Transcript Document

Diferenciální geometrie křivek
Způsoby zadání rovinné křivky, polární
souřadnice
 Parametrické rovnice
X  t    x  t  , y  t  
 Imlicitní rovnice
F  x, y   0
 Explicitní rovnice
 Kartézské souřadnice
y  f  x
Polární souřadnice
x  r cos f
y
y  r sin f , r  0
y
M
r
M
f
x
x
2
Křivka třídy Cn
Množinu kE3 nazýváme křivkou třídy Cn jestliže souřadnice bodů křivky lze
vyjádřit zobrazením IR3, t X(t) s vlastnostmi
 X(t) je spojitá na intervalu I
 X(t) je prostá
 X(t) má na intervalu I spojité derivace do n-tého řádu
 Vektor derivace X´(t) není nulový.
Rovinná křivka
X  t    x  t  ; y  t 
Prostorová křivka X  t    x  t  ; y  t  ; z  t 
3
Cykloida

Parametrizace prosté cykloidy úhlem otočení
X (t )  rt  r sin t; r  r cost 
4
Transformace parametru
Nechť je funkcí X(t) dána křivka k třídy Cn, tI. Na intervalu J nechť je
definována funkce t = f(u) s následujícími vlastnostmi
1. f(u) je prostá na J
2. f(u) zobrazuje J na I
3. f(u) má spojité derivace až do n-tého řádu,
pak vektorová funkce Y(u)=X(f(u)) vyjadřuje tutéž křivku jako funkce X(t).
5
6
Tečna křivky
Tečna křivky X(t) v regulárním bodě X(t0):
lim
h 0
X  t0  h   X  t0 
 X   t0 
h
t
X(t0)
X(t0+h)
X´(t0)
X(t)
X(t0)
X(t)
T (r)  X t0   r  X  t0  , r  R
Př: Tečna grafu funkce y=f(x)v bodě f(x0):
y  f ( x)
X (t )  [t , f (t )]  X (t0 )  t0 , f (t0 ) 
X (t )  [1, f (t )]  X (t0 )  1, f (t0 ) 
x  t0  r
y  f (t0 )  r  f (t0 )
7
Tečna křivky
Tečna křivky X(t) v regulárním bodě X(t0):
T (r)  X t0   r  X  t0  , r  R
Pojem tečny je nezávislý na parametrizaci.
K (t )  [cos(t ),sin(t )];
směrový vektor tečny v bodě K(0):
L(u )  [cos(2u ),sin(2u )];
směrový vektor tečny v bodě L(0):
dK
 [  sin(t ), cos(t )],
dt
dK
(t  0)  [0,1]
dt
dL
 [ 2sin(2u), 2 cos(2u)],
du
dL
(u  0)  [0, 2]
du
8
Šroubovice
9
Šroubovice
Šroubový pohyb vzniká složením rotace kolem osy o a posunutí
ve směru osy o.
Šroubovice je dána poloměrem r, parametrem v0 a osou šroubového pohybu o = z .
X ( )   r  cos; r  sin ; v0   
10
Tečna šroubovice
Šroubovice:
tečný vektor:
půdorys tečného vektoru:
Spád šroubovice:
X  r  cos  , r  sin  , v0 
t   r  sin  , r  cos  , v0 
t1   r  sin  , r  cos  ,0
tan  
v0
v
 0
t1
r
Šroubovice je křivka
konstantního spádu
11
Frenetův doprovodný trojhran
 Tečná rovina křivky – každá rovina, která obsahuje tečnu křivky
 Normálová rovina křivky – rovina kolmá na tečnu křivky
 Oskulační rovina křivky – tečná rovina, určená vektory první a druhé derivace.
  X t0   r  X  t0   s  X t0  ; r, s  R
 Normála křivky – každá přímka, která je kolmá na tečnu křivky a prochází daným
bodem.
 Hlavní normála – průsečnice oskulační a normálové roviny.
Frenetův doprovodný trojhran je tvořen
jednotkovými směrovými vektory přímek t, n, b

• t – tečna

b
t
k
T n
• n – hlavní normála
• b – binormála
•  = (t,n) – oskulační rovina
•  = (b,n) – normálová rovina
12
Oskulační rovina šroubovice a plocha tečen
šroubovice
13
Výpočet Frenetova trojhranu
 Jednotkový vektor tečny
 Jednotkový vektor binormály
 Jednotkový vektor hlavní normály

 X
t  
X
 
 X   X 
b  
X   X 
  
n  t b


b
T n
k
t X
14
Inflexní bod
Bod X(t0) křivky X(t) se nazývá inflexní
bod křivky, jestliže jsou vektory první a
druhé derivace lineárně závislé.


X t0   X t0 
V inflexním bodě není určen Frenetův
doprovodný trojhran.
15
Délka oblouku křivky X(t)
mezi body X(ta) a X(tb)
X(t2)
X(t1)
X(t3)
Délka lomené čáry
n 1
l   X  ti 1   X  ti 
X(t)
i 0
b=X(tn)
X(t0)
tb
tb
ta
ta
l   X   t  dt   X   t   X   t dt
16
Parametrizace délkou oblouku
t
Funkci l  t    X   u  du nazýváme obloukem křivky.
t0
 Říkáme, že křivka je parametrizovaná obloukem, když její parametr měří délku
křivky. X(t)=X(t(l)), kde t = t(l) je funkce inverzní k oblouku křivky l(t).
xt
X(3)
4
t2
y  ,t  R
2
X(2)
2
X(1)
-1
0
1
2
3
17
Křivost křivky
 Křivost křivky je mírou
vychýlení křivky od
tečny.
k  X   s   lim
s 0

s
18
Geometrický význam křivosti
 Bod křivky je inflexní právě tehdy, je-li v
něm první křivost nulová.
 Je-li bod V vrchol křivky, pak v něm má
funkce první křivosti extrém.
19
Křivka parametrizovaná délkou oblouku
 Křivka X(l) je parametrizovaná obloukem právě tehdy, když je v každém
bodě vektor X´(l) jednotkový.
 Je-li křivka parametrizovaná obloukem, pak je vektor X(l) směrový
vektor hlavní normály. Velikost vektoru X(l) je křivost k křivky.
 Jestliže je křivka X(l) parametrizovaná obloukem, pak pro jednotkové
vektory Frenetova doprovodného trojhranu platí:
t  X  l 
X   l 
n
X   l 
k  X   l 

b  nt

b
t
T n
k
20
Výpočet křivosti křivky
1. Je-li křivka X(l) parametrizovaná obloukem
k  X   l 
2. Je-li křivka X(t) dána obecným parametrem
k
3. Je-li křivka dána jako graf funkce y = f(x)
k
y  x   x2
k  x 
X   X 
X  X 
3
y

1   y 

2 3
Př: Vypočítejte funkci křivosti paraboly y = x2
2
1  4 x 
2 3
y  x2
y  2 x
y  2
k
2
1  4 x2 
3
21
Parametrizace šroubovice délkou křivky
t   r  sin  , r  cos  , v0 
x  r  cos 
y  r  sin 
t  r 2  v02
z  v0   ;   R

l t
0
d 


r 2  v02 d   r 2  v02   
0
r 2  v02
l
x  r  cos
r 2  v02
l
y  r  sin
z  v0 
l
r 2  v02
l
r v
2
2
0
;s R
22
Křivost a hlavní normála šroubovice


X (l )   r cos 





X (l )  




 ; r sin 

r 2  v02 

l

 sin 

r 2  v02

r
 r



X (l ) 
 cos 
2
2

r

v

0


k  X (l ) 
r
r 2  v02

;
r 2  v02 

;
2
2 
r  v0 
l
l


r 2  v02 
v0l

 cos 

r 2  v02


;
2
2 
r  v0 
r


r
; 2
 sin 
2
2  r  v2

r  v0 
0

l
l


2
2
r  v0 
v0
 
 ; 0
2
2 
r  v0  
l
Šroubovice je křivka konstantní křivosti.
t  X (l ); t  1

X (l ) 
l
n
   cos 
 r 2  v2
k

0




l
 ;   sin 

 r 2  v2
0


 
 ; 0
 
 
23
Frenetův doprovodný trojhran šroubovice
 tečna
 hlavní
normála
 binormála
24
Ekvidistanta křivky k
 Definice konstrukcí: V regulární bodě rovinné křivky k sestrojíme normálu
n a na ni naneseme úsečku, jejíž velikost je rovna distanci d.
Ek(t )  X (t )  d
n(t )
n(t )
 Ekvidistanta křivky k je obálka systému kružnic se středem na křivce k a
s poloměrem rovným distanci r=d
25
Evoluta křivky
 Obálka normál dané křivky
 Množina středů oskulačních kružnic
 Evoluta je množina singulárních bodů
ekvidistantních křivek
n (l )
k (l )
X (l )
E (l )  X (l ) 
2
X (l )
E (l )  X (l ) 
26
Oskulační kružnice křivky
 V bodě T=X(t0) sestrojme hlavní normálu křivky. Na hlavní normále sestrojme
bod S, ST =1/k. Kružnici se středem S a poloměrem r =1/k ležící v oskulační
rovině křivky nazýváme oskulační kružnice křivky v bodě T.
 Oskulační kružnice a daná křivka mají v bodě T stejnou tečnu a křivost.
Př: Určete oskulační kružnici paraboly 2py = x2
ve vrcholu V[0,0].
x
2p
x
y 
p
1
y  
p
y
r =1/k – poloměr křivosti
S
– střed křivosti
2
k
1
  x 2 
p 1    
  p 


1
k (0) 
p
r (0)  p,
3
S   0, p 
27
Oskulační kružnice elipsy
28
Oskulační kružnice
Archimedovy spirály
29
Oskulační kružnice
prosté cykloidy
30
Dotyk křivek
 O dvou křivkách řekneme, že mají v bodě P0 dotyk n-tého řádu (n+1
bodový), jestliže parametrizace obloukem X(l), Y(s) existují hodnoty
parametru s0, l0, pro které platí:
Dotyk nultého řádu
X  l0   Y  s0   P0
dX
dY
l0  

 s0 
dl
ds
d2X
d 2Y
l  2  s0 
2  0
dl
ds
K
dnX
 l0  
dl n
d n 1 X%
l 
n 1  0 
dl
d nY
 s0 
ds n
d n 1Y
s
n 1  0 
ds
Dotyk 1.řádu
k
t
n
k
Dotyk 2. řádu
O
31
Dotyk rovinných křivek zadaných explicitně
 Jsou-li křivky v rovině dány funkcemi y = f(x), y = g(x) a platí-li
f  x0   g  x 0 
f   x0   g   x0 
f   x0   g   x0 
L
f
f
 x   g   x 

 x   g   x 
n
n
0
n 1
0
n 1
0
0
pak tyto křivky mají v bodě x0 dotyk n-tého řádu.
Křivka y = f(x) a její Taylorův polynom n-tého stupně mají v bodě x0 dotyk alespoň
n-tého řádu.
n
f   x0 
f   x0 
f    x0 
2
n
T  x   f  x0  
 x  x0  
 x  x0   K 
 x  x0 
1!
2!
n!
32
Taylorův rozvoj funkce y=sin(x)
33
Taylorův rozvoj kružnice
k := [ cos( t ), sin( t ) ]
1 2 1 4
1 6
1 3
1 5
1 7

taylor_k :=  1 t  t 
t , t  t 
t 
t 
2
24
720
6
120
5040 

34
Přechodnice
 křivky, používané v silniční i železniční dopravě pro napojení přímého
úseku a kružnicového oblouku.
an
Spojitý průběh křivosti.
an
s
s
 Kubická parabola – užívala se v ČR v
železniční dopravě.
 Bernoulliova lemniskáta – používala
se pro zatáčku menších poloměrů, na
železnicích, vodních cestách i
tramvajových kolejích.
2
( x y ) a ( x y )0
2
2
2
2
2
35
Klotoida
 Křivost je přímo úměrná délce oblouku k(l) = a.l
X   l    cos  l  ,sin   l  
X   l       l   sin   l  ,   l   cos  l  
a  l  k  X   l      l 
a l2
 l  
2
 l 
l
at 2
x  l    cos
dt
2
0
l
at 2
y  l    sin
dt
2
0
36
Klotoida
37
Klotoida a kubická parabola

Sestrojíme v bodě X(0) = [0,0] Taylorův rozvoj klotoidy stupně 3.
X   t0 
X   t0 
2
T  t   X  t0  
 t  t0  
 t  t0  
1!
2!
l
l
at 2
at 2 
X  l     cos
dt ;  sin
dt 
2
2
0
0

2
2

al
al 
X   l   cos
; sin
2
2 


X
n
 t0 
n!
 t  t0 
n
X  0    0, 0
X   0   1, 0

al 2
al 2 
X   l    al  sin
; al cos
X   0    0, 0

2
2



al 2
al 2
al 2
al 2 
2 2
2 2
X   l    a sin
 a l cos
; a cos
 a l sin
; X   0   0, a 
2
2
2
2 

T  t   [0, 0] 
0, a t  0 3
[1, 0]
[0, 0]
2
t  0 
t  0 
 
1!
2!
3!
 at 3 
T  t   t ,

 3! 
38
Blossova přechodnice





Délka přechodnice je stejná jako délka vzestupnice – L.
Křivost zatáčky k(L) je převrácená hodnota poloměru zatáčky r.
Křivost k(l) je kubickou funkcí délky oblouku l.
Křivost je přímo úměrná hodnotě převýšení p(l) vzestupnice.
Celkové převýšení vzestupnice - pn
p(l )  al 3  bl 2  cl  d
p(0)  0  d  0
p(0)  0  c  0
p( L)  pn 
pn
pn

a


2
,
b

3

p( L)  0 
L3
L2
  l
p(l )  p n 3
  Lv

 l  
  2  

 Lv  
2
3
39
Blossova přechodnice
3
  l 2
 l  
p(l )  pn 3    2   
  L 
 L  
 Převýšení je přímo úměrné křivosti
1 
2
3
 l  
1
1  l 
r (l ) 
 3    2   

1  r  l  r   L 
 L  
pn  konst  k ( L)  konst 

r
p(l )  konst  k (l )  konst 
 Blossova přechodnice X(l) bude parametrizovaná obloukem
l,tj.
X  l   1
X   l    cos   l  ,sin   l  
X   l       l   sin   l  ,   l   cos  l  
 Kde (l) je orientovaný úhel, který svírá tečna Blossovy
přechodnice s rovným úsekem.
40
Blossova přechodnice
 Funkci (l) určíme ze vzorce pro křivost křivky parametrizované
obloukem.
1

 k  l   X   l      l  
r l 

l3
l4

2
3    l  
2


r  L 2  r  L3
 l  
1
1  l 
 3    2   
r l  r   L 
 L   

 Dosazením (l) do rovnic pro směrový vektor tečny.
X   l    cos  l  ,sin   l  

 l3
 l3
l4 
l4
X   l    cos 

,sin 

2
3 
2
r

L
2

r

L
r

L
2  r  L3




l
 t3
t4
X  l     cos 

2
r

L
2  r  L3

0

 

 l
 t3
t4

 dt ,  sin 
2
r

L
2  r  L3
 0 
 
 dt 
 
41
Blossova přechodnice
 Parametrické rovnice - Blossova přechodnice je parametrizovaná délkou
l.
l
 t3
t4
X  l     cos 

2
r

L
2  r  L3

0
 l
 t3
t4

 dt ,  sin 
2
r

L
2  r  L3
 0

 
 dt 
 
 Pro odchylku tečny v bodě napojení na zatáčku (L) platí
l3
l4
 l  

r  L2 2  r  L3
  L 
L
2r
42
Aproximace Blossovy přechodnice
polynomem
l
 t3
t4
X  l     cos 

2
3
r

L
2

r

L

0

 l
 t3
t4

 dt ,  sin 
2
r

L
2  r  L3
 0

 
 dt 
 
 Sestrojíme Taylorův rozvoj v bodě l=0.
 1  l 6
l7
l 8  1  l12
2l13
3l14
l15
l16  
x  l    1   2 4  2 5  2 6    4 8  4 9  4 10  4 11 
dl
4 12  
2!
r
L
r
L
4
r
L
4!
r
L
r
L
2
r
L
2
r
L
16
r
L





  l3
l4  1  l9
3 l10
3 l11
l12  
y l      2 
  3 6   3 7   3 8  3 9  dl
3 
rL
2
rL
 3!  r L 2 r L 4 r L 8r L  

 Po integraci
l7
l8
l9
l13
l14
l15
l16
l17
xl







14r 2 L4 16r 2 L5 72r 2 L6 312r 4 L8 168r 4 L9 240r 4 L10 768r 4 L11 6528r 4 L12
l4
l5
l10
l11
l12
l13
y





2
3
3 6
3 7
3 8
4rL 10rL 60r L 44r L 96r L 624r 3 L9
43
Základní vytyčovací parametry
l7
l8
l9
l13
l14
l15
l16
l17
xl







14r 2 L4 16r 2 L5 72r 2 L6 312r 4 L8 168r 4 L9 240r 4 L10 768r 4 L11 6528r 4 L12
l4
l5
l10
l11
l12
l13
y





4rL2 10rL3 60r 3 L6 44r 3 L7 96r 3 L8 624r 3 L9
 Pro koncový bod přechodnice l=L.
L3
L3
X  L  L 

14r 2 16r 2
L2 L2
Y  L 

4r 10r
 Souřadnice středu kružnicového oblouku
S   X  L   r  sin   L   , Y  L   r  cos   L   
 Odchylka tečny přechodnice od přímého úseku
l3
l4
 l  

r  L2 2  r  L3
  L 
L
2r
44