Transcript ORIGAMI V MATEMATIKE

ORIGAMI
V MATEMATIKE
RNDr. Marta Mlynarčíková
Gymnázium P. O. Hviezdoslava,
Kežmarok
Origami technika v matematike
• V matematike, na rozdiel od fyziky, chémie a biológie, je oveľa
menej príležitostí naozaj uchopiť do rúk nejaký objekt a urobiť
reálny experiment.
• Origami technika nám poskytuje takú možnosť - priamku, bod,
úsečku, uhol, trojuholník, mnohouholník a ďalšie útvary,
pojmy a vzťahy medzi nimi môžeme modelovať prekladaním
papiera.
• K modelovaniu geometrických situácií prekladaním papiera
nepotrebujeme žiadne zvláštne pomôcky. Stačia nám voľné
listy papiera, prípadne ceruzka a nožnice.
• Origami modely rôznych telies ukazujú peknú symetriu a
prepojenie umenia s matematikou.
Moje aktivity
• Origami je mojou dlhoročnou individuálnou záľubou.
• Dva školské roky som na našej škole viedla záujmový krúžok
origami.
• Najaktívnejšie členky krúžku pod mojim vedením dosiahli
v SOČ s prácami o origami výborné umiestnenia – v šk. roku
2011/2012 – 1. miesto v krajskom aj celoštátnom kole
v odbore Problematika voľného času – práca ORIGAMI,
v šk. roku 2012/2013 - 1. miesto v krajskom kole v odbore
Matematika a fyzika – práca MATEMATIKA A ORIGAMI
• Niektoré aktivity s origami technikou som aj prakticky
vyskúšala na vyučovacích hodinách matematiky.
Origami – tradičné umenie verzus
moderná veda
Počítačová simulácia nafúknutého
Prierez cievy čiastočne zablokovanej usadeninami a spriechodnenej
airbagu.
implantovaním stentu
prevzaté z
prevzaté z http://www.heartsite.com/html/stent.html
http://web.iitd.ac.in/~achawla/femesh.htm
Nábytok v tvare orgiami skladačiek - prevzaté z
http://www.novinky.cz/bydleni/tipy-a-trendy/215638-nabytek-podle-pravidel-skladanky-origami-pusobi-lehce-a-krehce.html
Matematické princípy origami
• Axiómy origami
Obrázky prevzaté z http://origami.webz.cz/matematika/pdf/axiomy.pdf
H-U =2
Dvoj–zafarbiteľnosť záhybového vzoru
Počítanie uhlov okolo vrcholu
Počítanie záhybov hora a údolie
Schémy prijateľných
usporiadaní vrstiev
Obrázky prevzaté z
http://www.ted.com/talks/lang/en/robert_lang_folds_way_new_origami.html
Výpočty súvisiace s veľkosťou
origami kocky
2
2
 x  x
a        x  2. 2 .a  2,83.a
4 4
2
a
a - dĺžka hrany kocky
x - dĺžka strany papierového štvorca
potrebného na poskladanie jedného
modulu
2 .x
 0,35.x
4
Origami v školskej matematike
• Origami bolo zahrnuté aj do učebných osnov na
základných školách vo viacerých krajinách sveta.
Používa sa na hodinách výtvarnej výchovy,
matematiky, geometrie ako zábavný spôsob
výučby.
• Origami cibrí trpezlivosť, matematické myslenie,
geometrické
schopnosti,
zlepšuje
jemnú
motoriku.
• Existujú testy, ktoré ukázali, že po skladaní
origami vnímajú študenti lepšie geometrické
súvislosti v matematike.
Ukážky z pracovných listov
ZÁKLADNÉ PRVKY A VLASTNOSTI TROJUHOLNÍKA
Ťažnice a stredné priečky
Súčet vnútorných uhlov v trojuholníku
PYTAGOROVA VETA
a.b

2
 a 2  b 2  2.a.b
S  a 2  b 2  4.
a 2  b 2  2.a.b  c 2  2.ab  a 2  b 2  c 2
a.b

2
 c 2  2.a.b
S  c 2  4.
animácie
ZHODNÉ ZOBRAZENIA
Úloha 2:
Daný je trojuholník ABC a jeho vnútorný bod M. Zostrojte úsečku XY tak, že
body X, Y ležia na hranici trojuholníka ABC a bod M je stredom úsečky XY.
Úloha 6 c):
Daná je hracia biliardová plocha (obdĺžnik KLMN) a poloha dvoch
biliardových gulí (body A,B). Nájdite dráhu biliardovej gule tak, aby po
odraze od dvoch susedných mantinelov trafila guľu B.
ZHODNÉ A PODOBNÉ TROJUHOLNÍKY
Úloha 4: Kristína je majiteľkou začínajúcej malej firmy na výrobu a
predaj geometrických materiálov. Chce sa s vami poradiť o novom produkte –
papieri na skladanie rovnoramenných trojuholníkov. Povie vám: "Chcem
predať papier, ktorý vytvára 2 rovnoramenné trojuholníky, ktoré sú navzájom
zhodné. To znamená, že keď preložíš papier tak, že bod A sa dostane do
bodu C, trojuholníky EDC a FGC by mali byť nielen zhodné ale aj
rovnoramenné. Nie všetky obdĺžnikové papiere sú na to vhodné, preto
potrebujem vašu pomoc. Pomôžte mi nájsť 3 rôzne veľkosti obdĺžnikového
papiera, ktoré budú vytvárať páry navzájom zhodných rovnoramenných
trojuholníkov."
DC  AB  CG  GF  a
DA  CB  b
EC  EA  CF  x
EDC : a 2  a 2  x 2  x  a. 2


b  a  x  a  a. 2  a. 1  2  2,41.a
Vyhovujúce formáty sú napríklad:
12,3 cm x 29,7 cm, 8,7 cm x 21 cm , 3,7 cm x 9 cm.
Pravidelné mnohosteny
• Pravidelný mnohosten nazývaný aj platónske teleso je taký konvexný
mnohosten, ktorého všetky steny sú zhodné pravidelné mnohouholníky.
Pre pravidelné mnohosteny platí, že z každého vrcholu vychádza rovnaký
počet hrán a v každom vrchole sa stretáva rovnaký počet stien. Týmto
telesám môžeme vpísať aj opísať guľovú plochu, pričom obe guľové plochy
majú spoločný stred.
• Existuje práve päť pravidelných mnohostenov.
• Všetky pravidelné mnohosteny sa dajú poskladať z papiera – sú
vytvorené z modulov ale na ich spájanie nepotrebujeme lepidlo. Návody
na skladanie sú v spomínaných prácach SOČ.
Video návod na origami modely všetkých pravidelných mnohostenov
Návody na skladanie mnohostenov
Obrázkový návod na
jednoduchú kocku
Video návod na
pravidelný dvadsaťsten
Na YouTube a iných webových stránkach
je množstvo origami návodov.
Návod pomocou diagramov
na vodnú bombu
Vlastné modely pravidelných
mnohostenov
návod
návod
návod
návod
návod
návod
návod
návod
návod
návod
návod
návod
návod
návod-1
návod-2
Modely zložitejších telies
Návod-1
návod
návod
návod
návod
Návod-2
návod
návod
návod
návod
návod
návod
návod
návod
návod
návod-1
návod
návod
návod
návod
návod
návod
Na hodine
matematiky
Videonahrávky zaujímavých prednášok
•
LANG, Robert : The math and magic of origami, Flapping Birds and Space Telescopes. Prednáška 2008.
Dostupné z
http://www.ted.com/talks/lang/eng/robert_lang_folds_way_new_origami.html
www.ted.com/talks/lang/sk/robert_lang_folds_way_new_origami.html
Videonahrávka prednášky o využití origami v rôznych oblastiach vedy a techniky
•
TOM HULL ON EDUCATION WITH ORIGAMI
http://www.youtube.com/watch?v=aJ7OUaQEbOk - 1. časť
http://www.youtube.com/watch?v=0efAq4gOwVI – 2. časť
Videonahrávka prednášky o využití origami vo vyučovaní
•
MATH ENCOUNTERS - THE GEOMETRY OF ORIGAMI - ERIK DEMAINE (FULL WORKSHOP)
http://www.youtube.com/watch?v=DHVjPxZLviA
Videonahrávka z workshopu
•
MATH ENCOUNTERS - THE GEOMETRY OF ORIGAMI - ERIK DEMAINE
http://www.youtube.com/watch?v=oUnNkHGXefA – 1. časť
http://www.youtube.com/watch?v=2CDQFvDAZCw – 2. časť
http://www.youtube.com/watch?v=HqYiysiNAsk – 3. časť
http://www.youtube.com/watch?v=864SK_iMeyQ – 4. časť
Videonahrávka prednášky o geometrii a origami
ĎAKUJEM ZA POZORNOSŤ
A PRÍPADNÝM ZÁUJEMCOM
PRAJEM VEĽA
PEKNÝCH ZÁŽITKOV
S ORIGAMI DOMA AJ V ŠKOLE.
Marta Mlynarčíková
Kontakt: [email protected]