Stochasticke_ modelovanie_P1
Download
Report
Transcript Stochasticke_ modelovanie_P1
Prednáška 1
STOCHASTICKÉ MODELY A SIMULÁCIE
1. STOCHASTICKÉ MODELOVANIE
Ekonomicko – matematické modely:
deterministické
stochastické
vlastné stochastické modely
indeterministické modely
Stochastické modelovanie
STOCHASTICKÉ MODELY
Modely založené na Markovových procesoch
Modely hromadnej obsluhy
Modely zásob
Modely obnovy
metóda „Monte Carlo“
STOCHASTICKÝ PROCES
X(t, )
t T
t - najčastejšie čas,
T - reálna časová množina
- element náhodného javu
- pravdepodobnostný priestor
xj (t) j = 1, 2, ...n
t = t0 (t0 = 9) X (t0, ), j = 1, 2, ...n.
E1, E2,....Em
Markovova vlastnosť:
P X n E j / X n1 Ei , X1 Er P X n E j / X n1 Ei
2. MODELOVANIE STOCHASTICKÝCH DYNAMICKÝCH
SYSTÉMOV MARKOVOVÝMI REŤAZCAMI
Markovov reťazec
konečný Markovov reťazec
nekonečný Markovov reťazec
krok, resp. fáza procesu
PRÍKLAD 1
Podnik uvádza na trh nový produkt a sonduje jeho úspešnosť, ktorý z hľadiska odbytu
možno charakterizovať nasledovným spôsobom:
produkt sa považuje za úspešný, ak sa v určenom čase predá viac ako 70% výroby,
produkt sa považuje za neúspešný, ak sa v určenom čase predá menej ako 70%
výroby.
Na začiatku v priebehu prvého mesiaca sa zistila 75% úspešnosť produktu.
ak bol produkt v prvom mesiaci úspešný, s pravdepodobnosťou 0,5 zostal úspešným
aj v nasledujúcom mesiaci.
ak nebol úspešný, s pravdepodobnosťou 0,2 sa stane v nasledujúcom mesiaci
úspešným.
Podnik spustil reklamnú kampaň:
v prípade úspešnosti produktu v prvom mesiaci sa zvýšila jeho úspešnosť na 80%
ak bol predaj na začiatku neúspešný, jeho úspešnosť sa využitím reklamy zvýšila iba
na 30%.
Predpokladajme, že sú zistené aj “výnosy” odpovedajúce jednotlivým alternatívam
úspešnosti produktu.
Úlohou je skúmať vývoj úspešnosti produktu po mesiacoch a stanoviť pre podnik
optimálnu politiku súvisiacu s etablovaním sa produktu na trhu.
E1 - produkt sa považuje za úspešný,
E2 - produkt sa považuje za neúspešný
1. pravdepodobnosť stavu, resp. absolútna
pravdepodobnosť:
p kj P ( E kj ).
k
p (p1k , p k2 ,p km ),
k=0
0
p (p10 , p 02 ,p 0m ),
m
j1
p kj 1.
m
j1
p 0j 1.
2. pravdepodobnosť prechodu
Markovov reťazec - homogénny, ak pre každé i, j, k platí:
p ijk p ij
Matica podmienených pravdepodobností prechodu:
p11
p 21
P
p
m1
p12
p 22
p m2
p ijk
m
r 1
p1m
p 2m
p mm
p irk 1 .p rj
m
0 p ij 1
P
Markovov reťazec - nehomogénny
(k )
p
j 1
ij
P
1; i 1, 2, m
k
pk
11
pk
(k)
P 21
pk
m1
k
p12
p k22
p km 2
p1km
k
p 2m
p kmm
SKÚMANIE OČAKÁVANÉHO VÝVOJA SYSTÉMU
POMOCOU MARKOVOVÝCH REŤAZCOV
Stavy :
tranzientné (prechodné)
rekurentné (návratné)
- periodické (s pravidelným návratom)
- aperiodické (s nepravidelným návratom),
absorbčné (nenávratné)
Ergodické markovove reťazce.
Absorbčné markovove reťazce.
ERGODICKÉ MARKOVOVÉ REŤAZCE
Určenie vektora absolútnych pravdepodobností po k-krokoch:
A. homogénny reťazec:
vektor absolútnych pravdepodobností po 1-kroku:
vektor absolútnych pravdepodobností po 2-kroku:
vektor absolútnych pravdepodobností po k-kroku:
B. nehomogénny reťazec:
1 0
p p .P
2 1
0 2
p p .P p .P
k k 1
0 k
p p .P p .P
vektor absolútnych pravdepodobností po 1-kroku:
vektor absolútnych pravdepodobností po 2-kroku:
1 0 (1)
p p .P
2 0 (1) ( 2)
p p .P .P
vektor absolútnych pravdepodobností po k-kroku:
p k p 0 .P (1) .P ( 2) . .P ( k )
Asymptotické správanie sa ergodických reťazcov
lim p ( n ) p , j 1, 2, m,
ij
j
n
n 1
lim p
n
p p .P
n
lim p p
n
m
i 1
pi
1.
MARKOVOVE REŤAZCE S VÝNOSOM (OCENENÍM)
očakávaný celkový výnos procesu po k krokoch, ktorý vznikol zo
stavu Ei
m
v i( k )
j1
stredná hodnota bezprostredného výnosu odpovedajúca stavu Ei
qi
p ij rij v (jk 1) , i 1, 2, m.
m
p r
j1
ij ij
, i 1, 2, m
vektor stredných hodnôt bezprostredných výnosov
v i( k ) q i
m
j1
p ij v (jk 1) , i 1, 2, m
(k )
( k 1)
v q P.v
MARKOVOVE REŤAZCE S ALTERNATÍVAMI
riadené Markovove reťazce,
príp. Markovove rozhodovacie procesy
HOWARD v roku 1960
„metóda iterácie podľa hodnoty“
Ei - stavy systému
i = 1, 2, ...m
h - index alternatív
pijh - pravdepodobnosť prechodu medzi stavmi
Ei a Ej pri h-ej alternatíve
rijh - ocenenie (výnos) prislúchajúce
k - index kroku.
POSTUP
1. krok:
celkové očakávané výnosy na optimálnej ceste
stredná hodnota výnosu stavu Ei pri h-ej alternatíve
POSTUP
2 krok:
určíme vektor odpovedajúcich alternatív
(k)
d
dk
1
k
dm