1 po pmax )
2. v ňom je vnorený cyklus pre parameter oneskorenia d (od 1 po p)
3. najvnútornejší cyklus je pre parameter c od hmin po hmax s odporúčaným krokom (hmax – hmin)/100.
 Vypísať najlepší model pre každú hodnotu p v tvare: c, d, p, AIC, BIC