Slide 1

Lekce 11

Metoda Monte Carlo II
Metropolisův algoritmus

Osnova
1. Řešený problém
2. Základní pojmy
3. Markovovy řetězce
4. Konstrukce matice přechodu
5. Metropolisův algoritmus pro kanonický soubor

KFY/PMFCH

Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II


Slide 2

Řešený problém
Výpočet konfigurační části integrálů, kterými statistická termodynamika definuje
vztah mezi mikroskopickými a makroskopickými parametry
B

KON




R

b K O N ( rK )  I N T ( rK ;

3

) d r1

3

d rN

3N

pomocí vhodně generovaných posloupností konfigurací
B KON 

1

n

n

b
i 1

KON

( rK

(i )

)  IN T ( rK

(i )

;

).

Nedořešená otázka z předchozí lekce
(i )
Jak generovat konfigurace [ r1 ,

, rN

(i )

]?

Ukážeme v této lekci, nejdříve ale ještě jeden krátký výlet do teorie pravděpodobnosti.

KFY/PMFCH

Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II


Slide 3

Základní pojmy
Pro jednoduchost předpokládáme, že konfigurační prostor studovaného systému je konečný,
S = {s1,…,sN}.

Mikrostav
element konfiguračního prostoru, konfigurace (si).

Makrostav
normované rozdělení (distribuce) pravděpodobnosti nalezení systému v jednotlivých
mikrostavech
   1,
Vlastnosti :

 i  0,

N

 i

, N  .

 1.

i 1

Pravděpodobnostní distribuce statistické termodynamiky jsou jednoznačně určeny vybranými
makroskopickými parametry definujícími makrostav systému, můžeme je proto s makrostavem
ztotožnit.

KFY/PMFCH

Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II


Slide 4

Základní pojmy
Matice přechodu (stochastická matice)
matice , jejíž element pij udává pravděpodobnost přechodu systému z mikrostavu si
do mikrostavu sj.
Implicitní předpoklad
Systém nemá paměť, pravděpodobnost přechodu závisí jen na aktuálním mikrostavu, ne na mikrostavech, v nichž se systém nacházel dříve.

Vlastnosti matice přechodu
p ij  0,

N

 p ij

 1.

j 1

Změna makrostavu
 j 

KFY/PMFCH

N

 p ij  i



    .

i 1

Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II


Slide 5

Základní pojmy
Postulát ergodicity
Pravděpodobnost dosažení mikrostavu sj z mikrostavu si je pro každou dvojici (i, j)
nenulová v konečném počtu kroků. Přesněji
 i , j  {1,

, N }  k  N :

k

pro         je   j  0, je -li  i  1.

Rovnovážná distribuce
0  0  
k
Platí  0  lim      , kde  je libovolná distribuce.
k  

KFY/PMFCH

Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II


Slide 6

Markovovy řetězce
Náhodné posloupnosti mikrostavů {s(1),s(2),…,s(n)} vygenerované pomocí jisté matice
přechodu .
Pravděpodobnost přechodu s (i ) s (i +1) závisí jen na s (i), ne na stavech předcházejících
(s (i -1),…, s (i +1))!

Věta
Pro n  + jsou mikrostavy s(i) rozloženy ve stavovém (konfiguračním) prostoru S
s relativními četnostmi odpovídajícími rovnovážné distribuci 0 matice přechodu , tj.
lim

n  

n (si )
n

  0i .

Jak tedy generovat konfigurace během MC výpočtu?
Jako Markovovy řetězce pomocí jakékoli matice přechodu, jejíž rovnovážnou distribucí je distribuce odpovídající danému statisticko-termodynamickému souboru.
KFY/PMFCH

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I


Slide 7

Konstrukce matice přechodu
Problém při použití Markovových řetězců v MC výpočtech: Neznáme matici přechodu, jen její
rovnovážnou distribuci.

Je možno matici přechodu pro danou rovnovážnou distribuci zkonstruovat?
Ano, a to dokonce více způsoby. Matematicky to znamená řešit soustavu rovnic
N


i 1

0i

p ij   0 j ;

j  1,

,N .

Obvykle se používá silnější verze - princip detailní rovnováhy
 0 i p ij   0 j p ji .

KFY/PMFCH

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I


Slide 8

Konstrukce matice přechodu
Metropolisovo řešení
a) pij =ij ij,
b) ij … matice pravděpodobnosti návrhu nového mikrostavu,
c) ij … matice pravděpodobnosti přijetí nového mikrostavu,
d)


 0 j  ji 



 0 i  ij 

 ij  m in  1,

Obvykle volíme ij = ji, pak platí



0j 



 0i 

 ij  m in 1,

KFY/PMFCH

.

.

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I


Slide 9

Metropolisův algoritmus pro kanonický soubor
Postup při generování konfigurace x ( i  1 )   r1 ( i  1 ) ,
předcházející, x ( i ) :

a) konfiguraci x

(i )

, rN

(i  1 )

 z konfigurace


změníme přičtením náhodných posunutí  x    r1 ,
x

()

x

(i )

(i )
  x   r1   r1 ,

, rN

(i )

,  rN



  r1  ,

kde  rj volíme náhodně z nějaké izotropní distribuce kolem počátku souřadnic
(např. náhodné izotropní posunutí uvnitř koule o daném poloměru),
b) určíme W
kroku),

()

 W (x

()

)

a W  W

()

W

(i )

(W (i) známe z předcházejícího

c) je-li W  0, položíme x ( i  1 )  x (  ) ,
je-li W > 0, položíme x

(i  1 )

s pravděpodobností 1  e   W

KFY/PMFCH

 x

/ kBT

()

s pravděpodobností e   W

/ k BT

a x

(i  1 )

 x

(i )

.

Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I


Slide 10

Doporučená literatura

I. NEZBEDA, J. KOLAFA, M. KOTRLA
Úvod do počítačových simulací, kap. 4
Karolinum, Praha 2003
D. P. LANDAU, K. BINDER

A Guide to MC Simulations in Statistical Physics
Cambridge University Press, Cambridge 2005

M. M. WOOLFSON, G. J. PERT

An Introduction to Computer Simulation, kap. 4
Oxford University Press, New York 1999

KFY/PMFCH

Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II