Transcript Integrál a diferenciální formy

b
Integrál
Riemannův integrál
a diferenciální formy
a
Určitý (Riemannův) integrál:
kdy, jak, pro koho
 Matematika fyziku nedohoní
- diferenciální a integrální počet ve fyzice: první
semestr, od prvního týdne …

v 

dr
dt
J 

V

,a 

d r
2
dt
2


, v (t )  v (0 ) 

2
 q dV , F p 

t



 a dt , r ( t )  r ( 0 ) 

 v dt
0
0

 
p n dS ,     v d S
S
 Fyzika si musí poradit
S
hned, názorně – jednoduše – správně, pro
všechny studenty a studentky fyziky
t
Důležité pojmy pro definici
integrálu

Integrační obor M – zobecňování
- uzavřený kvádr v Rn (interval v R = R1)→
– speciální typ uzavřené podmnožiny v Rn →
– obecná podmnožina v Rn (+rozklad jednotky)

Integrovaný objekt f – zobecňování
–
–
–
–
spojitá funkce na M→
omezená funkce na M →
libovolná funkce na M (+ rozklad jednotky) →
diferenciální n-forma na otevřené množině A v Rm,
pro n≤m (křivkový a plošný integrály)
Riemannův integrál
„v prvním přiblížení“

Integrační obory
n-rozměrné uzavřené kvádry K v Rn

Integrované objekty
funkce n proměnných spojité na n-rozměrných
kvádrech v Rn
Jednonásobný integrál

Spojitá funkce,
D [a, b]  {xi | 0  i  n, i  N }
interval [a,b]
m i  min { f ( x ) | x  [ x i , x i  1 ]}
f(x)
M
Mi
i
 max{ f ( x ) | x  [ x i , x i  1 ]}
n 1
L( f , D) 
f(ξi)
m
i
( x i 1  x i )
i0
n
mi
S ( f , D,) 

f ( i )( x i  1  x i )
i0
a
xi
ξi
xi+1 b
 (D)  0    
x
n 1
U ( f , D) 
M
i
( x i 1  x i )
i0
L( f , D)  S ( f , D, )  U ( f , D )
Newtonova-Leibnitzova
formule

Pro funkci f(x) spojitou na [a,b]
existuje primitivní funkce F(x) na [a,b],
F´(x)=f(x) na (a,b), F´(a+)=f(a), F´(b-)=f(b)
n 1
F (b )  F ( a ) 
 F (x
i 1
)  F ( xi ) 
i0
n 1
 F ' (
i0
n 1
i
)( x i  1  x i ) 

f ( i )( x i  1  x i )  S ( f , D ,  )
i0
b
F (b )  F ( a )  S ( f , D ,  ) 

a
f ( x ) dx pro  ( D )  0
Vícenásobný integrál – I

y
Definice:
spojitá funkce, n-rozměrný kvádr K
K
d
Sik
v ( S ik )  ( x i  1  x i )( y k  1  y k )
Yk+1
●
yk
M ,N
(ξi ,ζ k)
S ( f , D,) 

f ( i ,  k ) v ( S ik )
i  0 ,k  0
c
a
xi
Xi+1
b
x
Vícenásobný integrál – II

y
Fubiniova věta
spojitá funkce, n-rozměrný kvádr K
K
d
d
F (x) 

f ( x  konst , y ) dy
c
b
G ( y) 

f ( x , y  konst ) dx
a
b
I 
c
 F ( x ) dx
a
a
x
b
x
d

 G ( y ) dy
c
Vícenásobný integrál – III

d
Zobecnění integračního oboru
y
φ(x) ≤ Ψ(x), x є [a,b]
Ψ(x)
K
Ψ(x)
φ(x) ≤ Ψ(x) spojité
b

A
φ(x)
A
φ(x)
c
x
a
x
b
f dx dy 

a
 (x)

f ( x , y ) dy


  (x)

 dx


Vícenásobný integrál – IV

Věta o transformaci
spojitá funkce, n-rozměrný kvádr K
w
z
K
g
g(K)
x  xg ( u , v , w )
y  yg ( u , v , w )
z  zg ( u , v , w )
y
v
x
u

f dxdydz 
g (K )
(f
K
 g ) | det Dg | dudvdw
Vícenásobný integrál – V
Jakobián – objevuje se antisymetrie

v
e2
g: x(u,v), y(u,v)
y(u0,v0)
v0
●
u0
y
f2
●
e1
u
f1
x(u0,v0)
x



 x y  
 x y 
fu  
,
, 0  , f v   , , 0  ,  S ( u ,v ) | f u  f v |  u  v
 u u 
 v v 
Riemannův integrál pořádně

Integrační obor
n-rozměrný uzavřený kvádr K v Rn

Integrovaný objekt
omezená funkce f: (x є K) → f(x) є R
existuje číslo M є R takové, že |f(x)|≤ M na K
Integrabilita - I
D … dělení kvádru K, D … zjemnění D
m S  inf { f ( x ) | x  S },
L( f , D ) 
m
S
v ( S ),
M
S
 sup{ f ( x ) | x  S }
U ( f , D) 
SD
M
S
v(S )
SD
L( f , D )  L( f , D )  U ( f , D )  ( f , D )
  sup{ L ( f , D ) | D   },
  inf{ U ( f , D ) | D   }
Funkce integrabilní na K ... ξ = Ξ =∫Kf
Integrabilita - II

První kritérium integrability
Funkce f: K → R je integrabilní právě když ke
každému є>0 existuje dělení D kvádru K tak, že
U(f,D)-L(f,D)<є.

Druhé kritérium integrability
Funkce f: K → R je integrabilní právě když je
množina bodů její nespojitosti na K míry nula
(funkce je na K spojitá skoro všude).
Zanedbatelné množiny

Zanedbatelné množiny

Množiny objemu nula
Množina A v Rn se nazývá zanedbatelná (míry
nula), jestliže ke každému є>0 existuje její
pokrytí O={Ui} otevřenými (ekvivalentně
uzavřenými) kvádry tak, že Σv(Ui)<є.
Množina A v Rn se nazývá zanedbatelná (míry
nula), jestliže ke každému є>0 existuje její
konečné pokrytí O={Ui} otevřenými
(ekvivalentně uzavřenými) kvádry tak, že
Σv(Ui)<є.
Příklad integrabilní funkce

Riemannova funkce
( x , y )  [ 0 , 1]  [ 0 , 1]
y
1
 ( x , y )  1  (1 / q ) pro x  ( p / q ), y lib.
χ(x,y)  1
jinak
Body nespojitosti: x, y racionální
p/q
1
x
Pozn.: χ(p/q,y) má charakter Dirichletovy funkce
Zobecnění integrálu – I

d
Zobecnění integračního oboru
y
 : K  ( x, y )   ( x, y )  R
Ψ(x)
K
Ψ(x)
 ( x, y )  1  ( x, y )  A
 ( x, y )  0  ( x, y )  A

A
A
φ(x)
b

c
x
a
f dx dy 
x
b
a

f   dxdy 
K
 (x)


 dx
f
(
x
,
y
)
dy
 

  (x)

φ(x) ≤ Ψ(x)
Měřitelné množiny

Množina měřitelná (v Jordanově smyslu)
– A … podmnožina kvádru K
– měřitelnost … integrabilita χ(A) na K
– objem množiny … ∫K χ(A) = ∫A 1

Kritérium měřitelnosti
Podmnožina A kvádru K je měřitelná právě když je
její hranice množinou míry nula.
Hranice je množina bodů nespojitosti charakteristické
funkce.
Zobecnění integrálu – II

Rozklad jednotky
A … libovolná podmnožina v Rn. Existuje otevřené
pokrytí O množiny A a systém Φ nekonečně
diferencovatelných funkcí na Rn:
– 0≤φ(x)≤1, φ є Φ, supp φ=U, U є O
– pro každý bod x є A existuje otevřená množina
V, x є V, pouze konečný počet funkcí z Φ je na
V různých od nuly
– pro libovolné x є A je pouze konečný počet
φ(x) je nenulových a platí ΣφєΦ φ(x)= 1
Zobecnění integrálu – III

Rozklad jednotky – příklad
A k ( x )  cos
2
x , x  (  k    / 2 , k    / 2 ), jinde
B k ( x )  sin
2
x , x  (  k    ,  k  )  ( k  , k    ) jinde
x  sin
2
x 1
cos
2
-π/2
π/2
0
0
Zobecnění integrálu – IV

Předpoklady

Definujeme
–
–
–
–
–
A otevřená podmnožina v Rn
f: A → R funkce spojitá na A skoro všude
O otevřené pokrytí A, U є O, U měřitelné
Φ rozklad jednotky asociovaný s O
řada S = ΣφєΦ ∫A φf konverguje absolutně
∫A f = ΣφєΦ ∫A φf

Nevlastní integrály, věta o transformaci
Křivkový a plošný integrál – I

Integrační obory, tečné vektory
parametrizované k-rozměrné krychle c:[0,1]k→ Rn
x3
t2
Tt Rk
Tt Rn
ξ=(t, ξi)
c
t
c(t)
t1
x2




 x c (t )
t
i

Tt ξ=(c(t), ζσ)
i
x1
Křivkový a plošný integrál – II

Diferenciální k-forma na Rn
– antisymetrické kovariantní tenzorové pole
k-tého řádu na Rn … ω
– operace: fω+ gη, dω, ω Λ η

Parametrizovaná „krychle“
– c: K=[0,1]k → Rn
– indukované zobrazení c*ω (zpětný obraz)
c*ω(t)(ξ1 , … , ξk)= ω(t)(Ttξ1 , … , Ttξk)
 Integrál
∫c ω = ∫K c*ω = ∫K F dt1 Λ … Λ dtk = ∫K F
Integrální věty

Obecný Stokesův teorém
c: K=[0,1]k → Rn , ω … (k-1)-forma na Rn
∫∂c ω = ∫c dω

Klasické integrální věty
– Greenova
– Stokesova
– Gaussova-Ostrogradského
k = 2, n = 2
k = 2, n = 3
k = 3, n = 3
Literatura

Michael Spivak:
Calculus on Manifolds. Addison-Wesley
Publishing Company, 1965.
●
●