Transcript Priamka

Priamka v rovine
Analytická geometria lineárnych
útvarov
Čím je priamka určená
p
s
A
• pevným bodom (A)
• smerovým vektorom (s)
• všetky rovnobežné
priamky majú rovnaký
smerový vektor
• priamku z nich určuje
pevný bod
Ako priamku vyjadriť
1. Parametrickým vyjadrením (PVP)
2. Všeobecnou rovnicou (VRP)
a) Základný tvar
b) Smernicový tvar
Parametrické vyjadrenie priamky
s
p
PVP:
X = A + t.s, t R
A[a1;a2]
podľa súradníc:
p:x = a1 + t.s1
y = a2 + t.s2
A
s = (s1;s2)
Príklad 1
Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodom
A[1,-3] a má smerový vektor s = (2,-4)
p: x = a1 + t.s1
y = a2 + t.s2
p: x = 1 + 2t
y = -3 – 4t
Príklad 2
Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodmi
A[2,-4] a B[-3,-1]
s  AB  B  A  (5;3)
p: x = a1 + t.s1
y = a2 + t.s2
p: x = 2 – 5t
y = -4 + 3t
alebo
p: x = -3 – 5t
y = -1 + 3t
Príklady
1. Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodom
F[-2,6] a má smerový vektor s = (-8,9).
2. Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodom
H[5,-7] a má smerový vektor s = (0,2).
3. Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodmi
S[-3,-3] a T[7,-6].
4. Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodmi
E[0,4] a F[4,5].
riešenie
Príklady
5. Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodom
K[-3,-3] a je rovnobežná s priamkou p:
x=1+3t, y=4-5t.
6. Zistite, či body G[-2,1], H[7,-6] ležia na
priamke p: x=1+3t, y=4-5t.
7. Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodom
E[0,4] a je rovnobežná s priamkou, ktorá
prechádza bodmi F[4,5] a G[-3,-2].
riešenie
Príklady
učebnica M5
– riešené 49/Pr.36 - 40
– neriešené 51/1 - 4
Všeobecná rovnica priamky
p
n
s
• pevným bodom (A)
• normálovým vektorom (n)
A[a1;a2]
A
s = (s1;s2)
n = (a;b)
sn
s = (s1;s2)
n = (s2;-s1)
VRP:
ax + by + c = 0
Príklad 3
Napíšte VRP priamky, ktorá prechádza bodom
A[2,-4] a má normálový vektor n=(-3,-1)
p: ax + by + c = 0
 3x  y  c  0
 3.2  (4)  c  0
64c  0
2c  0
c2
p : 3x  y  2  0
p : 3x  y  2  0
Príklad 4
Napíšte VRP priamky, ktorá prechádza bodmi
A[2,-4] a B[-3,-1]
s  AB  B  A  (5;3)
n  (3;5)
p: ax + by + c = 0
3x  5 y  c  0
3.2  5.(4)  c  0
6  20  c  0
 14  c  0
c  14
p : 3x  5 y  14  0
Príklad 5
Napíšte PVP priamky, ktorá má rovnicu
x – 2y + 3 = 0
n  (1;2)
s  (2;1)
A1;2
p: x = a1 + t.s1
y = a2 + t.s2
p: x = 1 + 2t
y= 2+t
Príklady
8. Napíšte VRP priamky, ktorá prechádza bodom
F[-2,6] a má normálový vektor n = (-8,9).
9. Napíšte VRP priamky, ktorá prechádza bodom
H[5,-7] a má smerový vektor s = (0,2).
10.Napíšte VRP priamky, ktorá je kolmá na
priamku, ktorá prechádza bodmi S[-3,-3] a
T[7,-6].
11.Napíšte VRP priamky, ktorá prechádza bodmi
E[0,4] a F[4,5].
riešenie
Príklady
12.Nájdite bod a oba vektory priamky s
vyjadrením p: x = 2 + 3t, y = -3 – 5t.
13.Napíšte VRP priamky, ktorá má vyjadrenie
p: x = 4t; y = 4 + 1t.
14.Napíšte PVP priamky, ktorá má rovnicu
p:2x-3y+6=0
riešenie
Príklady
učebnica M5
– riešené 53/Pr.41 - 44
– neriešené 55/1 - 6
Smernicový tvar rovnice priamky
Vychádza z VRP:
ax + by + c = 0
vyjadríme y:
by  ax  c
a
c
y  x
b
b
nahradíme:
a
k 
b
c
q
b
dostaneme:
y  kx  q
y  kx  q
• číslo q je bod na osi
y, ktorým prechádza
priamka
• číslo k je smernica
priamky  tangens
smerového uhla 
uhol, ktorý zviera
priamka s osou x
k  tg
p: y = kx + q
Príklad 6
Upravte rovnicu x – 2y + 3 = 0 na smernicový tvar
 2 y  x  3
1
3
y  x
2
2
Príklad 7
Napíšte smernicový tvar rovnice priamky a jej všeobecnú
rovnicu, ak prechádza bodom A[-2,3] a s osou x zviera
uhol 45.
y  kx  q
k  tg 45  1
y  xq
3  2  q
q5
y  xq
y  x5
x y 5  0
Príklady
učebnica M5
– riešené 56/Pr.45, 58/Pr. 46 – 49
– neriešené 60/1 – 8
koniec
Riešenia
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
p: x = -2 – 8t; y = 6 + 9t
p: x = 5; y = -7 + 2t
p: x = -3 + 10t; y = -3 – 3t
p: x = 4t; y = 4 + 1t
p: x = -3 + 3t, y = -3 – 5t
bod G neleží, bod H leží
p: x = – 7t, y = 4 – 7t
Riešenia
8. p: 8x – 9y + 70 = 0
9. 2x – 10 = 0
10. 10x – 3y + 21 = 0
11. x – 4y + 16 = 0
12. A[2;-3], s = (3;-5), n = (5;3) alebo n = (-5;-3)
13. y – 4 = 0
14.napr: p: x = 3t, y = 2+2t
späť