Transcript Nedoločeni integral

NEDOLOČENI IN
DOLOČENI INTEGRAL
3.7. Nedoločeni integral
Gaussova krivulja je graf funkcije
  , 
1

2
e
 x 


 

2
µ ∈ IR - matematično upanje
σ ∈ IR, σ > 0 - standardni odklon
Kako izračunati ploščino med Gaussovo krivuljo in
abscisno osjo?
Splošno: kako izračunati ploščino krivočrtno omejenega
lika?
DEFINICIJA.
Nedoločeni integral ali primitivna funkcija funkcije f
na intervalu I ⊆ Df je tista funkcija F, za katero velja
F ’(x) = f(x) za vsak x ∈ I.
Ker velja za poljubno konstanto C enakost
(F(x) + C)’= F ’(x) = f(x),
zapišemo nedoločeni integral

f ( x ) dx  F ( x )  C
 integralski znak, f(x) integrand, x integracijska
spremenljivka, dx diferencial integracijske
spremenljivke
Elementarni nedoločeni integrali
Funkcija f(x)
Konstantna funkcija
Potenčna funkcija
xC
1
r
x
x
 C,
ln x  C
x
Trigonometrične funkcije
r 1
r 1
1
Eksponentna funkcija
Nedoločeni integral
a
x
e
x
a
x
C
ln a
e C
x
cos x
sin x  C
sin x
 cos x  C
1
2
cos x
1
sin
2
x
tan x  C
 cot x  C
r  1
Elementarni nedoločeni integrali
Funkcija f(x)
1
1 x
arcsin x  C
2
1
1 x
arctan x  C
2
1
x a
2
Nedoločeni integral
2
ln( x 
x a )C
2
2
Lastnosti nedoločenega integrala
IZREK. Če obstajata nedoločena integrala funkcij f in
g, obstaja tudi nedoločeni integral njune vsote (oziroma
razlike) in je enak vsoti (razliki) integralov
(f
 g )( x ) dx 

f ( x ) dx 
 g ( x ) dx
POSLEDICA. Če obstajajo nedoločeni integrali funkcij
f1, f2 . . . fn, obstaja tudi nedoločeni integral njihove vsote
in velja
(f
1
 f 2    f n )( x ) dx 

f 1 ( x ) dx 

f 2 ( x ) dx     f n ( x ) dx
IZREK. Če obstaja nedoločeni integral funkcije f,
obstaja tudi nedoločeni integral funkcije C f, pri čemer
je C poljubna konstanta in velja
 Cf ( x ) dx
 C  f ( x ) dx
IZREK. Če obstaja nedoločeni integral funkcije f in če
je x = x(t) odvedljiva funkcija, obstaja tudi nedoločeni
integral funkcije f(x(t)) x’(t) in velja

f ( x ) dx 

f ( x ( t )) x ' ( t ) dt
Primer. Izračunajte dane integrale.
1
 ( x  x  x ) dx
4
2
x  2x  5
2

dx
x
3
(
x

x ) dx

Metode integriranja
Uvedba nove spremenljivke
Če iskanega nedoločenega integrala  f ( x ) dx ni v tabeli
elementarnih integralov, poiščemo tako novo
spremenljivko t (če obstaja), da najdemo integral
 f ( x ( t )) x ' ( t ) dt med elementarnimi integrali.
Nekaj primerov funkcij, ki jih lahko integriramo z
uvedbo nove spremenljivke:
f ( x ) f ' ( x ) za r  IR ,
r
f ( x ) f ' ( x ),
f '( x)
f ( x)
Primer. Izračunajte dane integrale.
 ( 2 x  5 ) dx
3
 ( x  3 x  4 ) ( 2 x  3 ) dx
2

ln x
x
5
dx
Integriranje po delih (metoda ”per partes”)
IZREK. Naj bosta funkciji u in v odvedljivi in naj
obstaja eden od integralov  uv ' dx in  u ' vdx.
Tedaj obstaja tudi drugi integral in velja
 u ( x ) v ' ( x ) dx
 u ( x )v ( x ) 
 udv
 uv 
 u ' ( x ) v ( x ) dx
 vdu
Primeri funkcij, ki jih lahko integriramo po delih:
x
p ( x ) sin x , p ( x ) cos x , p ( x ) e , p ( x ) ln x
pri čemer je p(x) polinom.
Primer. Izračunajte dani integral.
 x cos
xdx
3.8. Določeni integral
Kako izračunati ploščino krivočrtno omejenega lika?
Naj bo funkcija f na intervalu [a, b] zvezna in pozitivna.
Interval [a, b] razdelimo na n podintervalov
a  x 0  x1  x 2    x n  b
Širine podintervalov so
 k : x k  x k 1 ,
k  1, 2 ,  , n
Naj bo ∆ širina največjega podintervala:
 : max  k ; k  1, 2 ,  , n 
Na vsakem podintervalu si izberimo poljubno vrednost
x 0   1  x1   2  x 2    x k 1   k  x k    x n
in zapišimo vsoto ploščin pravokotnikov
n
Pn  f ( 1 )  1  f ( 2 )  2    f ( n )  n 

f ( k )  k
k 1
Pn
je Riemannova ali integralska vsota.
IZREK. Zaporedje
konvergentno.
P1 , P2 , 
Riemannovih vsot je
DEFINICIJA. Določeni integral funkcije f na intervalu
[a, b] je
b

a
n
f ( x ) dx  lim

n 
  0 k 1
f ( k )  k
Oznake:
a – spodnja meja določenega integrala,
b – zgornja meja določenega integrala,
[a, b] – integracijski interval.
Geometrijska interpretacija določenega integrala
Določeni integral funkcije f na intervalu [a, b] je enak
ploščini lika, omejenega s krivuljo y = f(x) in osjo x na
intervalu od a do b.
DEFINICIJA. Funkcija f je integrabilna na intervalu
[a, b] natanko tedaj, ko obstaja določeni integral
b

a
f ( x ) dx .
Lastnosti določenega integrala
Naj bo funkcija f integrabilna na intervalu [a, b]. Tedaj
velja
1.
f ( x )  0 za vsak x  a , b 
b


f ( x ) dx  0
a
f ( x )  0 za vsak x  a , b 
b


f ( x ) dx  0
a
POSLEDICA. Če je ima funkcija f na intervalu [a, b]
oba predznaka, je ploščina med krivuljo in osjo x enaka
b
P 

a
f ( x ) dx
a
2. 
b
f ( x ) dx    f ( x ) dx
b
a
3. Naj bo a < c < b. Tedaj velja
b

c
f ( x ) dx 
a

b
f ( x ) dx 
a

f ( x ) dx
c
(Posplošitev: točka c lahko leži tudi zunaj intervala [a, b].)
a
4. 
f ( x ) dx  0
a
5. Oznaka integracijske spremenljivke v določenem
integralu je irelevantna:
b

a
b
f ( x ) dx 

a
b
f ( t ) dt   f ( u ) du  
a
IZREK O POPREČNI VREDNOSTI
Če je funkcija f na na intervalu [a, b] integrabilna in je
M natančna zgornja meja, m pa natančna spodnja meja
funkcije f na intervalu [a, b], obstaja natanko določeno
število f , tako da velja
b

f ( x ) dx  f ( b  a ).
a
Če je funkcija f na intervalu [a, b] zvezna, obstaja na
tem intervalu vsaj eno število ξ ∈ [a, b], tako da je
b

a
f ( x ) dx  f ( ) ( b  a ).
Zveza med določenim in nedoločenim integralom
Določeni integral kot funkcija zgornje meje
Naj bo funkcija f na intervalu [a, b] integrabilna in naj
bo x ∈ [a, b]. S predpisom
x
F ( x ) :

f ( t ) dt
a
je definirana funkcija F: [a, b] → IR (določeni integral
je funkcija zgornje meje).
IZREK. Funkcija F je zvezna na intervalu [a, b].
IZREK. Če je funkcija f zvezna na intervalu [a, b], je funkcija F
odvedljiva in velja
F ’(x) = f(x) za vsak x ∈ [a, b].
IZREK. Newton – Liebnitzova formula
b

f ( x ) dx  F ( b )  F ( a )
a
POSLEDICA. Določeni integral obstaja pri vsaki zvezni funkciji.
Primer. Izračunajte dani določeni integral. Rezultat geometrijsko
interpretirajte.
2
 x dx
2
0
3.9. Uporaba določenega integrala
3.9.1. Ploščina med krivuljama
Predpostavke:
• funkciji f in g naj bosta integrabilni,
• naj bosta x1 in x2 rešitvi enačbe f(x) = g(x), pri tem pa
naj bo x1 < x2,
• naj bo f(x) > g(x) za vsak x ∈ [x1, x2].
Ploščina lika, ki ga oklepata krivulji y = f(x) in y = g(x)
je tedaj enaka
x
2
P 
 ( f ( x )  g ( x )) dx
x1
Primer. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij
2
in g ( x )  x .
f ( x)  x
3.9.2. Prostornina vrtenine
Funkcija f naj bo integrabilna na intervalu [a, b ].
Krivuljo y = f(x) zavrtimo okrog osi x. Prostornina tako
nastale vrtenine (rotacijskega telesa) je
b
V 

a
2
f ( x ) dx
Primer. Lik, ki ga omejujeta os x in graf funkcije f ( x )  x na
intervalu 0 , 4  , zavrtimo okrog osi x. Izračunajte prostornino
nastale vrtenine.
Vprašanja, naloge
1. S primerom in sliko ponazorite izrek o povprečni
vrednosti funkcije na danem intervalu. Kakšen je
geometrijski pomen vrednosti f ?
f 
1
ba
b

f ( x ) dx
a
2. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo abscisna os
2
2
y

x
y

(
x

2
)
in grafa funkcij
in
. Izračunano
ploščino še ocenite s ploščino trikotnika, ki ima
osnovnico na abscisni osi med temenoma danih
krivulj in vrh v presečišču teh krivulj. Kolikšni sta
absolutna in relativna napaka ocene? Krivulji, lik in
trikotnik tudi skicirajte.
3. Z določenim integralom izračunajte ploščino
trikotnika s stranicami dolžine 3, 4 in 5.
4. Z določenim integralom izračunajte prostornino valja
s polmerom dolžine 3 in višino dolžine 5.