Transcript Document
Diferenciální geometrie křivek
Způsoby zadání rovinné křivky, polární
souřadnice
Parametrické rovnice
X t x t , y t
Imlicitní rovnice
F x, y 0
Explicitní rovnice
Kartézské souřadnice
y f x
Polární souřadnice
x r cos f
y
y r sin f , r 0
y
M
r
M
f
x
x
2
Křivka třídy Cn
Množinu kE3 nazýváme křivkou třídy Cn jestliže souřadnice bodů křivky lze
vyjádřit zobrazením IR3, t X(t) s vlastnostmi
X(t) je spojitá na intervalu I
X(t) je prostá
X(t) má na intervalu I spojité derivace do n-tého řádu
Vektor derivace X´(t) není nulový.
Rovinná křivka
X t x t ; y t
Prostorová křivka X t x t ; y t ; z t
3
Cykloida
Parametrizace prosté cykloidy úhlem otočení
X (t ) rt r sin t; r r cost
4
Transformace parametru
Nechť je funkcí X(t) dána křivka k třídy Cn, tI. Na intervalu J nechť je
definována funkce t = f(u) s následujícími vlastnostmi
1. f(u) je prostá na J
2. f(u) zobrazuje J na I
3. f(u) má spojité derivace až do n-tého řádu,
pak vektorová funkce Y(u)=X(f(u)) vyjadřuje tutéž křivku jako funkce X(t).
5
6
Tečna křivky
Tečna křivky X(t) v regulárním bodě X(t0):
lim
h 0
X t0 h X t0
X t0
h
t
X(t0)
X(t0+h)
X´(t0)
X(t)
X(t0)
X(t)
T (r) X t0 r X t0 , r R
Př: Tečna grafu funkce y=f(x)v bodě f(x0):
y f ( x)
X (t ) [t , f (t )] X (t0 ) t0 , f (t0 )
X (t ) [1, f (t )] X (t0 ) 1, f (t0 )
x t0 r
y f (t0 ) r f (t0 )
7
Tečna křivky
Tečna křivky X(t) v regulárním bodě X(t0):
T (r) X t0 r X t0 , r R
Pojem tečny je nezávislý na parametrizaci.
K (t ) [cos(t ),sin(t )];
směrový vektor tečny v bodě K(0):
L(u ) [cos(2u ),sin(2u )];
směrový vektor tečny v bodě L(0):
dK
[ sin(t ), cos(t )],
dt
dK
(t 0) [0,1]
dt
dL
[ 2sin(2u), 2 cos(2u)],
du
dL
(u 0) [0, 2]
du
8
Šroubovice
9
Šroubovice
Šroubový pohyb vzniká složením rotace kolem osy o a posunutí
ve směru osy o.
Šroubovice je dána poloměrem r, parametrem v0 a osou šroubového pohybu o = z .
X ( ) r cos; r sin ; v0
10
Tečna šroubovice
Šroubovice:
tečný vektor:
půdorys tečného vektoru:
Spád šroubovice:
X r cos , r sin , v0
t r sin , r cos , v0
t1 r sin , r cos ,0
tan
v0
v
0
t1
r
Šroubovice je křivka
konstantního spádu
11
Frenetův doprovodný trojhran
Tečná rovina křivky – každá rovina, která obsahuje tečnu křivky
Normálová rovina křivky – rovina kolmá na tečnu křivky
Oskulační rovina křivky – tečná rovina, určená vektory první a druhé derivace.
X t0 r X t0 s X t0 ; r, s R
Normála křivky – každá přímka, která je kolmá na tečnu křivky a prochází daným
bodem.
Hlavní normála – průsečnice oskulační a normálové roviny.
Frenetův doprovodný trojhran je tvořen
jednotkovými směrovými vektory přímek t, n, b
• t – tečna
b
t
k
T n
• n – hlavní normála
• b – binormála
• = (t,n) – oskulační rovina
• = (b,n) – normálová rovina
12
Oskulační rovina šroubovice a plocha tečen
šroubovice
13
Výpočet Frenetova trojhranu
Jednotkový vektor tečny
Jednotkový vektor binormály
Jednotkový vektor hlavní normály
X
t
X
X X
b
X X
n t b
b
T n
k
t X
14
Inflexní bod
Bod X(t0) křivky X(t) se nazývá inflexní
bod křivky, jestliže jsou vektory první a
druhé derivace lineárně závislé.
X t0 X t0
V inflexním bodě není určen Frenetův
doprovodný trojhran.
15
Délka oblouku křivky X(t)
mezi body X(ta) a X(tb)
X(t2)
X(t1)
X(t3)
Délka lomené čáry
n 1
l X ti 1 X ti
X(t)
i 0
b=X(tn)
X(t0)
tb
tb
ta
ta
l X t dt X t X t dt
16
Parametrizace délkou oblouku
t
Funkci l t X u du nazýváme obloukem křivky.
t0
Říkáme, že křivka je parametrizovaná obloukem, když její parametr měří délku
křivky. X(t)=X(t(l)), kde t = t(l) je funkce inverzní k oblouku křivky l(t).
xt
X(3)
4
t2
y ,t R
2
X(2)
2
X(1)
-1
0
1
2
3
17
Křivost křivky
Křivost křivky je mírou
vychýlení křivky od
tečny.
k X s lim
s 0
s
18
Geometrický význam křivosti
Bod křivky je inflexní právě tehdy, je-li v
něm první křivost nulová.
Je-li bod V vrchol křivky, pak v něm má
funkce první křivosti extrém.
19
Křivka parametrizovaná délkou oblouku
Křivka X(l) je parametrizovaná obloukem právě tehdy, když je v každém
bodě vektor X´(l) jednotkový.
Je-li křivka parametrizovaná obloukem, pak je vektor X(l) směrový
vektor hlavní normály. Velikost vektoru X(l) je křivost k křivky.
Jestliže je křivka X(l) parametrizovaná obloukem, pak pro jednotkové
vektory Frenetova doprovodného trojhranu platí:
t X l
X l
n
X l
k X l
b nt
b
t
T n
k
20
Výpočet křivosti křivky
1. Je-li křivka X(l) parametrizovaná obloukem
k X l
2. Je-li křivka X(t) dána obecným parametrem
k
3. Je-li křivka dána jako graf funkce y = f(x)
k
y x x2
k x
X X
X X
3
y
1 y
2 3
Př: Vypočítejte funkci křivosti paraboly y = x2
2
1 4 x
2 3
y x2
y 2 x
y 2
k
2
1 4 x2
3
21
Parametrizace šroubovice délkou křivky
t r sin , r cos , v0
x r cos
y r sin
t r 2 v02
z v0 ; R
l t
0
d
r 2 v02 d r 2 v02
0
r 2 v02
l
x r cos
r 2 v02
l
y r sin
z v0
l
r 2 v02
l
r v
2
2
0
;s R
22
Křivost a hlavní normála šroubovice
X (l ) r cos
X (l )
; r sin
r 2 v02
l
sin
r 2 v02
r
r
X (l )
cos
2
2
r
v
0
k X (l )
r
r 2 v02
;
r 2 v02
;
2
2
r v0
l
l
r 2 v02
v0l
cos
r 2 v02
;
2
2
r v0
r
r
; 2
sin
2
2 r v2
r v0
0
l
l
2
2
r v0
v0
; 0
2
2
r v0
l
Šroubovice je křivka konstantní křivosti.
t X (l ); t 1
X (l )
l
n
cos
r 2 v2
k
0
l
; sin
r 2 v2
0
; 0
23
Frenetův doprovodný trojhran šroubovice
tečna
hlavní
normála
binormála
24
Ekvidistanta křivky k
Definice konstrukcí: V regulární bodě rovinné křivky k sestrojíme normálu
n a na ni naneseme úsečku, jejíž velikost je rovna distanci d.
Ek(t ) X (t ) d
n(t )
n(t )
Ekvidistanta křivky k je obálka systému kružnic se středem na křivce k a
s poloměrem rovným distanci r=d
25
Evoluta křivky
Obálka normál dané křivky
Množina středů oskulačních kružnic
Evoluta je množina singulárních bodů
ekvidistantních křivek
n (l )
k (l )
X (l )
E (l ) X (l )
2
X (l )
E (l ) X (l )
26
Oskulační kružnice křivky
V bodě T=X(t0) sestrojme hlavní normálu křivky. Na hlavní normále sestrojme
bod S, ST =1/k. Kružnici se středem S a poloměrem r =1/k ležící v oskulační
rovině křivky nazýváme oskulační kružnice křivky v bodě T.
Oskulační kružnice a daná křivka mají v bodě T stejnou tečnu a křivost.
Př: Určete oskulační kružnici paraboly 2py = x2
ve vrcholu V[0,0].
x
2p
x
y
p
1
y
p
y
r =1/k – poloměr křivosti
S
– střed křivosti
2
k
1
x 2
p 1
p
1
k (0)
p
r (0) p,
3
S 0, p
27
Oskulační kružnice elipsy
28
Oskulační kružnice
Archimedovy spirály
29
Oskulační kružnice
prosté cykloidy
30
Dotyk křivek
O dvou křivkách řekneme, že mají v bodě P0 dotyk n-tého řádu (n+1
bodový), jestliže parametrizace obloukem X(l), Y(s) existují hodnoty
parametru s0, l0, pro které platí:
Dotyk nultého řádu
X l0 Y s0 P0
dX
dY
l0
s0
dl
ds
d2X
d 2Y
l 2 s0
2 0
dl
ds
K
dnX
l0
dl n
d n 1 X%
l
n 1 0
dl
d nY
s0
ds n
d n 1Y
s
n 1 0
ds
Dotyk 1.řádu
k
t
n
k
Dotyk 2. řádu
O
31
Dotyk rovinných křivek zadaných explicitně
Jsou-li křivky v rovině dány funkcemi y = f(x), y = g(x) a platí-li
f x0 g x 0
f x0 g x0
f x0 g x0
L
f
f
x g x
x g x
n
n
0
n 1
0
n 1
0
0
pak tyto křivky mají v bodě x0 dotyk n-tého řádu.
Křivka y = f(x) a její Taylorův polynom n-tého stupně mají v bodě x0 dotyk alespoň
n-tého řádu.
n
f x0
f x0
f x0
2
n
T x f x0
x x0
x x0 K
x x0
1!
2!
n!
32
Taylorův rozvoj funkce y=sin(x)
33
Taylorův rozvoj kružnice
k := [ cos( t ), sin( t ) ]
1 2 1 4
1 6
1 3
1 5
1 7
taylor_k := 1 t t
t , t t
t
t
2
24
720
6
120
5040
34
Přechodnice
křivky, používané v silniční i železniční dopravě pro napojení přímého
úseku a kružnicového oblouku.
an
Spojitý průběh křivosti.
an
s
s
Kubická parabola – užívala se v ČR v
železniční dopravě.
Bernoulliova lemniskáta – používala
se pro zatáčku menších poloměrů, na
železnicích, vodních cestách i
tramvajových kolejích.
2
( x y ) a ( x y )0
2
2
2
2
2
35
Klotoida
Křivost je přímo úměrná délce oblouku k(l) = a.l
X l cos l ,sin l
X l l sin l , l cos l
a l k X l l
a l2
l
2
l
l
at 2
x l cos
dt
2
0
l
at 2
y l sin
dt
2
0
36
Klotoida
37
Klotoida a kubická parabola
Sestrojíme v bodě X(0) = [0,0] Taylorův rozvoj klotoidy stupně 3.
X t0
X t0
2
T t X t0
t t0
t t0
1!
2!
l
l
at 2
at 2
X l cos
dt ; sin
dt
2
2
0
0
2
2
al
al
X l cos
; sin
2
2
X
n
t0
n!
t t0
n
X 0 0, 0
X 0 1, 0
al 2
al 2
X l al sin
; al cos
X 0 0, 0
2
2
al 2
al 2
al 2
al 2
2 2
2 2
X l a sin
a l cos
; a cos
a l sin
; X 0 0, a
2
2
2
2
T t [0, 0]
0, a t 0 3
[1, 0]
[0, 0]
2
t 0
t 0
1!
2!
3!
at 3
T t t ,
3!
38
Blossova přechodnice
Délka přechodnice je stejná jako délka vzestupnice – L.
Křivost zatáčky k(L) je převrácená hodnota poloměru zatáčky r.
Křivost k(l) je kubickou funkcí délky oblouku l.
Křivost je přímo úměrná hodnotě převýšení p(l) vzestupnice.
Celkové převýšení vzestupnice - pn
p(l ) al 3 bl 2 cl d
p(0) 0 d 0
p(0) 0 c 0
p( L) pn
pn
pn
a
2
,
b
3
p( L) 0
L3
L2
l
p(l ) p n 3
Lv
l
2
Lv
2
3
39
Blossova přechodnice
3
l 2
l
p(l ) pn 3 2
L
L
Převýšení je přímo úměrné křivosti
1
2
3
l
1
1 l
r (l )
3 2
1 r l r L
L
pn konst k ( L) konst
r
p(l ) konst k (l ) konst
Blossova přechodnice X(l) bude parametrizovaná obloukem
l,tj.
X l 1
X l cos l ,sin l
X l l sin l , l cos l
Kde (l) je orientovaný úhel, který svírá tečna Blossovy
přechodnice s rovným úsekem.
40
Blossova přechodnice
Funkci (l) určíme ze vzorce pro křivost křivky parametrizované
obloukem.
1
k l X l l
r l
l3
l4
2
3 l
2
r L 2 r L3
l
1
1 l
3 2
r l r L
L
Dosazením (l) do rovnic pro směrový vektor tečny.
X l cos l ,sin l
l3
l3
l4
l4
X l cos
,sin
2
3
2
r
L
2
r
L
r
L
2 r L3
l
t3
t4
X l cos
2
r
L
2 r L3
0
l
t3
t4
dt , sin
2
r
L
2 r L3
0
dt
41
Blossova přechodnice
Parametrické rovnice - Blossova přechodnice je parametrizovaná délkou
l.
l
t3
t4
X l cos
2
r
L
2 r L3
0
l
t3
t4
dt , sin
2
r
L
2 r L3
0
dt
Pro odchylku tečny v bodě napojení na zatáčku (L) platí
l3
l4
l
r L2 2 r L3
L
L
2r
42
Aproximace Blossovy přechodnice
polynomem
l
t3
t4
X l cos
2
3
r
L
2
r
L
0
l
t3
t4
dt , sin
2
r
L
2 r L3
0
dt
Sestrojíme Taylorův rozvoj v bodě l=0.
1 l 6
l7
l 8 1 l12
2l13
3l14
l15
l16
x l 1 2 4 2 5 2 6 4 8 4 9 4 10 4 11
dl
4 12
2!
r
L
r
L
4
r
L
4!
r
L
r
L
2
r
L
2
r
L
16
r
L
l3
l4 1 l9
3 l10
3 l11
l12
y l 2
3 6 3 7 3 8 3 9 dl
3
rL
2
rL
3! r L 2 r L 4 r L 8r L
Po integraci
l7
l8
l9
l13
l14
l15
l16
l17
xl
14r 2 L4 16r 2 L5 72r 2 L6 312r 4 L8 168r 4 L9 240r 4 L10 768r 4 L11 6528r 4 L12
l4
l5
l10
l11
l12
l13
y
2
3
3 6
3 7
3 8
4rL 10rL 60r L 44r L 96r L 624r 3 L9
43
Základní vytyčovací parametry
l7
l8
l9
l13
l14
l15
l16
l17
xl
14r 2 L4 16r 2 L5 72r 2 L6 312r 4 L8 168r 4 L9 240r 4 L10 768r 4 L11 6528r 4 L12
l4
l5
l10
l11
l12
l13
y
4rL2 10rL3 60r 3 L6 44r 3 L7 96r 3 L8 624r 3 L9
Pro koncový bod přechodnice l=L.
L3
L3
X L L
14r 2 16r 2
L2 L2
Y L
4r 10r
Souřadnice středu kružnicového oblouku
S X L r sin L , Y L r cos L
Odchylka tečny přechodnice od přímého úseku
l3
l4
l
r L2 2 r L3
L
L
2r
44