Csaba Lehocký

meranie uhlov

stup. miera

(30°, 78°)

oblúk. miera

(1 radián = 1 rad = 57°17’45’’)

jednotková kružnica

s α s – dĺžka oblúka (od nej závisí veľkosť uhla)

Zo stupňovej na oblúkovú

2.π 360

 .



napr.

: 120

 

2.π 360



.120

 

2 3 π rad

Z oblúkovej na stupňovú

180



.x

π napr.

: π 6



180 π .

π 6



30



Funkcia

f

je periodická s periódou

p

väčšou ako 0, ak pre x є D(f), k є Z platí: x + k.p є D(f) f (x + k.p) = f(x) y M sin α Funkcia sin α priradí uhlu α y-ovú súradnicu bodu M.

Funkcia cos α priradí uhlu α x-ovú súradnicu bodu M.

α cos α x

1 0,5 -135° -90° -45° 0 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° -0,5 D(f) = R H(f) = <-1,1> - rastúca <-90°,90°> + 2kπ - klesajúca <90°,270°> + 2kπ - ohraničená z hora aj z dola - MAX: 90° + 2kπ - MIN: 270° + 2kπ - nepárna - periodická = 360°  2kπ - simetrická podľa počiatku -1 sin α

I.

+

II.

+

III.

-

IV.

-

1 0,5 -135° -90° -45° 0 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° -0,5 D(f) = R H(f) = <-1,1> - rastúca <180°,360°> + 2kπ - klesajúca <0°,180°> + 2kπ - ohraničená z hora aj z dola - MAX: 0° a 360° + 2kπ - MIN: 180° + 2kπ - párna - periodická = 360°  2kπ - simetrická podľa osi y -1 cos α

I.

+

II.

-

III.

-

IV.

+

každá funkcia, pre ktorú platí: y  sin x cos x každá funkcia, pre ktorú platí: y  cos x sin x y cotg α M tg α Funkcia tg α priradí uhlu α y-ovú súradnicu bodu M.

Funkcia cotg α priradí uhlu α x-ovú súradnicu bodu M.

α x

1 0,5 -135° -90° -45° 0 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° -0,5 D(f) = R – 90° (2k + 1) H(f) = R - rastúca - neohraničená - nemá MIN ani MAX - nepárna - periodická = 180°  kπ -1 tg α

I.

+

II.

-

III.

+

IV.

-

1 0,5 -135° -90° -45° 0 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° -0,5 D(f) = R – k.180° H(f) = R - klesajúca - neohraničená - nemá MIN ani MAX - nepárna - periodická = 180°  kπ -1 cotg α

I.

+

II.

-

III.

+

IV.

-

rad sin cos tg 0° 0 0 1 0 cotg ––– 30° π 6 1 2 3 2 3 3 3 45° π 4 2 2 2 2 1 60° π 3 2 1 2 3 90° π 2 1 0 3 ––– 180° 270° 360° π 0 -1 0 3π 2 -1 0 ––– 2π 0 1 0 1 3 3 0 ––– 0 –––

I. kvadrant

sin α cos α tg α cotg α

II. kvadrant

sin (180° – α) - cos (180° – α) - tg (180° – α) - cotg (180° – α)

III. kvadrant

- sin (α – 180°) - cos (α – 180°) tg (α – 180°) cotg (α – 180°)

IV. kvadrant

-sin (360° – α) cos (360° – α) - tg (360° – α) - cotg (360° – α)

y

1 cos α

sin α   1 cos 2 α

1 = sin 2 α + cos 2 α

cos α   1 sin 2 α M

sin α

tg α  sin α cos α cotg α  cos α sin α x tg α .

cotg α  1  cotg α  1 tg α

Pr.: Určte ostatné uhly bez toho aby ste uhol vypočítali.

a) sin α = 2/3 (α є I. kv) b) cos α  1 sin 2 α  1 c) 2 4 9 tg α  3 5  3.

6 5 .

5 5   2.

5 5 5 9  3 5 3 d) cotg α  2 1 5  2.

5 5 .

5 5  5.

2.5

5  2 5 5

sin (α  β)  sin α cosβ  cosα sin β cos (α  β)  cosα cosβ  sin α sin β tg (α  β)  1 tgα   tgβ tgα tgβ sin 2x  2sinx.cosx

cos 2x  cos 2 x.sin

2 x tg 2x  1 2 tg x tg 2 x cos y 2  1  cosy 2 sin y 2  1  cosy 2 y tg 2  1  cosy 1  cosy sin α  sin β  2sin α  β .cos

2 α  β 2 cos α  cos β cos α  cos β   2cos  2sin α  α 2  β .cos

β .sin

2 α  α 2  2 β β