Transcript Normálne rozdelenie náhodnej veličiny

Normálne rozdelenie
N(,2)
Normálne rozdelenie
(Gauss – Laplaceove rozdelenie)
Pravdepodobnostný model chovania sa veľkého počtu náhodných
javov
Používa sa pri náhodných veličinách, ktoré sú súčtom veľkého
počtu nezávislých alebo len slabo závislých hodnôt
Príklady:
výška, hmotnosť, chyby merania, ...
Vlastnosti normálneho rozdelenia
Za určitých podmienok je možné pomocou Normálneho
rozdelenia aproximovať rad iných spojitých i diskrétnych
rozdelení
Je symetrické okolo strednej hodnoty, ktorá je súčasne
mediánom aj modusom
Hustota pravdepodobnosti normálneho
rozdelenia
1
 ( x) 
e
 2

x   2

2 2
, 2 sú parametre normálneho rozdelenia
E(x)= je stredná hodnota, ktorá charakterizuje polohu
rozdelenia a je to hodnota s maximálnou hustotou
V(x)=2 je rozptyl, variancia
Graf hustoty pravdepodobnosti
Normálne rozdelenie má tvar zvonovitej krivky, ktorá nadobúda
maximum v bode x= a pri x sa asymptoticky približuje k osi
x
60
50
40
30
20
Histogram
Polygón početností
0.46
0.39
0.33
0.26
0.20
0.13
0.07
0.00
-0.07
-0.13
-0.20
-0.26
-0.33
-0.39
0
-0.46
10
Gaussova krivka
Distribučná funkcia
1
F ( x) 
 2
x
e
( x )2

2 2
dx

Je tabuľkovaná pre hodnoty normovanej normálnej veličiny u
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61
Normované normálne rozdelenie N(0,1)
Parametre normovaného normálneho rozdelenia:
  E ( x)  0
 2  V ( x)  1
Normovaná náhodná veličina u
u
x

Každé normálne rozdelenie N(,2) je možné pomocou
transformácie upraviť na normované N(0,1)
Hustota pravdepodobnosti a distribučná
funkcia N(0,1)
Hustota pravdepodobnosti normovaného normálneho
rozdelenia
u2

2
1
 (u ) 
e
2
je symetrická okolo nuly, preto platí:
 (  u )  1   (u )
Distribučná funkcia
1
F (u ) 
2
u
e

u2

2
du
Transformácie N(,2)  N(0,1)
Pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne
hodnoty z intervalu x1 až x2
 x1   x   x2   
P ( x1  X  x2 )  P 




 
 
 P (u1  U  u 2 )  F (u 2 )  F u1 
Pravdepodobnosť, že náhodná premenná X je menšia než
vopred zvolená hodnota x
 x x 
P ( X  x)  P

  P (U  u )  F (u )
 
 
Hodnoty uvádzané v tabuľkách
u
x

 ( x  u    )   (u )
F ( x  u    )  F (u )
V tabuľkách sú uvádzané nezáporné hodnoty
 (  u )   (u )
F (  u )  1  F (u )
Laplaceova funkcia
 V tabuľkách sa často uvádza namiesto distribučnej funkcie
 Využíva symetrie distribučnej funkcie
1
G (u ) 
 Vlastnosti 2
u
e
u2

2
du  F (u )  0,5
0
G (0)  0
G ( )  0,5
G (  u )   G (u )
G (  )  0,5
Gaussova krivka
 Blíži sa asymptoticky k osi x
 V bodoch ±1 má inflexné body
 Dotyčnice v inflexných bodoch pretínajú os x v bodoch
±2
 Polomer krivosti vo vrchole
 Maximálna poradnica v osi y
r 
2
y
1
0,0
39894
y0 


 2
Vlastnosti Gaussovej krivky
 Malé chyby majú najväčšiu početnosť a koncentrujú
sa okolo strednej hodnoty
 Cyby hrubé sú za hranicou 3
 Koeficient šikmosti
 Koeficient špicatosti
A   3 (u ) 
E x  E ( x) 
3

3
4
E   4 (u )  3  4  3  0

3
 3 0

Porovnanie normálnych rozdelení s rôznymi
parametrami
Porovnanie normálnych rozdelení
0,5
N(0,1)
funkcia hustoty
0,4
N(0,1.5)
0,3
N(1,1)
0,2
0,1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
pravidlo 6 - sigma
0,45
0,35
0,25
0,15
0,05
-3
-2
-
-2
-3
-1
-0,05 0
68,26%
95,45%
99,73%
1
2
3
+
+2
+3