Transcript z = 1 + i
NỘI DUNG BÀI HỌC:
1. SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC.
a, Acgumen của số phức z ≠ 0
b, Dạng lượng giác của số phức.
2. NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG
LƯỢNG GIÁC
3. CÔNG THỨC MOA-VRƠ (MOIVRE)
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1.
a, Hãy biểu diễn các số phức sau lên
mặt phẳng phức, tìm một acgumen
của chúng.
z1 = -3; z2 = -2 - 2i; z3 = -2i; z4= 4 + 4i
b, Viết các số phức sau dưới dạng
lượng giác.
.z1 = 1 + i
.z2 = 1 – 3i
1. SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC.
a, Agumen của số phức z (z ≠ 0)
1. SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC.
a, Agumen của số phức z (z ≠ 0)
Định nghĩa:
Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng
phức biểu diễn số phức z. Số đo (rađian) của mỗi
góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM được
gọi là một acgumen của z
CHÚ Ý:
Nếu φ là một acgumen của z thì mọi acgumen của z
có dạng φ + k2π ( k Ƶ)
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1:
a, Hãy biểu diễn các số phức sau lên mặt
phẳng phức, tìm một acgumen của chúng.
z1 = -3; z2 = -2 - 2i; z3 = -2i; z4= 4 + 4i
y
4
D (z4=4+4i)
3
2
1
-3 -2
A(z1=-3)
-1
1
O
2
-1
3
4
x
φ1 = (Ox,OA) = π
-2
B (z2=-2-2i)
C(z3=-2i)
φ2 = (Ox,OB)= 5π/4
φ3 = (Ox,OC) = 3π/2
φ4 = (Ox, OD) = π/4
NHẬN XÉT:
Mối quan hệ giữa acgumen của hai số phức z và lz
(z≠0, l lR\{0})
Hai số phức z và lz (z≠0, l lR\{0}) có acgumen sai
khác nhau k2π, ( k Ƶ), vì các điểm biểu diễn của
chúng thuộc cùng tia gốc O.
b, Dạng lượng giác của số phức z = a+bi
(z ≠ 0; a,b R)
Ta có: z = a + bi
a
b
= a +b ( 2 2 + 2 2 i )
a +b
a +b
Đặt r = a2+b2
a
b
cosφ = 2 2 ; sinφ =
a +b
a2+b2
2
Với φ = (Ox,OM)
2
Dạng lượng giác của số phức z = a+bi (z ≠ 0; a,b R)
là:
z = r(cosφ + sinφ)
với
r = a2+b2
cosφ= a/r ; sinφ= b/r
Ta gọi : r là modun của số phức z
φ là acgumen của số phức z
Để tìm dạng lượng giác z= r(cosφ + sinφ) cua số
phức z= a+bi (z≠0) cho trước, ta cần :
Bước 1: Tìm r : modun của z, r =
a2+b2
r cũng là khoảng cách từ gốc O đến M biểu
diễn số z trong mặt phẳng phức
Bước 2: Tìm φ : acgumen của z ; φ là số thực sao
cho cos φ = a/r và sin φ = b/r. Số φ cũng là
số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối
OM.
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1:
b, viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
.z1 = -z
1 1+=1
i + i .ta có: .r = 1+1 = 2
.z2 = 1 – 3i
1
1
cosφ =
; sinφ =
2
2
π
→φ=4
π
π
Vậy z1 = 2(cos4 + isin4 )
.z2= 1- 3. Ta có:
.r = 1+3 =2
1
- 3
cosφ= 2 , sinφ = 2
-π
→φ= 3
-π
-π
Vậy z2= 2(cos( 3 ) + isin( 3 ))
2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho z1= r1(cosφ1+ sin φ1)
z2 = r2(cos φ2+sin φ2)
Tính z1.z2 và z1/z2
Ta có z1.z2= r1r2(cos φ1+isin φ1)(cos φ2+isin φ2)
=r1r2(cos (φ1+ φ2) + isin(φ1+ φ2))
1
Ta có z =r2(cos(-φ2) + isin(-φ2))
2
z1
1
=
z
1.
z2
z2
r1
= r (cos(φ1- φ2)+isin(φ1- φ2))
2
z1 r1
Vậy z = r (cos(φ1- φ2)+isin(φ1- φ2))
2
2
Các công thức in đậm là các công thức nhân và
chia 2 số phức dưới dạng lượng giác.
3. Công thức Moivre:
Phiếu học tập số 2
Cho 2 số phức:
.z1= 1 + i
.z2= 1 - 3 i
Tính (z1)4 và (z2)5
Áp dụng công thức tích của 2 số phức dưới
dạng lượng giác như sau:
z1z2= r1r2(cos(φ1+ φ2) + isin(φ1+ φ2))
-Nếu z1=z2 thì:
z1z2= (z1)2=r12 (cos (φ1+ φ1) + isin(φ1+ φ2))
= (r1)2(cos2 φ1 + isin2 φ1)
Vậy (z1)2 = (r1)2(cos2φ1 + isin2φ1)
TỔNG QUÁT:
(z)n= rn(cosnφ + isinnφ) → CÔNG THỨC
MOIVRE
PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2:
Cho 2 số phức:
.z1= 1 + i
.z2= 1 - 3 i
4
5
Tính (z1) và (z2)
*z=1+i
Ta có z1= 1+i
π
π
→ z1= 2 (cos 4 + isin 4 )
π
π
4
4
→(z1) = ( 2) (cos4 4 +isin4 4 )
= 4.(cosπ +isinπ)
= -4
z2 = 1 - 3i
ta có: z2 = 1 - 3i
-π
-π
→ z2 = 2(cos( 3 ) + isin( 3 ))
-π
-π
5
4
→ (z2) = 2 (cos5( 3 )+isin5( 3 ))
= 16(1- 3 i)