Transcript Vzájomná poloha priamok v priestore

Vzájomná poloha priamok
v priestore
Analytická geometria lineárnych
útvarov
Poloha priamok
• totožné – splývajúce p = q
– rovnaké vektory, všetky body sú totožné
• rovnobežné
p‖q
– rovnaké vektory, žiaden spoločný bod
• rôznobežné
p‖q
– rôzne vektory, jediný spoločný bod = priesečník
• mimobežné
p q
– rôzne vektory, nemajú žiaden spoločný bod
Totožné priamky
• rovnaké vektory, všetky body sú totožné
p
s
q
p=q
Rovnobežné priamky p ‖ q
• rovnaké vektory, nemajú spoločné body, dá sa nimi
položiť rovina
p
s
q
Rôznobežné priamky p ‖ q
• rôzne vektory, majú 1 spoločný bod – priesečník P, dá
sa nimi položiť rovina
sp
q
sq
P
p
Mimobežné priamky p
• rôzne vektory, nemajú spoločný bod, nedá sa nimi
položiť rovina
sp
Ap
p
sq
q
Aq
q
Príklad 1
Určte vzájomnú polohu priamok:
a: x = 1 – t, y = 2 + t, z = -1 + t , b: x = 2 + 2r,y = 1 – 2r, z = -2r
s a  ( 1,1,1)
sb  ( 2, 2, 2 )
• Pre vektory platí: s b   2 . s a
majú rovnaký smer, len inú veľkosť
• Priamky môžu byť rovnobežné alebo totožné –
určíme podľa jedného bodu:
• Bod A[1,2,-1] leží na priamke a, neleží na priamke
b
priamky a, b sú rovnobežné a ‖ b
Príklad 2
Určte vzájomnú polohu priamok:
a: x = 1 – t, y = 2 + t, z = 1 + t , b: x = 2 + 2r,y = 1 – 2r, z = -2r
s a  ( 1,1,1)
sb  ( 2, 2, 2 )
• Pre vektory platí: s b   2 . s a
majú rovnaký smer, len inú veľkosť
• Priamky môžu byť rovnobežné alebo totožné –
určíme podľa jedného bodu:
• Bod A[1,2,1] leží na priamke a, leží na priamke b
priamky a, b sú totožné a = b
Príklad 3
Určte vzájomnú polohu priamok:
a: x = 1 – 2t, y = 8 + 3t, z = 6 – t , b: x = 4 + s, y = 3 – 2s, z = 10 + 3s
s a  (  2 ,3,  1)
s b  (1,  2 ,3 )
• Pre vektory platí: s b  s a
nemajú rovnaký smer
• Priamky môžu byť rôznobežné alebo
mimobežné – určíme hľadaním priesečníka:
Príklad 3 pokračovanie
• priamky môžu byť rôznobežné alebo mimobežné
– určíme hľadaním priesečníka:
a: x = 1 – 2t, y = 8 + 3t, z = 6 – t , b: x = 4 + s, y = 3 – 2s, z = 10 + 3s
s   3  2t
1  2t  4  s
8  3t  3  2 s
6  t  10  3 s
8  3t  3  6  4 t
6  t  10  9  6 t
priamky a, b sú rôznobežné a ‖ b
x  1  2 (  1)  3
y  8  3 (  1)  5
z  6  (  1)  7
• priesečník P[3,5,7]
s  3  2t
t  1
t  1
Príklad 4
Určte vzájomnú polohu priamok:
a: x = -3 + 2t, y = -1 + 2t, z = 4t , b: x = 3 + r,y = -1 + 2r, z = 4
s a  ( 2,2,4 )
s b  (1, 2 , 0 )
• Pre vektory platí: s b  s a
nemajú rovnaký smer
• Priamky môžu byť rôznobežné alebo
mimobežné – určíme hľadaním spoločného
bodu:
Príklad 4 pokračovanie
• priamky môžu byť rôznobežné alebo
mimobežné – určíme hľadaním spoločného
bodu:
a: x = -3 + 2t, y = -1 + 2t, z = 4t , b: x = 3 + r, y = -1 + 2r, z = 4
 3  2t  3  r
 3  2 .1  3  r
r  4
 1  2t  1  2 r
 1  2 .1   1  2 r
r 1
4t  4
t 1
t 1
priamky a, b sú mimobežné a
b
Príklady
učebnica M5
– riešené 75 – 77/Pr. 65 – 67
– neriešené 78/1 – 5
Koniec