Transcript Document

Geometria I
3. Prednáška
PaedDr. Miroslav Tisoň, PhD.
FMFI UK, 2010
8. 4. 2015
2/21
Obsah 3. prednášky
3. Podpriestory
3.1 Podpriestor - lineárna varieta
3.2 Dimenzia lineárneho podpriestoru
3.3 Lineárna závislosť, nezávislosť bodov
3.4 Parametrické určovanie podpriestoru
3.5 Neparametrické určovanie podpriestoru
3.6 Prepis parametrického a neparametrického
vyjadrenia podpriestoru
8. 4. 2015
3/21
3.1 Podpriestor - lineárna varieta
Definícia 3.1: (Lineárny) podpriestor, lineárna varieta 
afinného priestoru An je každá neprázdna množina bodov
afinného priestoru An pre ktorú platí:
 = A + S = {A + s, s  S}
kde AB je bod afinného priestoru a S je ľubovoľný
podpriestor vektorového priestoru Vn(An)
Definícia 3.2: Vektorový podpriestor S sa nazýva vektorová
zložka bodového podpriestoru A  S (smer, zameranie)
– Označujeme V() . V(A+S)=S
– Prvky smeru podpriestoru sa nazývajú smerové vektory
podpriestoru.
8. 4. 2015
4/21
3.1 Podpriestor - lineárna varieta
Príklad 3.1: Jednobodové podmnožiny A, B, ... a
množina A sú podpriestory afinného priestoru A: A 
A  0 a A  A  V(A) pre všetky body AA.
– Triviálne podpriestory
– Nerozlišujeme medzi bodom a odpovedajúcim jednoprvkovým
podpriestorom a namiesto zápisu   A zjednodušene píšeme
  A.
Príklad 3.2:
Súradnicová os - priamka určená začiatkom sústavy
súradníc a jedným zo súradnicových vektorov
(x1, x2, ..., xn, resp. v A2 a A3 x, y resp. x, y, z, alebo
Ox, Oy resp. Ox, Oy, Oz)
Súradnicové roviny - sú určené začiatkom sústavy
súradníc a dvomi súradnicovými vektormi
(V A3 Oxy,Oyz,Oxz)
8. 4. 2015
5/21
3.1 Podpriestor - lineárna varieta
Veta 3.1: Podpriestor afinného priestoru, spolu so svojím smerom a
s rozdielom bodov prevzatým z celého priestoru, je afinný priestor.
Veta 3.2: Základné vlastnosti podpriestorov:
a) A  A  S, preto každý podpriestor je neprázdny.
b) XA: X  A  S  X  A  S.
c) B  A  S  B  S  A  S.
d) V()  Y  A Y, pričom A je ľubovoľný.
e) V()  Y  X X,Y.
f) X, uV()  X  u.
g)   A  V(), kde A je ľubovoľný bod.
Veta 3.3: Množina   A je podpriestor práve vtedy, keď je neprázdna
a má vlastnosť:
A,B tR: A  t(B  A)  .
8. 4. 2015
6/21
3.2 Dimenzia lineárneho podpriestoru
Definícia 3.3: Dimenzia (rozmer) podpriestoru  je
dimenzia jeho vektorovej zložky V(): dim  = dim V().
– Hovoríme, že lineárny podpriestor  je k-rozmerný (má dimenziu
k) ak vektorový podpriestor V() má dimenziu k: dim V()=k.
– Priamka – jednorozmený lineárny podpriestor An , (k=1)
– Rovina – dvojrozmerný lineárny podpriestor An . (k=2)
– Nadrovina – (n–1)-rozmerný lineárny podpriestor An. (k=n-1)
• priamka – nadrovina v A2
• rovina – nadrovina v A3
8. 4. 2015
7/21
3.3 Lineárna závislosť, nezávislosť bodov
Definícia 3.4: Hovoríme, že body A0,A1,...,Ak sú lineárne závislé ak
existuje podpriestor , pre ktorý platí, že body A1,...,Ak  a
dim <k. Body sú lineárne nezávislé, práve vtedy ak nie sú
lineárne závislé.
– tri body sú lineárne závislé ak ležia na jednej priamke (kolineárne),
– štyri body ak ležia v rovine (komplanárne)
Veta 3.4: (Kritérium) Body A0,A1,...,Ak sú lineárne závislé práve vtedy,
ak sú vektory A1–A0,...,Ak–A0, lineárne závislé.
Vlastnosti:
1. dim  = k  keď v  existuje k+1 lineárne nezávislých bodov a viac
bodov ako k+1 je lineárne závislých.
2. V n-rozmernom afinnom priestore An existuje n+1 lineárne nezávislých
bodov a každá množina, ktorá obsahuje viac bodov je lineárne závislá
3. (,V(),+) je k-rozmerný afinný priestor, ak dim  = k
4. Ak A0,A1,...,Ak sú lineárne nezávislé potom existuje práve jeden
k-rozmerný podpriestor, ktorý obsahuje dané body.
8. 4. 2015
8/21
3.4 Parametrické určovanie podpriestoru
• Úvahy v An; pevne zvolená sústava O,e1,...,en
• V() – vektorový podpriestor generovaný vektormi a1, a2,
..., ak ; ozn. V()=a1,a2,...,ak
• Lineárny podpriestor  = A + a1,a2,...,ak je určený
bodom A=[a10,a20,...,ank], kde A  B
lineárne nezávislými vektormi a1=[a11,...,an1],
a2=[a12,...,an2],...,ak=[a1k,...,ank];
ozn.:  = A, a1,a2,...,ak
Veta 3.5: Bod X=[x1,x2,...,xn]An leží v podpriestore
=A,a1,a2,...,ak práve vtedy, keď existujú také čísla
t1,t2,...,tk R, že
X = A + t1a1 + t2a2 + ... + tkak
(3.1)
8. 4. 2015
9/21
3.4 Parametrické určovanie podpriestoru
Definícia 3.5: Rovnosť (3.1) sa nazýva parametrické
vyjadrenie podpriestoru =Aa1,a2,...,ak.
Čísla t1,t2,...,tk z rovnosti (3.1) sa nazývajú parametre
bodu X  A a1,a2,...,ak.
x 1  a10  a11t 1  ...  a1k t k
x 2  a 20  a 21t 1  ...  a 2k t k
(3.2)
x n  a n 0  a n 1t 1  ...  a nk t k

X

A

a1

an
kde A  (a10,..., an0), a1  (a11,..., an1), ..., ak  (a1k,..., ank).
8. 4. 2015
10/21
3.4 Parametrické určovanie podpriestoru
• Parametrické vyjadrenie smeru podpriestoru
=Aa1,a2,...,ak je:
x  t1a1 + t2a2 + ... + tkak
Parametrické vyjadrenie zapísané ako súčin matíc:
 x 1   a10  a11 a12
    
 x 2   a 20   a 21 a 22
    
    
 x n  a n 0  a n 1 a n 2
a1k 
a 2k 
t 1 
 
t
. 2 
  
  
a nk  t k 
Matica (aij)i = 1,...,n; j = 1,...,k – matica prechodu od afinnej
súradnicovej sústavy O,e1,...,en do sústavy A,a1,...,ak.
8. 4. 2015
11/21
Geometrický význam parametrických rovníc
a)pre
x2
a=
n = 2, k = 1
A=(a1,a2) =(0)
a
u1
xa=t1u1
X=(x1,x2)=(t!)
x2e2
e2
x
x1
O=(0,0)
e1
x1e1
Ilustrácia vzťahu medzi parametrickým vyjadrením priamky a v priestore A2
a „lokálnou“ súradnicovou sústavou na priamke a v priestore A2
8. 4. 2015
12/21
x3
x3e3
b) pre
n = 3, k = 1,
X=(x1,x2,x3)=(t1
)
xa=t1u1
u1
A=(a1,a2,a3)=(0)
a
a
x1e1
x1
x
e1
e3
O=(0,0,0)
e2
x2e2
x2
Ilustrácia vzťahu medzi parametrickým vyjadrením priamky a v priestore A3
a „lokálnou“ súradnicovou sústavou na priamke a v priestore A3
8. 4. 2015
13/21
x3
x3e3
c) pre
n = 3, k = 2
X=(x1,x2,x3)=(t1,t2)
t2u2
xa

u2
A=(a1,a2,a3) =(0,0)
u1
t1u1
a
x1e1
x1
e1
x
e3
O=(0,0,0)
e2
x2e2
x2
Ilustrácia vzťahu medzi parametrickým vyjadrením roviny  v priestore A3
a „lokálnou“ súradnicovou sústavou v rovine  v priestore A3
8. 4. 2015
14/21
3.4 Parametrické určovanie podpriestoru
Poznámka: Parametrické vyjadrenie lineárneho podpriestoru  nie je určené
jednoznačne, lebo závisí od voľby bodu v podpriestore  a od voľby bázy vo
V().
Príklad 3.3: Zistite, či body M(9,2,5),N(4,1,6) ležia v rovine Aab, ak
A(1,3,2),a(2,1,1),b(1,1,0).
Poznámka: Počet lineárnych funkcií v parametrickom vyjadrení lineárneho
podpriestoru  sa rovná dimenzii afinného priestoru (pre An je to n lineárnych
funkcí x1,x2,...,xn ) v ktorom tento lineárny podpriestor skúmame a počet
rôznych parametrov vyskytujúcich sa v týchto funkciách (každý aspoň
v jednej) sa rovná dimenzii lineárneho podpriestoru  (ak dim  = k, tak
existujú parametre t1,t2,...,tk ).
Príklad 3.4: Zistite, aké podpriestory sú dané parametrickými rovnicami:
x 1  2  3t
x 2  1  2t
x1  t
x 1  5  r  2s
x 1  1  r  3s  t
x2  1 t
x 2  3  2r  s
x 2  2  r  2s  t
x 3  3  2t
x3  r  s
x 3  3  r  2s  t
x4 1 r  s
8. 4. 2015
15/21
8. 4. 2015
16/21
3.5 Neparametrické určovanie podpriestoru
Definícia 3.7: Sústavou všeobecných rovníc krozmerného lineárneho podpriestoru  z priestoru An
budeme rozumieť každú nezávislú sústavu n-k lineárnych
rovníc o n neznámych, čiže sústavu rovníc v tvare:
a11x 1
a 21x 1
 a12 x 2
 a 22 x 2
 ...  a1n x n
 ...  a 2n x n
a n k ,1x 1  a n k ,2 x 2 
 a n k ,n x n
 b1
 b2
(3.4)
 bn k
• pričom hodnosť matice A=(aij)i = 1,...,n; j = 1,...,k je h(A)=n–k,
a ktorej vyhovujú súradnice všetkých bodov podpriestoru
 a nevyhovujú jej súradnice žiadnych iných bodov.
8. 4. 2015
17/21
3.5 Neparametrické určovanie podpriestoru
•
•
Teda rovnice (3.4) predstavujú nutné a postačujúce podmienky k tomu aby
bod X=[x1,x2,...,xn] patril podpriestoru .
Maticový zápis neparametrického vyjadrenia: A.X=P
Veta 3.6: Množina všetkých bodov An, ktorých súradnice vyhovujú riešiteľnej
nehomogénnej sústave lineárnych rovníc (3.4) je podpriestor. Jeho smerom
je množina všetkých vektorov, ktorých súradnice vyhovujú odpovedajúcej
sústave homogénnych rovníc.
•
Podpriestor určený sústavou rovníc (3.4) označujeme 3.4. Teda
•
Podpriestor neurčuje samotná sústava rovníc, ale sústava rovníc spolu s
aktuálnou sústavou súradníc.
– bod afinného priestoru patrí podpriestoru 3.4 práve vtedy, keď jeho súradnice
vyhovujú sústave rovníc (3.4)
– vektor afinného priestoru je smerovým vektorom podpriestoru 3.4 práve vtedy,
keď jeho súradnice vyhovujú sústave homogénnych rovníc, ktorá vznikne zo
sústavy (3.4)
Veta 3.7: Ku každému k-rozmernému podpriestoru existuje aspoň jedna sústava
všeobecných lineárnych rovníc, ktorá ho určuje.
8. 4. 2015
18/21
3.5 Neparametrické určovanie podpriestoru
•
Každá lineárna rovnica
a1x1 + ... + anxn = b1,
kde ai R, (a1,..., an)  (0, ..., 0) je všeobecnou rovnicou jedinej nadroviny.
•
A naopak...
Príklad 3.5: Nájdite všeobecnú rovnicu nadroviny  určenej  = P+a1,a2,...,an-1
Dôsledok: Priamka p=P+a z A2, kde P=[p1,p2] a a=[a1,a2] má všeobecnú rovnicu:
x 1  p1 x 2  p 2
0
a1
a2
a 2  x 1  p1   a1  x 2  p 2   0
Poznámka: Ak je priamka určená ináč, je potrebné pred napísaním jej rovnice nájsť jeden
jej bod a smerový vektor.
Príklad 3.6: Určime rovnicu priamky AB, ak A=[a1,a2] a B=[b1,b2]
Dôsledok 2. Rovnica roviny (nadroviny) p=P+a,b z A3 kde, bod P=[p1,p2,p3] a vektory
a=[a1,a2,a3],b=[b1,b2,b3] je
x 1  p1 x 2  p 2 x 3  p 3
a1
a2
a3
0
b1
b2
b3
8. 4. 2015
19/21
3.6 Prepis parametrického a
neparametrického vyjadrenia podpriestoru
Veta 3.8: Ku každému podpriestoru zadanému parametricky je možné
napísať sústavu lineárnych rovníc, ktorá ho určuje a naopak, každý
podpriestor určený sústavou lineárnych rovníc je možné vyjadriť
parametricky.
1. postup: Nech je daný podpriestor =P a1,a2,...,ak .
a) Vytvoríme sústavu: [a1 a2 ... ak]T.[x1 x2 ... xn]T=[0 0 ... 0]
b) Nájdeme bázu b1,b2,...,bn–k podpriestoru všetkých riešení sústavy
(3.6).
c) Vytvoríme sústavu:
 b1   x 1   b1   p1 

  
 
b
x
b
 2   2    2   p2 

  
 

  
 
b
x
b
 n  k   n   n k   p n 
resp.
 b1   x 1  p1  0 


  
b
x

p
0
2
 2  2
 


  


  
b
x

p
0 
 n k   n
n
čo je už hľadaná sústava všeobecných rovníc.
(3.6)
8. 4. 2015
20/21
3.6 Prepis parametrického a
neparametrického vyjadrenia podpriestoru
2. postup: Sústava všeobecných rovníc (3.4) – systém všeobecných rovníc n-k
nadrovín, ktorých prienikom je k-rozmerný lineárny podpriestor . Nájsť
sústavu všeobecných rovníc k-rozmerného podpriestoru  znamená – nájsť
n-k „lineárne nezávislých“ nadrovín, ktorých prienikom je  a pod seba
napísať ich všeobecné rovnice.
Pre k-rozmerný lineárny podpriestor je algoritmus riešenia nasledujúci:
a) Doplníme množinu a1,a2,...,ak nejakými vektormi ak+1,...,an na bázu priestoru
Vn(P)(teda vektory a1,a2,...,an budú lineárne nezávislé).
b) Vytvoríme si nadroviny k+1=P a1,...,ak,ak+2,...,an,
k+2=P a1,...,ak+1,ak+3,...,an, …,n=P a1,...,ak,ak+1,...,an-1, t.j. z n-k
pridaných vektorov vždy jeden vynecháme.
c) Napíšeme všeobecné rovnice nadrovín k+1,k+2,...,n na základe skôr uvedeného
vzorca (3.5)
d) Systéme týchto n-k lineárnych rovníc vytvára sústavu všeobecných rovníc
lineárneho podpriestoru .
Príklad 3.7: Určte rovnice roviny =P a1,a2, kde P=[-1,0,0,0], a1=[1,1,1,1],
a2=[1,1,1,0]
8. 4. 2015
21/21
3.6 Prepis parametrického a
neparametrického vyjadrenia podpriestoru
3. postup: Použitím eliminačnej metódy parametrov. Nech (3.2) je
parametrické vyjadrenie k-rozmerného podpriestoru . Stĺpcové
vektory pri parametroch t1,t2,...,tk vytvárajú obdĺžnikovú maticu typu
nxk. Pretože hodnosť tejto matice je k, obsahuje aspoň jednu k–ticu
lineárne nezávislých riadkov. Vyberme si jednu z týchto k-tíc. Tejto ktici prislúcha k-členná podsústava sústavy (3.2). Z tejto podsústavy
možno vyjadriť parametre t1,t2,...,tk ako funkcie príslušných
neznámych x1,x2,...,xn . Ak tieto vyjadrenia dosadíme do zvyšných
rovností sústavy (3.2), dostaneme po úprave sústavu všeobecných
rovníc lineárneho podpriestoru .
Príklad 3.8: Napíšte všeobecné rovnice podpriestoru  daného
parametrickým vyjadrením:
x1=1+r – s
x2=r +2s
x3=2+2r +s
x4=1+s
8. 4. 2015
22/21
3.6 Prepis parametrického a
neparametrického vyjadrenia podpriestoru
Postup na zistenie parametrických rovníc k-rozmerného lineárneho podpriestoru  daného
všeobecnými rovnicami
Nech
a11x 1
 a12 x 2
 ...  a1n x n
 b1
(3.8)
a 21x 1
 a 22 x 2
 ...  a 2n x n
a n k ,1x 1  a n k ,2 x 2 
 a n k ,n x n
 b2
 bn k
je sústava všeobecných rovníc  (dim a=k).
Pre maticu A sústavy (3.8) platí, h(A)=n-k ,  n-k lineárne nezávislých stĺpcov – regulárna
submaticu B typu (n-k)x(n-k) matice A.
Potom pri hľadaní parametrického vyjadrenia podpriestoru  postupujeme:
–
–
–
sústavu (3.8) upravíme tak, že na ľavej strane ponecháme iba tie neznáme, ktoré prislúchajú
stĺpcom matice B a zvyšné neznáme (je ich k) položíme rovné parametrom t1,t2,...,tk a
prenesieme ich na pravú stranu.
Takto upravenú sústavu vyriešime vzhľadom na neznáme, ktoré zostali na pravej strane, čiže
vypočítame ich ako funkcie parametrov t1,t2,...,tk .
Výsledky usporiadame podľa indexov neznámych.
Príklad 3.9: Napíšte parametrické vyjadrenie podpriestoru  v A4, ktorý je daný
všeobecnými rovnicami: 2x  x  3x  7x  5  0
1
2
3
4
6x 1  3x 2  x 3  5x 4  7  0
8. 4. 2015
23/21
3.6.1 Ďalšie analytické opisy priamky
a nadroviny
– Kanonické rovnice priamky p.
x 1  p1
x n  pn
 ... 
a1
an
– Úsekový tvar všeobecnej rovnice nadroviny
x1 x 2
xn

 ... 
1  0
a1 a1
an
Ďakujem za pozornosť
Nasleduje cvičenie...