Transcript prednaska2
Viacrežimové modely s režimami určenými
pozorovateľnými premennými
Modely SETAR (Self-Exciting Threshold Autoregressive)
SETAR je špeciálnym prípadom TAR modelu, kde sa ako indikačná premenná qt
berie hodnota časového radu posunutá v čase o d N časových intervalov, teda qt =
Xt–d pre určité prirodzené číslo d. Výsledný model sa nazýva SETAR model (SelfExciting TAR). SETAR model je lineárny vo vnútri každého režimu, ale prechádza z
jedného režimu do druhého pri prekročení prahovej hodnoty premennou qt.
2-režimový SETAR model s režimami AR(p1) a AR(p2) má tvar:
1,0 1,1X t 1 1,p1 X t p1 t
Xt
2,0 2,1X t 1 2,p2 X t p2 t
ak X t - d c
ak X t - d c
resp. pomocou indikačnej funkcie
X t Yt,1 1IX t d c Yt,2 2 IX t d c t
Yt,1 1 1 IX t d c Yt,2 2 IX t d c t
kde
Yt,i (1, X t -1,..., X t pi ) a i i,0, i,1,, i,pi , i 1, 2
[A] je indikačná funkcia,
{t} je proces bieleho šumu s nulovou strednou hodnotou a rozptylom 2 .
1,0 1,1X t 1 t
Xt
2,0 2,1X t 1 t
ak
ak
X t 1 c
X t 1 c
1
Ekvilibrium modelu je v bode X*, ak X* je pevný bod skeletonu t.j. F(X*, ) = X*
alebo (pre tento model ekvivalentné) priesečník skeletonu so 45o priamkou.
c = 0; 1,0 = 2,0 = 0; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5;
Jediné stabilné equilibrium X* = 0, E[Xt] 0
1,0 1,1X t 1 ak
Xt
2,0 2,1X t 1 ak
X t 1 c
X t 1 c
c = 0; 1,0 = 2,0 = 0; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = 1
c = 0; 1,0 = 2,0 = 0; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = -1
1,0 1,1X t 1 t
Xt
2,0 2,1X t 1 t
c = 0;
ak
ak
X t 1 c
X t 1 c
1,0 = -0.3; 2,0 = 0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5;
Dve stabilné equilibria X1,* = -0.2, X2,* = 0.2
1,0 1,1X t 1 ak
Xt
2,0 2,1X t 1 ak
c = 0;
X t 1 c
X t 1 c
1,0 = -0.3; 2,0 = 0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = 1
c = 0; 1,0 = -0.3; 2,0 = 0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = -1
1,0 1,1X t 1 ak
Xt
2,0 2,1X t 1 ak
c = 0;
X t 1 c
X t 1 c
1,0 = -0.3; 2,0 = 0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = 1
c = 0; 1,0 = -0.3; 2,0 = 0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = 0
1,0 1,1X t 1 t
Xt
2,0 2,1X t 1 t
c = 0;
ak
ak
X t 1 c
X t 1 c
1,0 = -0.3; 2,0 = -0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5;
Jedno stabilné equilibrium X* = -0.2
1,0 1,1X t 1 ak
Xt
2,0 2,1X t 1 ak
c = 0;
X t 1 c
X t 1 c
1,0 = -0.3; 2,0 = -0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = 1
c = 0; 1,0 = -0.3; 2,0 = -0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = -1
1,0 1,1X t 1 t
Xt
2,0 2,1X t 1 t
c = 0;
ak
ak
X t 1 c
X t 1 c
1,0 = 0.3; 2,0 = -0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5;
Neexistuje equilibrium
1,0 1,1X t 1 ak
Xt
2,0 2,1X t 1 ak
c = 0;
X t 1 c
X t 1 c
1,0 = 0.3; 2,0 = -0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = 1
c = 0; 1,0 = 0.3; 2,0 = -0.1; 1,1 = -0.5; 2,1 = 0.5; X0 = -1
Niekedy dva režimy nestačia. V tomto prípade môžu nastať dve situácie:
a) režimy sú charakterizované jednou premennou
b) režimy sú charakterizované kombináciou viacerých premenných.
V prvom prípade za predpokladu m režimov definujeme m + 1 konštant c0, c1, …,
cm, pre ktoré platí:
- = c0 < c1 < … < cm = + .
Model SETAR s AR(pi), i = 1, ..., m v jednotlivých režimoch má v tomto prípade
tvar:
X t i, 0 i,1X t 1 i,pi X t pi t
pre ci-1 X t d ci
Model, v ktorom sú režimy určené kombináciou premennými (napr. Xt-1 a Xt-2) má
za predpokladu prahových konštant c1,c2 a modelu AR(1) vo všetkých režimoch
tvar :
1, 0 1,1X t 1 t
X
2, 0
2,1 t 1
t
Xt
3, 0 3,1X t 1 t
4, 0 4,1X t 1 t
X t 1 c1 a X t - 2 c 2
X t 1 c1 a X t - 2 c 2
X t 1 c1 a X t - 2 c 2
X t 1 c1 a X t - 2 c 2
Nakreslite 3-režimový SETAR proces (dĺžky n = 500) pre p1 = p3 = 1, p2 = 2, d = 1
s počiatočnými hodnotami X0 = 2, X1 = 2.1. Vypočítajte počet dát v jednotlivých
režimoch.
Model má tvar:
1,0 1,1X t 1 t
X t 2,0 2,1X t 1 2,2 X t 2 t
3,0 3,1X t 1 t
ak X t -1 c1
ak c1 X t -1 c 2
X t -1 c 2
resp. pomocou indikačnej funkcie
X t Yt,1 1IX t 1 c1 Yt,2 2 Ic1 X t 1 c 2 Yt,3 3 IX t 1 c 2 t
kde
Yt,i (1, X t -1) a i i,0, i,1 , i 1, 3, Yt,2 (1, X t -1, X t 2 ) a 2 2,0, 2,1, 2,2
c1= 0.5; c2 = 2; 1,0 = -0.2; 1,1 = -0.8; 2,0 = 0.2; 2,1 = 0.4; 2,2 = -0.2;
3,0 = 0.6; 3,1 = 0.65;
Vyskúšajte tento model aj pre iné počiatočné hodnoty a hodnoty parametrov.
Nakreslite 4-režimový SETAR proces (dĺžky n = 500) pre p1 = p2 = p3 = p4 = 1, v
ktorom sú režimy charakterizované kombináciou premenných Xt-1 a Xt-2 s
počiatočnými hodnotami X0 = 2, X1 = 2.1. Vypočítajte počet dát v jednotlivých
režimoch.
Model má tvar:
1, 0 1,1X t 1 t
X
2, 0
2,1 t 1
t
Xt
3, 0 3,1X t 1 t
4, 0 4,1X t 1 t
X t 1 c1 a X t - 2 c 2
X t 1 c1 a X t - 2 c 2
X t 1 c1 a X t - 2 c 2
X t 1 c1 a X t - 2 c 2
c1= 0.5; c2 = 2; 1,0 = -0.2; 1,1 = -0.8; 2,0 = 0.2; 2,1 = 0.4;
3,0 = 0.6; 3,1 = -0.2; 4,0 = 0.1; 4,1 = 0.8;
Vyskúšajte tento model aj pre iné počiatočné hodnoty a hodnoty parametrov.
a) Odhad parametrov pre model SETAR
Budeme uvažovať 2-režimový SETAR model s režimami AR(p1) a
AR(p2). Jeho tvar je:
X t Yt 1IX t d c Yt 2 IX t d c t
kde
Yt (1, X t -1,..., X t p ) a i i,0, i,1,, i,p
, i 1, 2
p = max(p1, p2)
[A] je indikačná funkcia s hodnotami [A] = 1, ak udalosť A
nastane a [A] = 0, ak nenastane
{t} je proces bieleho šumu s nulovou strednou hodnotou a
rozptylom 2 .
Najprv sa metódou najmenších štvorcov odhadnú parametre 1 a 2:
n
ˆc Yt c Yt c
t k 1
kde
1
n
Yt c X t
t k 1
Yt c Yt 1 IX t d c, Yt IX t d c, k = max(p1, p2. d).
Reziduá:
ˆ t c X t ˆ c Yt c
Odhad rozptylu:
n
1
2
ˆ 2 c
ˆ
c
t
n k t k 1
Odhad parametra c metódou najmenších
minimalizáciou reziduálneho rozptylu:
štvorcov
sa
získa
cˆ arg min ˆ 2 c
cC
C musí byť taká, aby každý režim obsahoval minimálne 15% pozorovaní.
Identifikáciu vhodných prahových hodnôt, oneskorení a rádov pi, i =
1, ..., m pre AR(pi) modely v jednotlivých režimoch môžeme robiť
minimalizáciou informačných kritérií.
Tong definoval AIC (Akaike’s Information Criterion) pre m-režimový
SETAR model
m
AIC p1,,pm ni ln ˆ i2 2 pi 1
i1
kde ni je počet pozorovaní a
ˆ i2 je reziduálny rozptyl v i-tom režime, i =
1, ..., m .
BIC (Bayesian Information Criterion) pre m-režimový SETAR model
definovali Franses a van Dijk analogicky:
m
BIC p1,,pm ni ln ˆ i2 pi 1 ln ni
i1
Zadefinujte funkcie na výpočet AIC a BIC. Vypočítajte AIC a BIC pre
vygenerovaný 2-, 3- a 4-režimový SETAR model.
Osnova programu na druhé cvičenie
Odhad parametrov modelu SETAR:
Nahrať balíky na analýzu časových radov a definičný súbor
Zadefinovať funkcie pre:
1. indikačnú funkciu
2. premenné pre prvý a druhý režim
3. skeleton (deterministická časť modelu)
4. odhad autoregresných parametrov
5. model SETAR (skeleton + t)
6. informačné kritériá AIC a BIC.
Osnova programu na druhé cvičenie - pokračovanie
Určiť minimálnu a maximálnu hranicu pre výber parametra c:
1. usporiadať dáta (označiť napr. du)
2. vypočítať k1 = Round[0.075*n], k2 = Round[0.925*n]
3. minimálna hranica pre parameter c je hmin = du[[k1]]
4. maximálna hranica pre parameter c je hmax = du[[k2]]
Vytvoriť procedúru pre odhad parametrov modelu SETAR ako tri do
seba vnorené cykly:
1. vonkajší cyklus je pre rád p (od 1 po pmax )
2. v ňom je vnorený cyklus pre parameter oneskorenia d (od 1 po p)
3. najvnútornejší cyklus je pre parameter c od hmin po hmax s odporúčaným krokom (hmax – hmin)/100.
Vypísať najlepší model pre každú hodnotu p v tvare: c, d, p, AIC, BIC