Sústavy lineárnych rovníc Úvod Grafické riešenie Príklad 1 Príklad 2 Príklad 3 dosadzovacia metóda sčítacia metóda pomocou matíc pomocou determinantov Numerické riešenie Kontakty, zdroje Úvod Sústava dvoch alebo viacerých lineárnych rovníc je konjunkcia týchto.
Download ReportTranscript Sústavy lineárnych rovníc Úvod Grafické riešenie Príklad 1 Príklad 2 Príklad 3 dosadzovacia metóda sčítacia metóda pomocou matíc pomocou determinantov Numerické riešenie Kontakty, zdroje Úvod Sústava dvoch alebo viacerých lineárnych rovníc je konjunkcia týchto.
Sústavy lineárnych rovníc
Grafické riešenie
Numerické riešenie
Úvod
Sústava dvoch alebo viacerých lineárnych rovníc je konjunkcia týchto rovníc. Riešiť v R n sústavu rovníc znamená určiť všetky usporiadané n-tice reálnych čísel, ktoré vyhovujú všetkým rovniciam sústavy.
Sústavu lineárnych rovníc môžeme riešiť graficky alebo numericky . Poznáme viacero numerických metód riešenia.
V RxR riešte sústavu
2x + 5y = 2 2x - y = -10
Grafické riešenie – Pr. 1
Kliknutím na obr. sa spustí program, v ktorom môžeme interaktívne riešiť graficky rôzne sústavy.
f
:
y
2
x
2 5 x y 1 0 6 -2
g
:
y
2
x
10 x -5 -2 y 0 6
K 4 , 2 Sústava má jedno riešenie.
V RxR riešte sústavu:
2x + y = -3 4x + 2y = 3
Grafické riešenie – Pr. 2
Kliknutím na obr. sa spustí program, v ktorom môžeme interaktívne riešiť graficky rôzne sústavy.
f
:
y
2
x
3
g
:
y
4
x
3 2 x 0 -2 y -3 1 x 0 2 y 1,5 -2,5
K Sústava nemá riešenie.
V RxR riešte sústavu
3x + y = 3 6x + 2y = 6
f
:
y
3
x
3
Grafické riešenie – Pr. 3
Kliknutím na obr. sa spustí program, v ktorom môžeme interaktívne riešiť graficky rôzne sústavy.
x 0 2 y 3 -3
g
:
y
6
x
6 2 x 1 -1 y 0 6
K
x
,
y
RxR, y -3x 3 x R Sústava má nekonečne veľa riešení.
Numerické riešenie – dosadzovacia metóda
V RxR riešte sústavu
2x + 5y = 2 2x - y = -10
z 2.
rovnice vyjadríme dosadíme do 1.
rovnice :
y
2
x
2
x
5 .
2 10
x
10 12
x
48 dosadíme za x a vyjadríme
x
4 y :
y y
2 2 .
2 10 K 4 , 2 Sústava má jedno riešenie.
Numerické riešenie – sčítacia metóda
V RxR riešte sústavu
2x + y = -3 4x + 2y = 3
Prvú rovnicu vynásobíme číslom -2 a sčítame s druhou rovnicou: 4
x
4
x
2
y
2
y
6 3 _________ 0 9 ...
nepravdivý výrok K Sústava nemá riešenie.
Numerické riešenie - matice
V R 3 riešte sústavu: 4x - y - 2z = 12 4x + y - 7z = 3 5x - 4y - 6z = 17 •koeficienty pri neznámych aj z pravej strany rovnice prepíšeme do matice •vhodnými ekvivalentnými úpravami upravujeme maticu na trojuholníkový tvar •upravenú maticu prepíšeme na sústavu a vyjadríme neznáme .(-1) + 4 4 5 1 1 4 2 7 6 12 3 17 .5
.(-4) + ~ 4 0 0
1 2 0 2 5 1 12 9 1
z
1 4 ~ 0 0 1 2 11 2 5 14 12 9 8 .11
.(-2) 4 + ~ 0 0 1 2 0 2 5 83 12 9 83 ~ :(-83) 2
y
4
x
5 .
1 1 .
9 2 .
1 12
y
2
x
3
K
Riešenie si skontrolujte v programe, ktorý sa spustí po kliknutí na obr.
V programe si môžete vygenerovať a vyriešiť ďalšie sústavy rovníc.
3 , 2 , 1
D
Numerické riešenie - determinanty
V R 3 riešte sústavu: x - 3y + z = 10 7x - 3y - 6z = -13 5x + 3y + z = 12 •koeficienty pri neznámych prepíšeme do determinantu sústavy D •rozvinieme determinant napr. podľa prvého riadku, determinanty 2x2 vypočítame pomocou krížového pravidla kontrol a 1 3 1 7 5 3 3 6 1 1 1 1 .
1 .
3 3 6 1 .
7 5 6 1 1 3 .
1 .
7 5 3 3 1 .
.
1 .
3 3 .
7 .
1 .
5 1 .
7 .
3 .
5 15 3 .
37 36 162 •determinanty D x , D y , D z , získame tak, že namiesto koeficientov pri neznámej napíšeme koeficienty z pravej strany sústavy •výpočet je analogicky ako sme popísali pri výpočte determinantu D 10 3 1 1 10 1 1 3 10
D x
13 3 6 324
D y
7 13 6 162
D z
7 3 13 810
12 3 1 5 12 1 5 •podľa Cramerovho pravidla vypočítame neznáme 3 12
x
D x D
324 162 2 ,
y
D y D
162 162 1 ,
z
D z D
810 162 5
K
2 , 1 , 5
Kontakty, zdroje
Autorka: RNDr. Marta Mlynarčíková, Gymnázium P. O. Hviezdoslava v Kežmarku [email protected]
www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova V prezentácii sú použité programy: Algebra- Solving Equations Graphically (http://www.visualmath.com) SOC_F (program vytvorený v práci SOČ – Marián Hello, Július Gajdzík, 1998)