Transcript PPT
Slide 1
Lekce 11
Metoda Monte Carlo II
Metropolisův algoritmus
Osnova
1. Řešený problém
2. Základní pojmy
3. Markovovy řetězce
4. Konstrukce matice přechodu
5. Metropolisův algoritmus pro kanonický soubor
KFY/PMFCH
Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II
Slide 2
Řešený problém
Výpočet konfigurační části integrálů, kterými statistická termodynamika definuje
vztah mezi mikroskopickými a makroskopickými parametry
B
KON
R
b K O N ( rK ) I N T ( rK ;
3
) d r1
3
d rN
3N
pomocí vhodně generovaných posloupností konfigurací
B KON
1
n
n
b
i 1
KON
( rK
(i )
) IN T ( rK
(i )
;
).
Nedořešená otázka z předchozí lekce
(i )
Jak generovat konfigurace [ r1 ,
, rN
(i )
]?
Ukážeme v této lekci, nejdříve ale ještě jeden krátký výlet do teorie pravděpodobnosti.
KFY/PMFCH
Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II
Slide 3
Základní pojmy
Pro jednoduchost předpokládáme, že konfigurační prostor studovaného systému je konečný,
S = {s1,…,sN}.
Mikrostav
element konfiguračního prostoru, konfigurace (si).
Makrostav
normované rozdělení (distribuce) pravděpodobnosti nalezení systému v jednotlivých
mikrostavech
1,
Vlastnosti :
i 0,
N
i
, N .
1.
i 1
Pravděpodobnostní distribuce statistické termodynamiky jsou jednoznačně určeny vybranými
makroskopickými parametry definujícími makrostav systému, můžeme je proto s makrostavem
ztotožnit.
KFY/PMFCH
Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II
Slide 4
Základní pojmy
Matice přechodu (stochastická matice)
matice , jejíž element pij udává pravděpodobnost přechodu systému z mikrostavu si
do mikrostavu sj.
Implicitní předpoklad
Systém nemá paměť, pravděpodobnost přechodu závisí jen na aktuálním mikrostavu, ne na mikrostavech, v nichž se systém nacházel dříve.
Vlastnosti matice přechodu
p ij 0,
N
p ij
1.
j 1
Změna makrostavu
j
KFY/PMFCH
N
p ij i
.
i 1
Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II
Slide 5
Základní pojmy
Postulát ergodicity
Pravděpodobnost dosažení mikrostavu sj z mikrostavu si je pro každou dvojici (i, j)
nenulová v konečném počtu kroků. Přesněji
i , j {1,
, N } k N :
k
pro je j 0, je -li i 1.
Rovnovážná distribuce
0 0
k
Platí 0 lim , kde je libovolná distribuce.
k
KFY/PMFCH
Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II
Slide 6
Markovovy řetězce
Náhodné posloupnosti mikrostavů {s(1),s(2),…,s(n)} vygenerované pomocí jisté matice
přechodu .
Pravděpodobnost přechodu s (i ) s (i +1) závisí jen na s (i), ne na stavech předcházejících
(s (i -1),…, s (i +1))!
Věta
Pro n + jsou mikrostavy s(i) rozloženy ve stavovém (konfiguračním) prostoru S
s relativními četnostmi odpovídajícími rovnovážné distribuci 0 matice přechodu , tj.
lim
n
n (si )
n
0i .
Jak tedy generovat konfigurace během MC výpočtu?
Jako Markovovy řetězce pomocí jakékoli matice přechodu, jejíž rovnovážnou distribucí je distribuce odpovídající danému statisticko-termodynamickému souboru.
KFY/PMFCH
Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I
Slide 7
Konstrukce matice přechodu
Problém při použití Markovových řetězců v MC výpočtech: Neznáme matici přechodu, jen její
rovnovážnou distribuci.
Je možno matici přechodu pro danou rovnovážnou distribuci zkonstruovat?
Ano, a to dokonce více způsoby. Matematicky to znamená řešit soustavu rovnic
N
i 1
0i
p ij 0 j ;
j 1,
,N .
Obvykle se používá silnější verze - princip detailní rovnováhy
0 i p ij 0 j p ji .
KFY/PMFCH
Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I
Slide 8
Konstrukce matice přechodu
Metropolisovo řešení
a) pij =ij ij,
b) ij … matice pravděpodobnosti návrhu nového mikrostavu,
c) ij … matice pravděpodobnosti přijetí nového mikrostavu,
d)
0 j ji
0 i ij
ij m in 1,
Obvykle volíme ij = ji, pak platí
0j
0i
ij m in 1,
KFY/PMFCH
.
.
Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I
Slide 9
Metropolisův algoritmus pro kanonický soubor
Postup při generování konfigurace x ( i 1 ) r1 ( i 1 ) ,
předcházející, x ( i ) :
a) konfiguraci x
(i )
, rN
(i 1 )
z konfigurace
změníme přičtením náhodných posunutí x r1 ,
x
()
x
(i )
(i )
x r1 r1 ,
, rN
(i )
, rN
r1 ,
kde rj volíme náhodně z nějaké izotropní distribuce kolem počátku souřadnic
(např. náhodné izotropní posunutí uvnitř koule o daném poloměru),
b) určíme W
kroku),
()
W (x
()
)
a W W
()
W
(i )
(W (i) známe z předcházejícího
c) je-li W 0, položíme x ( i 1 ) x ( ) ,
je-li W > 0, položíme x
(i 1 )
s pravděpodobností 1 e W
KFY/PMFCH
x
/ kBT
()
s pravděpodobností e W
/ k BT
a x
(i 1 )
x
(i )
.
Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I
Slide 10
Doporučená literatura
I. NEZBEDA, J. KOLAFA, M. KOTRLA
Úvod do počítačových simulací, kap. 4
Karolinum, Praha 2003
D. P. LANDAU, K. BINDER
A Guide to MC Simulations in Statistical Physics
Cambridge University Press, Cambridge 2005
M. M. WOOLFSON, G. J. PERT
An Introduction to Computer Simulation, kap. 4
Oxford University Press, New York 1999
KFY/PMFCH
Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II
Lekce 11
Metoda Monte Carlo II
Metropolisův algoritmus
Osnova
1. Řešený problém
2. Základní pojmy
3. Markovovy řetězce
4. Konstrukce matice přechodu
5. Metropolisův algoritmus pro kanonický soubor
KFY/PMFCH
Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II
Slide 2
Řešený problém
Výpočet konfigurační části integrálů, kterými statistická termodynamika definuje
vztah mezi mikroskopickými a makroskopickými parametry
B
KON
R
b K O N ( rK ) I N T ( rK ;
3
) d r1
3
d rN
3N
pomocí vhodně generovaných posloupností konfigurací
B KON
1
n
n
b
i 1
KON
( rK
(i )
) IN T ( rK
(i )
;
).
Nedořešená otázka z předchozí lekce
(i )
Jak generovat konfigurace [ r1 ,
, rN
(i )
]?
Ukážeme v této lekci, nejdříve ale ještě jeden krátký výlet do teorie pravděpodobnosti.
KFY/PMFCH
Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II
Slide 3
Základní pojmy
Pro jednoduchost předpokládáme, že konfigurační prostor studovaného systému je konečný,
S = {s1,…,sN}.
Mikrostav
element konfiguračního prostoru, konfigurace (si).
Makrostav
normované rozdělení (distribuce) pravděpodobnosti nalezení systému v jednotlivých
mikrostavech
1,
Vlastnosti :
i 0,
N
i
, N .
1.
i 1
Pravděpodobnostní distribuce statistické termodynamiky jsou jednoznačně určeny vybranými
makroskopickými parametry definujícími makrostav systému, můžeme je proto s makrostavem
ztotožnit.
KFY/PMFCH
Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II
Slide 4
Základní pojmy
Matice přechodu (stochastická matice)
matice , jejíž element pij udává pravděpodobnost přechodu systému z mikrostavu si
do mikrostavu sj.
Implicitní předpoklad
Systém nemá paměť, pravděpodobnost přechodu závisí jen na aktuálním mikrostavu, ne na mikrostavech, v nichž se systém nacházel dříve.
Vlastnosti matice přechodu
p ij 0,
N
p ij
1.
j 1
Změna makrostavu
j
KFY/PMFCH
N
p ij i
.
i 1
Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II
Slide 5
Základní pojmy
Postulát ergodicity
Pravděpodobnost dosažení mikrostavu sj z mikrostavu si je pro každou dvojici (i, j)
nenulová v konečném počtu kroků. Přesněji
i , j {1,
, N } k N :
k
pro je j 0, je -li i 1.
Rovnovážná distribuce
0 0
k
Platí 0 lim , kde je libovolná distribuce.
k
KFY/PMFCH
Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II
Slide 6
Markovovy řetězce
Náhodné posloupnosti mikrostavů {s(1),s(2),…,s(n)} vygenerované pomocí jisté matice
přechodu .
Pravděpodobnost přechodu s (i ) s (i +1) závisí jen na s (i), ne na stavech předcházejících
(s (i -1),…, s (i +1))!
Věta
Pro n + jsou mikrostavy s(i) rozloženy ve stavovém (konfiguračním) prostoru S
s relativními četnostmi odpovídajícími rovnovážné distribuci 0 matice přechodu , tj.
lim
n
n (si )
n
0i .
Jak tedy generovat konfigurace během MC výpočtu?
Jako Markovovy řetězce pomocí jakékoli matice přechodu, jejíž rovnovážnou distribucí je distribuce odpovídající danému statisticko-termodynamickému souboru.
KFY/PMFCH
Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I
Slide 7
Konstrukce matice přechodu
Problém při použití Markovových řetězců v MC výpočtech: Neznáme matici přechodu, jen její
rovnovážnou distribuci.
Je možno matici přechodu pro danou rovnovážnou distribuci zkonstruovat?
Ano, a to dokonce více způsoby. Matematicky to znamená řešit soustavu rovnic
N
i 1
0i
p ij 0 j ;
j 1,
,N .
Obvykle se používá silnější verze - princip detailní rovnováhy
0 i p ij 0 j p ji .
KFY/PMFCH
Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I
Slide 8
Konstrukce matice přechodu
Metropolisovo řešení
a) pij =ij ij,
b) ij … matice pravděpodobnosti návrhu nového mikrostavu,
c) ij … matice pravděpodobnosti přijetí nového mikrostavu,
d)
0 j ji
0 i ij
ij m in 1,
Obvykle volíme ij = ji, pak platí
0j
0i
ij m in 1,
KFY/PMFCH
.
.
Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I
Slide 9
Metropolisův algoritmus pro kanonický soubor
Postup při generování konfigurace x ( i 1 ) r1 ( i 1 ) ,
předcházející, x ( i ) :
a) konfiguraci x
(i )
, rN
(i 1 )
z konfigurace
změníme přičtením náhodných posunutí x r1 ,
x
()
x
(i )
(i )
x r1 r1 ,
, rN
(i )
, rN
r1 ,
kde rj volíme náhodně z nějaké izotropní distribuce kolem počátku souřadnic
(např. náhodné izotropní posunutí uvnitř koule o daném poloměru),
b) určíme W
kroku),
()
W (x
()
)
a W W
()
W
(i )
(W (i) známe z předcházejícího
c) je-li W 0, položíme x ( i 1 ) x ( ) ,
je-li W > 0, položíme x
(i 1 )
s pravděpodobností 1 e W
KFY/PMFCH
x
/ kBT
()
s pravděpodobností e W
/ k BT
a x
(i 1 )
x
(i )
.
Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I
Slide 10
Doporučená literatura
I. NEZBEDA, J. KOLAFA, M. KOTRLA
Úvod do počítačových simulací, kap. 4
Karolinum, Praha 2003
D. P. LANDAU, K. BINDER
A Guide to MC Simulations in Statistical Physics
Cambridge University Press, Cambridge 2005
M. M. WOOLFSON, G. J. PERT
An Introduction to Computer Simulation, kap. 4
Oxford University Press, New York 1999
KFY/PMFCH
Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II