Transcript A, B

Gymnázium Sečovce
Materiál spracovali študenti 3.I triedy v rámci ročníkového projektu
Autori: Igor Parnahaj, Anna Vojtková, Katarína Kolesárová
Trieda: 3.I
Školský rok: 2004/2005
Konzultant: Mgr. Róbert Janok
Obsah
1.1. Analytická geometria
lineárnych útvarov
1.2. René Descartes
2.1. Parametrické vyjadrenie
priamky v rovine a v priestore
2.2. Všeobecná rovnica priamky
v rovine
2.3. Všeobecná rovnica priamky
v priestore
2.4. Smernicový tvar priamky
v rovine
2.5. Úsekový tvar priamky v rovine
2.6. Parametrické vyjadrenie roviny
2.7. Všeobecná rovnica roviny
2.8. Popriamka, polrovina,
polpriestor
2.9. Vzájomná poloha dvoch
priamok
2.10. Vzájomná poloha priamky
a roviny
2.11. Vzájomná poloha dvoch rovín
2.12. Úlohy o rovnobežnosti
a kolmosti
2.13. Uhol dvoch priamok
2.14. Uhol dvoch rovín
2.15. Uhol priamky a roviny
2.16. Vzdialenosť bodu od priamky
2.17. Vzdialenosť bodu od roviny
3. Úlohy zo štandardov
4. Výsledky úloh
5. Záver - súhrn použitých vzorcov
1.1 Analytická geometria lineárnych útvarov
Analytická geometria je časť geometrie, ktorá pomocou
analytických vyjadrení útvarov študuje vlastnosti útvarov
a vzťahy medzi nimi.
Zakladateľmi analytickej geometrie boli francúzski matematici
Pierre de Fermat a René Descartes, ktorý v roku 1635 zaviedol
súradnice bodov. Karteziánska súradnicová sústava je
pomenovaná podľa latinského prepisu mena Descartes, t. j.
Cartesius.
Lineárne útvary sú napríklad priamka, polpriamka, úsečka, rovina,
polrovina a pod.
Analytické vyjadrenie lineárnych útvarov je vyjadrenie lineárnych
útvarov rovnicami, nerovnicami alebo ich sústavami.
Obsah
1.2. René Descartes
Vytvoril analytickú geometriu, 1.zakon zachovania impulzu, popísal optické javy,
navrhol reflexný oblúk. Vystupoval proti dogmatizmu a autorite. Zakladateľ
racionalizmu. Známy je jeho výrok COGITO ERGO SUM. Myslím, teda som.
Tento novoveký filozof sa narodil 31.3.1596 v La Haye, pochádzal z rodiny nižšej
šľachty z kraja Touraine, v súčasnosti sa toto mesto volá podľa svojho rodáka
Descartes. V prvom roku svojho života stratil matku. Spočiatku mal chabé zdravie.
Po matkinej smrti sa jeho otec Joachim znovu oženil a uzatvorený, samotársky René
trávil väčšinu času sám, dokonca sa nekamarátil i so svojimi súrodencami. Vstúpil
do uznávaného jezuitského kolégia v La Flèche, kde získal rozsiahle vzdelanie v
duchu vtedajšej doby a obľúbil si matematiku. Descartes ostro vystupoval proti
alchýmii, astrológii a mágii.
Neskôr študoval v Poitiers právo. V roku 1618 vstúpil ako dobrovoľník do vojska
počas tridsaťročnej vojny. Viedla ho k tomu túžba po bohatších skúsenostiach
a zámer poznať cudziu zem.
Roku 1628, opustil rodné Francúzsko a presťahoval sa do Holandska, kde sa stretol
s Isaakom Beeckmanom, ktorý ho významne ovplyvnil v otázkach matematickej
fyziky. Napísal tu väčšinu svojich kníh. A keďže písal latinsky, používal i latinský
prepisu svojho mena - Renatus Cartesius, podľa neho sa dodnes nazýva jeho
sústava pravouhlých súradníc tiež sústavou karteziánskych súradníc.
Obsah
Roku 1649 ho pozvala švédska kráľovná Kristína do Švédska. Chodil do
štokholmského kráľovského paláce a vyučoval ju filozofiu. Nie na dlho, pretože
raz skoro ráno, keď sa za krutého mrazu ponáhľal za vznešenou žiačkou,
nachladil sa, dostal zápal pľúc a 11.2.1650 zomrel.
Ako svoje prvé dielo publikoval anonymne v roku 1637 Rozpravu o metóde.
Toho roku vydal spis Geometrie, v ňom stvárnil svoje matematické a vedecké
úsilie. Vďaka procesu s G. Galileom zničil svoje už skoro napísané dielo Svet.
Jeho hlavné dielo je Meditácia o prvej filozofii a Princípy filozofie. Zaoberal sa
tiež matematikou a optikou, je mu pripisovaný objav zákona lomu svetelných
lúčov pri vstupu do prostredia s odlišnou optickou hustotou.
Niekedy v roku 1637 si francúzsky vzdelanec Pierre de Fermat listoval v knižke
o aritmetike.
U Pytagorovej vety a2 + b2 = c2 si na okraj stránky knižky poznamenal :
"Vyššie mocniny ale do takéhoto súčtu rozložiť nemôžeme".
Matematicky povedané : Ak a, b a c sú celé kladné čísla a n je celé číslo väčšie
ako 2, potom rovnosť an + bn = cn neplatí.
Toto tvrdenie dostalo neskoršie názov veľká Fermatova veta. No ale to nie je
všetko. Fermat dodal: "Pre toto svoje tvrdenie som našiel skutočne obdivuhodný
dôkaz. Na tomto okraji papiera ale preň nemám dosť miesta". A tak bol
odštartovaný boj o dôkaz.
Obsah
Dokázať znamená v matematike overiť platnosť tvrdenia.
Po Fermatovi zostal len dôkaz pre n = 4. Ďalší a ďalší matematici sa pokúšali
dokázať tvrdenie pre ďalšie hodnoty n. Neskôr, keď už dokonca vzniklo celé odvetvie
matematiky kvôli tomu dôkazu, sa veta dokazovala pre skupiny exponentov určitého
typu naraz.
Nie jedna Akadémia vied vypísala na dôkaz vety odmenu.
Pre ľudí, ktorí sa ju pokúšali dokázať vzniklo aj špeciálne označenie
FERMATISTI.
23. júna 1993, 356 rokov po svojom položení na konferencii v britskej Cambridgi
podal obecný dôkaz platnosti Fermatovej vety britský matematik Andrew Wiles
pôsobiaci v USA.
Obsah
2.1. Parametické vyjadrenie priamky v rovine.
Parametrické vyjadrenie priamky p = AB: X = A + tu; tR, kde X je
ľubovoľný bod priamky p (A, u)
Veta 1: Ak u = AB, tak platí:
1. Pre každé t, ktoré patrí do oboru reálnych čísel, je bod X = A + tu,
bodom priamky AB
2. Ku každému bodu X priamky AB, existuje práve jedno t z oboru reálnych
čísel, pre ktoré platí X = A + tu
Veta 2: Nech A[a1; a2]; X [x; y]; u (u1; u2); potom úsečku možno rozpísať do
súradníc v rovine následne:
X = A + tu; t R
x = a1 + t u 1
y = a2 + t u 2
To je parametrické vyjadrenie priamky v súradniciach (v rovine)
Iný zápis priamky p je: p (A, u) = { [a1 + t.u1; a2 + tu2] }
Z parametrického vyjadrenia priamky vieme hneď určiť:
1. súradnice bodu, ktorý leží na priamke, napr. A [a1; a2]
2. súradnice smerového vektora u (u1; u2)
Ďalšie body dostaneme, ak za t dosadíme ďalšie hodnoty
Úlohy
Obsah
Množiny bodov X v závislosti od parametra t:
a)
X = A + tu; tR ……………….priamka AB
b)
X = A + tu; t  0 ……………....polpriamka AB
Obsah
c)
X = A + tu; t  0 ……………….polpriamka opačná k polpriamke AB
d)
X = A + tu; t  0, 1  ………...úsečka AB
Obsah
Parametrické vyjadrenie priamky v priestore
Parametrické vyjadrenie priamky p = AB, kde je X [x; y; z] a u (u1; u2; u3):
p: X = A + tu, kde t R
x = a1 + tu1
y = a2 + tu2
z = a3 + tu3
Obsah
2.2. Všeobecná rovnica priamky v rovine
Všeobecná rovnica priamky je lineárna rovnica s 2 neznámymi, kde a, b, c  R,
a ≠ 0 alebo b ≠ 0
Všeobecná rovnica priamky: ax + by + c = 0
Ak a = 0 a zároveň b = 0, tak platí c = 0
Poznámka: 3x + 5y - 19 = 0 /.2 /.3 /.10
6x + 10y - 38 = 0
9x + 15y – 57 = 0
30x+ 50y – 19 = 0
je všeobecná rovnica tej istej priamky.
Ak máme možnosť tak si vyberieme najjednoduchšiu z nich.
Def.: Rovnica typu ax + by + c = 0, kde a, b, c patria oboru reálnych čísel
( a ≠ 0 v b ≠ 0), sa nazýva všeobecná rovnica priamky v rovine.
Vo všeobecnej rovnici priamky sú koeficienty a, b súradnicami tzv. normálového
vektora n priamky p. Normálový vektor n (a, b) je vektor kolmý na smerový
vektor priamky p. [a, b] = [u2, - u1]
Obsah
Normálový vektor priamky p je kolmý na priamku p, a teda aj na smerový
vektor u; lebo n . u = 0
Poznámka: Súradnice normálového vektora priamky dostaneme zo súradníc
smerového vektora tak, že vymeníme poradie súradníc a zmeníme
znamienko pri jednej z nich.
Iný spôsob nájdenia rovnice priamky
np ┴ AX; kde X je ľubovoľný bod priamky p,
a platí np . AX = 0
np . (X – A) = 0
(x – a1; y – x2) . (n1; n2) = 0
(x – a1) . n1 + (y – a2) . n2 = 0,
tak po rozpísaní do súradníc dostaneme všeobecnú rovnicu priamky.
Obsah
2.3. Všeobecné vyjadrenie priamky v priestore:
Priamka v priestore môže byť vyjadrená parametricky X = A + tu, tR.
Parametrické vyjadrenie priamky sa dá prepísať na sústavy dvoch rovníc
s tromi neznámymi x, y, z, ktoré budú vyjadrovať tú istú priamku.
Nájdeme dva kolmé vektory na smerový vektor priamky p =>ak u(x, y, z), tak
za ľubovoľnú súradnicu zvolíme nulu, zvyšné dve súradnice vymeníme
a zmeníme znamienko pri jednej z nich. Pri hľadaní druhého normálového
vektora postupujeme rovnakým spôsobom.
Priamka p je daná rovnicami ax + by + c = 0 a dx + ey + f = 0 => všeobecné
rovnice priamky v priestore.
Priamka môže byť daná v priestore dvoma všeobecnými rovnicami, z ktorých
môžeme odvodiť parametrické vyjadrenie a to tak, že nájdeme dva body, ktoré
vyhovujú obidvom rovniciam. Rovnice najprv sčítame, vylúčime jednu
premennú a vyriešime jednu rovnicu s dvoma neznámymi tak, že za jednu
premennú budeme voliť ľubovoľné hodnoty.
Obsah
2.4. Smernicový tvar rovnice priamky
Nech ax + by + c = 0, čo je všeobecná rovnica priamky, tak potom:
by = - ax – c /:b
a
c
y=xb
b
a
c
Nech k = - , q = , tak p: y = kx + q a to je smernicový tvar priamky,
b
b
kde k sa nazýva smernica priamky.
k = tg  , k  0 , 180  , k  90 
Smerový uhol  je definovaný ako kladný orientovaný uhol, ktorého
začiatočným ramenom je kladný smer osi x a koncovým časť priamky p.
Úlohy
Obsah
2.5. Úsekový a normálový tvar rovnice priamky
Nech ax + by + c = 0 je všeobecná rovnica priamky, tak:
x
y
+
=1
je úsekový tvar rovnice priamky.
p
q
Normálový tvar rovnice priamky:
x . cos α + y . sin α = n
Úsekový tvar rovnice priamky:
Obsah
2.6. Parametrické vyjadrenie roviny
Veta: Každú rovinu ABC môžeme pomocou u = AB; v = AC analyticky vyjadriť
parametrickou rovnicou X = A + tu + sv, kde [t, s] R x R a X je ľubovoľný
bod roviny.
AX = tu + sv; t, s R
X –A = tu + sv
X = A + tu + sv.......parametrické vyjadrenie roviny
Nech X [x, y, z]; A [a1, a2, a3]; u (u1, u2, u3), v (v1, v2, v3), tak potom
parametrickú rovnicu roviny X = A + tu + sv; t, s  R, vieme potom rozpísať
do súradníc následne:
X = A + tu + sv
x = a1 + tu1 + sv1
y = a2 + tu2 + sv2
z = a3 + tu3 + sv3; t, s  R, čo je parametrické vyjadrenie roviny v súradniciach.
Úlohy1
Úlohy2
Obsah
2.7. Všeobecná rovnica roviny
Def.: Rovnicu typu ax + by + cz + d = 0, kde [a, b, c] ≠ [0, 0, 0], ktorá je
analytickým vyjadrením roviny nazývame všeobecná rovnica roviny.
Veta: Každá rovina ρ, ktorá je určená jedným bodom a dvoma vektormi u, v,
má jednu takú všeobecnú rovnicu roviny ax + by + cz + d = 0, v ktorej
usporiadanú trojicu [a, b, c] ≠ [0, 0, 0] tvoria súradnice vektora u x v.
ax + by + cz + d = 0
n (a, b, c) = u x v
Každá rovina ρ (A, u, v) má nekonečne veľa všeobecných rovníc, ktoré sú
reálnymi nenulovými násobkami jednej z nich.
Úlohy1
Úlohy2
Obsah
2.8. Polpriamka, polrovina a polpriestor
Polpriamka: AB: X= A + tu, t  <0,∞)
Polrovina: pC : X= C + tu + sv, t  R, s ≥ 0
Opačná polrovina:pC ´: X= C´ + tu + sv, t R, s ≤ 0
Obsah
Polpriestor: ρD: X= D + tu + sv + rw, t,s R, r ≥ 0
Opačný polpriestor: ρD´: X= D´ + tu + sv + rw, t,s R, r ≤ 0
Obsah
2.9. Vzájomná poloha 2 priamok
Pre každé dve priamky p (A;u); q (B;v) v priestore platí:
1. Priamky p a q sú rovnobežné:
- priamky p a q sú totožné (p = q): – v = k . u; u, v sú lineárne závislé
– majú spoločný bod (nie jeden, ale všetky)
- priamky p a q sú rovnobežné (p // q): – v = k . u; u, v sú lineárne závislé
– nemajú spoločný ani jeden bod Úlohy
Úlohy
Obsah
2. Priamky p a q sú rôznobežné (p ╫ q): – v ≠ k . u; sú lineárne nezávislé
– majú spoločný jeden bod
3. Priamky p a q sú mimobežné: – v ≠ k . u; u, v sú lineárne nezávislé
– nemajú spoločný žiadny bod
Poznámka: Vzájomnú polohu priamok
môžeme zistiť aj využitím normálových
vektorov priamok, ak sú priamky dané
všeobecnou rovnicou priamok, s tým, že
uvažujeme podobne ako pri parametrickom
vyjadrení priamok, avšak namiesto
smerových vektorov používame normálové
vektory.
Obsah
2.10. Vzájomná poloha priamky a roviny
Veta 1: Pre každú rovinu ρ (A, u, u´) a pre každu priamku p (B,v) platí:
Priamka p leží v rovine ρ<=> každý z vektorov v, B – A je lineárnou kombináciou
vektorov u, u´, priamka p je rovnobežná s ρ, ale neleží v ρ <=> vektor v je
lineárnou kombináciou vektorov u, u´, priamka p je rovnobežná s rovinou ρ<=>
vektor v nie je lineárnou kombináciou vektorov u, u´.
Veta 2: Všeobecnou rovnicou ax + by + cz + d =0 majme danú rovinu a na ňu kolmý
vektor n=[a,b,c] ≠ 0. Potom pre každú priamku p(B, v) platí:
1. Priamka p leží v rovine ρ <=> n . v = 0 ^ majú veľa spoločných bobov
Úlohy
Obsah
2. Priamka p je rovnobežná s rovinou ρ<=>n . v = 0 ^ nemajú spoločný bod
3. Priamka p je rôznobežná s rovinou ρ<=>n . v ≠ 0 ^ 1 spoločný bod
Prienik každých dvoch útvarov, ktoré sú analyticky vyjadrené rovnicami s tými istými
premennými, hľadáme tak, že riešime sústavu utvorenú z ich rovníc. V prípade
rovín a priamok sa výpočty vzájomne líšia poďla toho, akými rovnicami tieto útvary
zadáme.
Úlohy Obsah
2.11. Vzájomná poloha dvoch rovín:
Veta 1.:
ρ,σ sú splývajúce, ρ=σ <=> každý z vektorov v, v´, B – A je lineárnou kombináciou
vektorov u, u´;
σ,ρ sú rovnobežné, ρ≠σ<=> každý z vektorov v, v´ je lineárnou kombináciou vektorov
u, u´, ale B – A nie;
σ,ρ sú rôznobežné<=> aspoň jeden z vektorov v, v´ nie je lineárnou kombináciou
vektorov u, u´.
Veta 2.: Pre každé dve roviny ρ,σ, ktoré majú všeobecné rovnice
ax + by + cz + d =0, ex + fy + gz + h=0, platí:
a) Roviny ρ,σ sú splývajúce <=> vektor [a,b,c] je reálnym násobkom vektora [e,f,g] a
majú nekonečne veľa spoločných bodov
Úlohy
Obsah
b) Roviny ρ,σ sú rovnobežné<=> vektor [a,b,c] je reálnym násobkom vektora [e,f,g] a
nemajú spoločný bod
c) Roviny ρ,σ sú rôznobežné <=> vektor [a,b,c] nie je reálnym násobkom vektora
[e,f,g]
Ak zistíme, že dve roviny sú rôznobežné, vieme zo stereometrie, že ich prienikom je
priamka.
Obsah
2.12. Úlohy o kolmosti a rovnobežnosti
Roviny, ktoré sú dané rovnicami α: ax + by + cz + d = 0 a β: ex + fy + gz + h = 0, kde
[a, b, c] ≠ [0, 0, 0] a [e, f, g] ≠ [0, 0, 0], sú navzájom kolmé práve vtedy, keď sú ich
normálové vektory nα a nβ navzájom lineárne nezávislé, teda nα ≠ k . nβ a platí:
nα . nβ = 0.
Ich spoločné body ležia na jednej priamke, ktorá sa nazýva priesečnica.
Roviny α a β sú navzájom rovnobežné, ak ich normálové vektory nα a nβ sú lineárne
závislé (nα = k . nβ) a platí: nα . nβ ≠ 0. Ak sú roviny rovnobežné rôzne, tak nemajú
spoločný ani jeden bod. A naopak, ak sú roviny rovnobežné splývajúce, majú
nekonečne veľa spoločných bodov.
Priamky p a q sú rovnobežné práve vtedy, keď sú smerové vektory priamok navzájom
lineárne závislé, teda v = k . u. Priamky môžu byť rovnobežné rôzne, ak nemajú
spoločný bod, alebo rovnobežné splývajúce, ak majú spoločne nekonečne veľa
bodov.
Priamky p a q sú na seba navzájom kolmé, ak sú ich smerové vektory u, v lineárne
nezávislé a platí: u . v = 0. Vtedy je uhol medzi oboma priamkami pravouhlý.
Úloha1
Úloha2
Úloha3
Úloha4
Úloha5
Obsah
2.13. Uhol dvoch priamok:
Uhol priamok p (A, u), q (B, v) určujeme touto konštrukciou:
Zvolíme ľubovoľný bod C a zostrojíme orientované úsečky CU, CV, CV´ ako
umiestnenie vektorov u, v, -v.
Konvexné uhly UCV, UCV´ majú veľkosti φ, 180° - φ. Uhlom priamok p, q
nazveme tú z dvoch veľkosti, ktorá patrí do intervalu<0°,90°>; označíme ho α.
Veta: Pre uhol α priamok p (A, u) a q (B, v) platí:
u.v
Cos α = ––––––
|u|.|v|
Úlohy
Obsah
2.14 Uhol dvoch rovín
Veta: Pre každé dve roviny ρ,σ platí: uhol α rovín ρ,σ sa rovná uhlu ľubovoľných
priamok m, n, ktoré majú tú vlastnosť, že m je kolmá na ρ, n je kolmá na σ.
nρ . nσ
Cos α = –––––––
|nρ|.|nσ|
Úlohy
Obsah
2.15. Uhol priamky a roviny:
Veta: Pre každú priamku p a rovinu ρ platí: Uhol α priamky p a roviny ρ sa rovná
90°-β, kde β je uhol priamky p a ľubovoľnej priamky kolmej na rovinu ρ.
u . nρ
Cos β = –––––––
|u|.|nρ|
α = 90° - β
Úlohy
Obsah
2.16. Vzdialenosť bodu od priamky
Veta: Pre každý bod M a priamku p v rovine platí:
Ak je M[m1,m2] a ak má priamka p všeobecnú rovnicu ax + by + c = 0,
[a,b] ≠ [0,0], tak vzialenosť bodu M od priamky p:
Iam1 + bm2 + cI
IMpI = ––––––––––––––
√ a2 + b2
Úlohy
Obsah
2.17. Vzdialenosť bodu od roviny
Veta: Pre každý bod M v priestore a pre každú rovinu ρ platí:
Ak M[m1, m2, m3] a ak má rovina ρ všeobecnú rovnicu ax + by + cz +d = 0,
[a,b,c] ≠ [0,0,0], tak
I am1 + bm2 +cm3 + d I
IMpI = –––––––––––––––––––
√ a2 + b2 + + c2
Úlohy
Obsah
3. Úlohy zo štandardov
10.2. Lineárne útvary
10.2. 1 Vypočítať súradnice stredu úsečky
10.2. 2 Vypočítať vzdialenosť dvoch bodov
10.2. 3 Vysvetliť pojmy smerový uhol priamky, smerový a normálový vektor priamky,
normálový vektor roviny
10.2. 4 Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie priamky danej dvoma bodmi
10.2. 5 Opísať súvis medzi smernicovým vyjadrením priamky a lineárnou funkciou
10.2. 6 Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie roviny danej tromi bodmi
10.2. 7 Určiť súradnice bodu, ktorý leží (neleží) na danej úsečke, priamke, či v danej
rovine
10.2. 8 Zistiť vzájomnú polohu dvoch priamok a určiť ich prienik
10.2. 9 Zistiť vzájomnú polohu priamky a roviny a určiť ich prienik
10.2.10 Zistiť vzájomnú polohu dvoch rovín
Obsah
10.2.11 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s danou
priamkou je rovnobežná
10.2.12 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na danú
priamku je kolmá
10.2.13 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s danou
rovinou je rovnobežná
10.2.14 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na danú
rovinu je kolmá
10.2.15 Určiť analytické vyjadrenie roviny, ktorá prechádza daným bodom a s danou
rovinu je rovnobežná
10.2.16 Vypočítať vzdialenosť bodu od priamky (v rovine)
10.2.17 Vypočítať odchýlku dvoch priamok
10.2.18 Vypočítať odchýlku dvoch rovín
10.2.19 Vypočítať vzdialenosť bodu od roviny
10.2.20 Vypočítať odchýlku priamky od roviny
Obsah
10.2.1. Vypočítať súradnice stredu úsečky
1) Vypočítajte súradnice stredu úsečky AB, ak
a) A4, 3, B0, 1
b) A2, 4, B3, 9
c) A1/2, 3/2, B3/10, 6/10 
d) A√2, √3, B √2, 5 √3 
2) Vypočítajte súradnice stredu úsečky AB, ak platí :
a) A3, 4, 1, B3, 8, 5
b) A1/2, 1/4, 3/2, B3/2, 3/4, 1/6
c) A0,4 0,25 0,5, B1/5, 5/4, 1/2
d) A √2, √2 + √3, 6, B √2, √2 - √3 , √3 /3
3) V stredovej súmernosti je obrazom bodu A1/2, 3/5, 17/10 bod A1,3 1,6 1,8.
Určte súradnice stredu súmernosti.
4) Dané sú body A, S. Určte súradnice bodu B tak, aby bod S bol stredom úsečky AB.
a) A4, 5, S3, 2
b) A1, 1/2, S1/2, 3/4
c) A3, 2, 7, S1, 2, 3
d) A0,7 0,8 0,05, S1/4, 2/5, 7/8
5) Trojuholník T2 má vrcholy v stredoch strán trojuholníka T1. Určte súradnice vrcholov
trojuholníka T2, ak trojuholník T1 má vrcholy [1; 6], [5; 0], [7; 4].
Výsledky
10.2.2 Vypočítať vzdialenosť dvoch bodov
1) Vypočítajte vzdialenosť bodov A, B, ak je dané:
a) A4, 2, B3, 5
b) A1/2, 2, B0,1 1,2
c) A1/2, 1, 3, B2, 1, 3
d) A1/2, 3/2, 7/2, B0,4 0,3 0,1
2) Na osi x určte bod tak, aby jeho vzdialenosť od bodu A2, 8 bola 10.
3) Na osi x nájdite bod tak, aby mal od bodov A3, 2, 2, B2, 1, 2 rovnakú
vzdialenosť.
4) Vypočítajte obsah trojuholníka K[1; 1], L[2; 3], M[5; 1] pomocou tzv. Herónovho
vzorca S =√s.(s – a).(s – b).(s – c),
kde a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka a s = a + b + c
2
Výsledky
10.2.3 Vysvetliť pojmy smerový uhol priamky, smerový a normálový vektor
priamky, normálový vektor roviny
1) Určte, či vektory sú smerové vektory priamky AB (A2, 3, B1, 6).
2) Určte číslo p tak, aby vektor bol smerovým (normálovým) vektorom priamky AB.
a) A1, 1, B2, 3, b) A2/3, 1, B1, 1/3, .
3) Určte smernicu k (smerový uhol α) priamky AB, ak
a) A8, 1, B6, 5
b) A1, 3, B2, 1
4) Určte normálový vektor roviny
a)
α : x + 2y + 3z  4 = 0
b)
β : 3x + y  z  74 = 0
c)
γ : x 3z + 10 = 0
d)
δ: { [1 – t + s, 2 + 2t, -1 - s]; t,s R }
e)
ε = ABC (A[-1, 2, 0], B[2, 1, 3], C[0, 3, -2]
Výsledky
10.2.4 Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie priamky danej dvoma bodmi
1) Napíšte parametrické vyjadrenie (všeobecnú rovnicu, smernicový tvar) priamky, ktorá
je určená bodmi A, B.
a) A1, 1, B2, 3
b) A2, 3, B0, 2
2) Napíšte parametrické vyjadrenie priamky prechádzajúcej bodmi A, B.
a) A1, 2, 5, B3, 2, 4
b) A3, 0, 2, B3, 5, 3
c) A1, 0, 0, B4, 3, 3
d) A7, 6, 4, B7, 6, 4
3) Napíšte parametrické vyjadrenie (všeobecnú rovnicu) osi úsečky AB, ak
a) A3, 3, B1, 2
b) A4, 2, B5, 2
c) A3, 7, B1, 5
d) A2, 5, B3, 9
4) Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá je daná smernicou k a q je úsek, ktorý
priamka vytína na osi y.
a) k = 3, q = 2
b) k = 2, q = 5
c) k = 1/2, q = 4
d) k = 0, q = 7
5) Určte smernicu priamky p : y = kx  1, ak viete, že prechádza bodom A.
a)
A1, 3
b) A2, 1
Späť
Výsledky
10.2.5 Opísať súvis medzi smernicovým vyjadrením priamky a lineárnou funkciou
1) Zistite rovnicu lineárnej funkcie, ak jej graf obsahuje body
a) A4, 1, B1, 4
b) C2, 5, D2, 5
c) G4, 5, H7, 5
2) Zistite, či všetky 3 body môžu patriť grafu tej istej lineárnej funkcie:
a) A2, 5, B0, 0, C3, 1
b) D2, 5, E4, 3, F1, 4
c) G4, 9, H4, 1, I6, 11
d) J6, 6, K4, 1, L3, 1
3) Dané sú body A5, 2, B1, 6.
a) Napíšte parametrické vyjadrenie priamky AB.
b) Určte c2 tak, aby bod C3, c2 ležal na priamke AB.
c) Určte súradnice bodu S, ktorý je stredom úsečky AB.
d) Určte súradnice takého bodu D ležiaceho na polpriamke AB, ktorého vzdialenosť od
bodu A je trikrát väčšia, ako vzdialenosť bodu B od bodu A.
Späť
Výsledky
10.2.6 Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie roviny danej tromi bodmi
1) Napíšte parametrické vyjadrenie roviny určenej bodmi
a) A1, 3, 1, B2, 3, 3, C2, 5, 7
b) A1, 1, 0, B1, 1, 2, C2, 2, 3
c) A2, 3, 5, B1, 0, 4, C0, 2, 7
d) A1, 1, 0, B2, 2, 1, C0, 0, 0
2) Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá je určená bodom A2, 3, 1 a priamkou,
ktorá má parametrické vyjadrenie: x = t
y = 2 + 3t
z = 1  t, t  R
3) Zistite, či body A, B, C ležia na jednej priamke, ak nie, napíšte všeobecnú rovnicu
roviny ABC.
a) A1, 2, 1, B1, 0, 1, C2,1, 3
b) A1, 1, 2, B2, 1, 1, C4, 1, 7
c) A1, 0, 3, B0, 1, 2, C2, 2, 13
d) A1, 1 3, B0, 2, 2, C1, 1, 0
Späť-PRR
Späť-VRR
Výsledky
10.2.7 Určiť súradnice bodu, ktorý leží (neleží) na danej úsečke, priamke, či v
danej rovine
1) Určte druhú súradnicu bodu C tak, aby ležal na priamke AB, pričom A3, 1, B1, 3.
a) C1, y
b) C0, y
c) C2,5 y
2) Zistite, či body A4, 7, B7, 8, C11, 8 ležia na priamke MN, ak M2, 5, N1, 6.
3) Rozhodnite, či body A1, 2, B3, 1, C1, 2, D17, 22 ležia na priamke,
ktorá je určená rovnicou 5x  3y  6 = 0.
4) Určte zvyšné súradnice bodov A6, y, B3, y, Cx, 0, Dx, 1/3 tak, ležali na
priamke určenej všeobecnou rovnicou 5x  3y  6 = 0.
5) Zistite, či priamka určená parametrickým vyjadrením
a) x = 10  5t, y =  3 +1,5t; z =  1 + 2t; t  R
b) x =  4 + t, y = 10  2,5t; z =  6 + 1,5t; t  R
prechádza začiatkom sústavy súradníc.
Späť-PRR
Späť-VRR
Výsledky
10.2.8 Zistiť vzájomnú polohu dvoch priamok a určiť ich prienik
1) Zistite vzájomnú polohu priamok p, q, a ak sú rôznobežné, určte aj ich priesečník:
a) p : x = 2  3t, y = 6 + t, z =  t, t  R
q : x = 1  2s, y = 3s, z = 2 + s, s  R
b) p : x = 4  2t, y = 1 + 3t, z =  5  3t, t  R
q : x = 7  7s, y = 2 + 5s, z =  8  3s, s  R
2) Určte, ak existuje, priesečník priamky p a úsečky AB.
a) p : x = 5  3t, y =  6 + 2t, t  R
A3, 8, B9, 10
b) p : x = 3 + 4t, y = 6  6t, t  R
A5, 7, B3, 4
c) p : x = 7 + 4t, y = 8  5t, t  R
A4, 5, B3, 3
3) Zistite, či priamka daná parametrickým vyjadrením
x = 6 + 2t, y = 11  5t, z = 9 + 3t, t  R,
pretína niektorú súradnicovú os.
4) Napíšte parametrické vyjadrenie všetkých ťažníc trojuholníka s vrcholmi
A2, 1, B3, 0, C2, 4. Určte jeho ťažisko T ako priesečník dvoch ťažníc a overte,
že ním prechádza aj tretia ťažnica.
5) Určte hodnotu parametra c  R tak, aby priamky p a q boli totožné.
p : x = 3  2t, y = 2  5t, t  R
q : 5x  2y + c = 0
Späť
Výsledky
10.2.9 Zistiť vzájomnú polohu priamky a roviny a určiť ich priesečník
1) Rozhodnite akú vzájomnú polohu má priamka b a rovina , ak
a)  : x  5y + 4z  6 = 0, b : x = 2  t, z = 3t, z = 3 + 4t, t  R
b)  : 3x + y  3z  13 = 0, b : x = 3  2t, y = 1 + 3t, z =  1 t, t  R
2) Dokážte, že priamka AB je rôznobežná s rovinou . Vyjadrite aj ich priesečník.
a) A3, 2, 1, B4, 1, 3,  : 2x  3y + z  2 = 0
b) A3, 1, 4, B4, 1, 2,  : 2x  y + 3z  7 = 0
3) Určte súradnice priesečníkov roviny x + 3y  2z + 6 = 0 s osami sústavy súradníc.
4) Rozhodnite, akú vzájomnú polohu má rovina  a priamka p, ak poznáme ich
parametrické vyjadrenie.
a)  : x = 1  2r + 5s, y = 2 + 3r, z = 4s, r, s  R
p : x = 4  3t, y = 5  3t, z = 4  4t, t  R
b)  : 2x + y  z + 1 = 0, p : x = t, y = t, z = 1 + 3t, t  R
c)  : 2x  y + z  2 = 0, p : x = 1  t, y = 2 + 3t, z = 1, t  R
5) Rovina má parametrické vyjadrenie:
a) x = 3  3t  3s, y = 7t, z = 5s, t, s R
b) x = 2t + 2s, y = 6 + 6t, z = 9s, t, s  R
Určte jej priesečníky s osami sústavy súradníc a graficky ju znázornite.
Späť
Výsledky
10.2.10 Zistiť vzájomnú polohu dvoch rovín
1) Ukážte, že roviny dané všeobecnými rovnicami
5x  3y + 2z  5 = 0, 2x  y  z  1 = 0
sú navzájom rôznobežné a zapíšte parametrické vyjadrenie priesečnice týchto rovín.
2) Určte vzájomnú polohu rovín  a s. V prípade, že sú rôznobežné určte ich
priesečnicu.
a) r: 2x  5y + 4z  10 = 0, s: 4x  10y + 8z  10 = 0
b) r: 2x  5y + 4z  10 = 0, s: x  y  z  2 = 0
c) r: 2x  5y + 4z  10 = 0, s: 4x  10y  2z  10 = 0
3) Rozhodnite, akú vzájomnú polohu majú roviny  a :
a) : x = 2 + 3u  v, y = 1  9u + v, z = 3  12u  2v; u, v  R
: x = 1  2s + t, y = 2s  3t, z = 2  4s  4 t; s, t  R
b) : x = 2 + u  v, y = 1  3u + v, z = 3  4u  2v; u, v  R
: x = 4  s + t, y = 7 + s  3t, z = 17  2s  4t; s, t  R
4) Pre ktoré hodnoty parametrov m, n  R sú roviny
: mx  4y + 3z  1 = 0
: 2x + ny  2z + 9 = 0
rovnobežné?
5) Určte vzájomnú polohu rovín  a .
: x = 1 + t + s, y = t  s, z = s; t, s  R
: x  y  2z  1 = 0
Späť Výsledky
10.2.11 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a
s danou priamkou je rovnobežná
1) K danej priamke p a bodu A určte všeobecnú rovnicu priamky r, ktorá je rovnobežná s
priamkou p a prechádza bodom A.
a) p : 3x  y + 1 = 0, A3, 
b) p : y = 2x + 3, A1, 2
c) p : x = 1 + 2t, y = 2  t, t  R, A3, 4
d) p = MN, M3, , N4, , A1, 5
2) Rozhodnite, či priamka daná všeobecnou rovnicou 7x + 14y + 8 = 0 je rovnobežná
s priamkou AB:
a) A2, 2, B8, 1
b) A2, 6, B4, 9
3) Napíšte parametrické vyjadrenie priamky prechádzajúcej bodom C rovnobežne
s priamkou AB:
a) A1, 1, B2, 3, C1, 5
b) A1, 1, B2, 3, C1, 5
4) Určte parametrické rovnice priamky p, ktorá prechádza bodom M2, , 3 a je
rovnobežná s priamkou q : x = 1  2s, y = 3 + s, z = 3s, s R.
5) Napíšte smernicový tvar priamky q, ktorá prechádza bodom A a je rovnobežná
s priamkou p:
Späť
a) A3, 1, p : y = 3x  1
b) A4, 1, p : y = 0,5x + 3
Výsledky
10.2.12 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na
danú priamku je kolmá
1) Napíšte parametrické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza bodom A a je kolmá na
vektor :
a) A5, 4, n(3, 2)
b) A4, 3, n(2, 5)
2) Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom A a je kolmá na
priamku BC, ak je:
a) A1, 4, B3, 7, C3, 2
b) A0, 6, B0, 2, C3, 5
3) Napíšte rovnice priamok, na ktorých ležia výšky trojuholníka ABC:
a) A5, 2, B1, 5, C2, 1
b) A7, 8, B5, 2, C3, 6
4) Napíšte rovnicu roviny, ktorá je kolmá na úsečku AB a prechádza jej stredom:
A1, 2, 3, B3, 2, 5
5) Napíšte smernicový tvar rovnice priamky, ktorá prechádza bodom A a je kolmá na
priamku p
a) A4,3, p : y = 2x + 1
b) A6, 1, p : y = - 3/2x + 1/3
Späť
c) A2, √2 , p : y = x√2 - 3
d) A[1; 2], p : 4x  3y + 15 = 0
Výsledky
10.2.13 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s
danou rovinou je rovnobežná
1) Určte rovnice všetkých priamok, ktoré prechádzajú bodom P a sú rovnobežné s
rovinou .
a) P2, 2, 1,  : 4x  2y  2z + 1 = 0
b) P3, 1, 12,  =2 + t, t + 2s, 3  5t  10s t, s  R
2) Určte rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom P a je rovnobežná s rovinou .
a) P2, 1, 3,  : 2x + y  z + 1 = 0
b) P8, 6, 0,  : 3x  5y  z  2 = 0
3) Daná je priamka p : x = 1 + t, y = 2 + at, z = 4, t  R. Určte a R tak, aby bola
priamka p rovnobežná s rovinou  : x + ay + 5z  1 = 0.
Späť
Výsledky
10.2.14 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na
danú rovinu je kolmá
1) Určte súradnice päty P kolmice vedenej bodom A2, 0, 3 na rovinu
r : x  3y + 5z + 18 = 0.
2) Bodom A2, 1, 2  veďte priamku kolmú na rovinu  a určte jej priesečník s touto
rovinou.
a)  : x  y + z + 13 = 0
b)  : x  y = 0
c)  : 6x + 17y  23z + 51 = 0
3) Určte súradnice päty P kolmice vedenej bodom A2, 0, 3 na rovinu
 : x  3y + 5z + 18 = 0.
4) Daná je priamka p = t, 1  t, 2t t  R a bod M1, 0, 5. Určte spoločný bod
priamky p a roviny , ktorá prechádza bodom M a je kolmá na priamku p.
Späť
Výsledky
10.2.15 Určiť analytické vyjadrenie roviny, ktorá prechádza daným bodom a s
danou rovinou je rovnobežná
1) Overte, že roviny r a s sú rovnobežné :
r : x = 2s, y = 2r, z = 2  r  s,
r, s  R
 : x = 1  u  2v, y = u, z = v, u, v  R.
2) Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou a a prechádza
bodom A:
a) A3, 1, 2, a : 2x  y + z  1 = 0
b) A6, 9, 12, a : x  7y + 3z  19 = 0
c) A4, 1, 1, a : 2x  y  z + 4 = 0
3) Určte rovinu, v ktorej leží bod N[1; 2; 3] a ktorá je rovnobežná s rovinou určenou
súradnicovými osami x a z.
4) Rovina, ktorá prechádza bodom A[1; 2; 3] a je rovnobežná s rovinou
3x  2y + z  15 = 0 má rovnicu:
A 3x  2y + z  2 = 0
B x  2y + 3z  14 = 0
C 2x  y  8z + 18 = 0
D 3x  2y + z  10 = 0
5) Napíšte rovnicu roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou s : 2x  y + z  1 = 0 a
prechádza bodom A3, 1, 2.
Späť
Výsledky
10.2.16 Vypočítať vzdialenosť bodu od priamky (v rovine)
1) Vypočítajte vzdialenosť bodu B3, 7 od priamky danej rovnicou 4x  3y + 7 = 0.
2) Daný je trojuholník ABC, A1, 1, B3, 2, C2, 3. Napíšte rovnicu ťažnice ta a
vypočítajte vzdialenosť bodov B a C od ta.
3) Určte najkratšiu vzdialenosť priamok 3x  4y  8 = 0 a 3x  4y + 7 = 0.
4) Určte polomer kružnice so stredom S[1; 2], ktorá sa dotýka priamky 6y  8x  30
= 0.
Späť
Výsledky
10.2.17 Vypočítať odchýlku dvoch priamok
1) Zistite odchýlku priamok p : x  3 = 0, q :  y + 5 = 0.
2) Určte odchýlku priamok a, b :
a) a : x =  2 + 3t, y = 1, z = 3  t, t  R
b : x =  1 + 2s, y = 0, z =  3 + s, s  R
b) a : x = 2 + 3t, y =  4t, z = 12t, t  R
b = AB, A0, 3, 1, B1, 6, 0
c) a : x = 1  t, y = 2 + 2t, z = t, t  R
b je totožná s osou z.
3) Bodom M 1, 3 veďte priamku, ktorá zviera s priamkou p : 4y  5 = 0 uhol veľkosti
45.
4) Vypočítajte odchýlku priamok m a n.
m: 3x + 5y + 1 = 0
n: 2x  8y + 3 = 0
Späť
Výsledky
10.2.18 Vypočítať odchýlku dvoch rovín
1) Vypočítajte odchýlku rovín a, b.
a) a : x + y  2z  5 = 0, b : x  2y  z + 3 = 0
b) a : 3x  4y + z - 6 = 0, b : 2x + y  2z + 1 = 0
c) a : 3x + 4y  5z = 0, b : 4x  5z + 3z + 2 = 0
2) Vypočítajte odchýlku dvoch rovín , , ak
: 3x + 5 = 0,
 : x = 3 + r  2s, y = 2  r + 2s , z =  1  4r, r, s  R
3) Daný je kváder ABCDEFGH, D0, 0, 0, A4, 0, 0, C0, 3, 0, H0, 0, 5. Určte
odchýlku:
a) priamky DF od roviny BEG,
b) rovín BEG a ABC.
Späť
Výsledky
10.2.19 Vypočítať vzdialenosť bodu od roviny
1) Vypočítajte vzdialenosť bodu A od roviny , ak
a) A3, 5, 6, r : 2x  2y + z  8 = 0
b) A1, 3, 2, r : 3x  4y + 5z + 15 = 0
c) A7, 0, 1, r : 4x + 12y  3z  1 = 0.
2) Určte vzdialenosť bodu M od roviny r, ak M7, 3, 1 a rovina r je určená bodmi
A1, 0, 1, B2, 2, 1, C0, 0, 2.
3) Dané sú body A1, 2, 2, B2, 1, 1, C1, 1, 2, D0, 2, 2.
a) Vypočítajte vzdialenosť bodu D od roviny ABC.
b) Nájdite obraz bodu D v osovej súmernosti podľa osi AB.
4) Určte súradnice päty P kolmice vedenej bodom A2, 0, 3 kolmo na rovinu
r : x  3y + 5z + 18 = 0. Vypočítajte vzdialenosť PA.
5) Napíšte rovnicu roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou x + y + z  6 = 0 a od začiatku
súradnicovej sústavy má vzdialenosť d = √3.
Späť
Výsledky
10.2.20 Vypočítať odchýlku priamky od roviny
1) Aký uhol zviera priamka
p : x = 1  3t, y = 2  4t, z = 3 + t, t  R
a rovina  : 2x  y + 2z  6 = 0?
2) Aký uhol zviera priamka
p : x = 4 + t, y = 7  8t, z =  11 + 3t, t  R
a rovina ABC A2, 2, 1, B0, 1, 1, C1, 3, 4?
3) Určte odchýlku priamky p a roviny .
a)
p : x = t, y = t, z = 1 + 3t, t  R,
 : 2x + y  z + 1 = 0
b)
p : x = 2 + t, y = 1 + 2t, z = 3  t, t  R,
 : 3x  y + z + 1 = 0
c)
p : x = 2  t, y = 2 + 3t, z = 1, t  R,  : 2x  y  z  2 = 0
d)
p = AB, kde A8, 6, 2, B12, 9, 1,
 : 3x  5y  z  2 = 0
Späť
Výsledky
4.Výsledky úloh
10.2.1. Vypočítať súradnice stredu úsečky
1)
a) S[-2, 1]
c) S[1/10, 9/20]
b) S[-5/2, -5/2]
d) S[2, -23]
2)
a) S[0, 2, -3]
c) S[3/10, -1/2, -1/2]
b) S[-1/2, 1/2, -5/6]
d) S[0, 2, 3/4]
3)
S[9/10, -1/2, -7/4]
4)
a) B[-10, 9]
c) B[-5, 6, -1]
5)
S1[-2, 3]
S2[1, -2]
b) B[0, -1]
d) B[6/5, 0, -9/5]
S3[4, 1]
Späť
Obsah
10.2.2. Vypočítať vzdialenosť dvoch bodov
1) a) 10
b) 1
c) 13/2
d) 39/10
2) X1[-8, 0]
X2[4, 0]
3) X[-4/5, 0, 0]
4) S = 5
Späť
10.2.3. Vysvetliť pojmy smerový uhol priamky, smerový a normálový vektor
priamky, normálový vektor roviny
1) Ani jeden z vektorov nie je smerovým vektorom priamky AB
2) a) smerový: p = 4/5 normálový: p = -7
b) smerový: p = 14/3 normálový: p = -3/14
3) a) k = -2
b) k = 2/3
 = 116 34
 = 33 41
4) a) n (1, 2, 3)
b) n (3, 1, -1)
c) n (1, 0, -3)
d) n (-2, -1, -2) e) n (-1, 9, 4)
Späť
10.2.4. Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie priamky danej dvoma bodmi
1) a) všeob. rovnica p: 4x - y – 5 = 0
b) všeob. rovnica p: 5x + 2y – 4 = 0
smernicový tvar p: y = 4x – 5
smernicový tvar p: y = -5/2x + 2
2) a) p: x = -1 + 4t, y = 2 – 4t, z = -5 + t, tR
b) p: x = 3, y = 5t, z = 2 – 5t, tR
c) p: x = 1 + 3t, y = -3t, z = 3t, tR
d) p: x = -7, y = -6 + 12t, z = 4 – 8t, tR
3) a) o: 8x – 2y – 13 = 0
c) o: x – 3y – 4 = 0
b) o: 2x – 1 = 0
d) o: 10x – 8y + 61 = 0
4) a) p: 3x – y – 2 = 0
c) p: x + 2y – 8 =0
b) p: 2x + y + 5 = 0
d) p: y – 7 = 0
5) a) k = 4
b) k = -1
Späť
10.2.5. Opísať súvis medzi smernicovým vyjadrením priamky a lineárnou funkciou
1) a) p: y = -x + 5
c) p: y = 5
b) p: y = -5/2x
d) p: y = 11/7x + 12/7
2) a) nie
c) áno
b) áno
d) nie
3) a) p: x = 5 – 4t, y = -2 + 8t, tR
c) S[3, 2]
b) c2 = 14
d) D[-7, 22]
Späť
10.2.6. Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie roviny danej tromi bodmi
1) a) : x = 1 + t – 3s, y = 3 – 8s, z = -1 + 4t – 6s, t,sR
b) : x = -1 + 2t + 3s, y = -1 + 2t + 3s, z = 2t + 3s, t,sR
c) : x = 2 – t – 2s, y = -3 + 3t + 5s, z = 5 – 9t + 2s, t,sR
d) : x = 1 + t – s, y = 1 + t – s, z = t, t,sR
2) : 5x + 2y + 11z – 15 = 0
3) a) neležia na jednej priamke  : 3x – y – z – 2 = 0
b) ležia na jednej priamke
c) neležia na jednej priamke  : 5y + z – 3 = 0
d) neležia na jednej priamke  : x + y – z = 0
Späť
10.2.7. Určiť súradnice bodu, ktorý leží (neleží) na danej úsečke, priamke, či
v danej rovine
1) a) y = 3
b) y = 5
c) y = 0
2) Body A, B ležia na priamke MN; bod C neleží na priamke
3) Body A, B, C, D neležia na danej priamke
4) yA = 8, yB = -7, xC = 6/5, xD = 7/5
5) a) priamka neprechádza začiatkom sústavy súradníc
b) priamka prechádza začiatkom sústavy súradníc
Späť
10.2.8. Zistiť vzájomnú polohu dvoch priamok a určiť ich prienik
1) a) priamky sú mimobežné
2) a) P[-1, -2]
b) priamky sú rôznobežné, P[0, 7, -11]
b) priesečník neexistuje
c) priesečník neexistuje
3) Priamka p pretína iba os y v bode [0, 4, 0]
4) ta: x = -2 + 9/2t
y = -1 + 3t
tb: x = 3 – 3s
y = 3/2s
tc: x = 2 – 3/2r
y = 4 – 9/2r ,
t, s, r0, 1
T[1, 1]
5) c = -11
Späť
10.2.9.Zistiť vzájomnú polohu priamky a roviny a určiť ich priesečník
1) a) priamka a rovina sú rovnobežné
b) priamka leží v rovine (b a  sú totožné)
2) a) P[6, 7, 11]
3) Px[-6, 0, 0] ,
4)
b) P[6, -1, -2]
Py[0, -2, 0] ,
Pz[0, 0, 3]
a) priamka a rovina sú totožné
b) priamka a rovina sú totožné
c) priamka a rovina sú rôznobežné
5) a) Px[3, 0, 0] , Py [0, -7, 0] , Pz [0, 0, 5]
b) Px [-2, 0, 0], Py [0, 6, 0], Pz [0, 0, 9]
Späť
10.2.10. Zistiť vzájomnú polohu dvoch rovín
1) p: x = -2 + 5t,
y = -5 + 9t,
z = t,
tR
2) a) roviny sú rovnobežné
b) p: x = 3t, y = -2 + 2t, z = t, tR
c) p: x = 3 + 5t, y = 2t, z = 1, tR
3) a) rovnobežné
4) m = 3,
b) totožné
n = 8/3
5) totožné
Späť
10.2.11. Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom
a s danou priamkou je rovnobežná
1) a) r: 3x – y – 10 = 0
c) r: x + 2y – 11 = 0
2) a) áno
3)
b) áno
a) p: x = 1 + t,
b) p: x = 1 + 3t,
4) x = 2 – 2t,
b) r: 2x – y – 4 = 0
d) r: 2x + 7y – 37 = 0
y = 5 – 4t, tR
y = 5 – 4t, tR
y = -1 + t,
5) a) y = 3x – 8
z = 3 + 3t, tR
b) y = -0,5x + 1
Späť
10.2.12. Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na
danú priamku je kolmá
1) a) x = 5 + 2t, y = 4 – 3t, tR
b) x = 4 + 5t,
2) a) p: x + 4 = 0
b) p: x + y – 6 = 0
3) a) va: 3x + 4y – 23 = 0,
b) va: 2x + y – 22 = 0,
vb: 7x + y – 12 = 0,
vb: 5x + 7y – 11 = 0,
y = -3 + 2t, tR
vc: 4x – 3y + 11 = 0
vc: x + 5y + 33 = 0
4) : x – 2y – 4z – 6 = 0
5) a) q: y = - 1/2x + 5
c) q: y = - 2/2x
b) q: y = 2/3x – 3
d) q: y = - 3/4x – 5/4
Späť
10.2.13. Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom
a s danou rovinou je rovnobežná
1) a) x = 2 + t,
b) x = 3 + t,
2) a) p: x = 2 + t,
b) p: x = 8 + t,
y = 2 + at,
y = 1 + at,
z = 1 + (2 – a)t,
tR
z = -12 – 5(a + 2)t, tR
y = 1 + t, z = 3 + 3t, tR
y = - 6 + t, z = -2t,
tR
3) neexistuje
Späť
10.2.14. Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na
danú rovinu je kolmá
1) P[1, 3, -2]
2) a) P[-4, 5, -4]
b) P[1/2, 1/2, 2]
c) P[2, -1, 2]
3) P[1, 3, -2]
4) : x – y + 2z – 11 = 0,
P[2, -1, 4]
Späť
10.2.15. Určiť analytické vyjadrenie roviny, ktorá prechádza daným bodom
a s danou rovinou je rovnobežná
1) Normálové vektory sú lineárne závislé, k = -2
2) a) 2x – y + z + 5 = 0
b) x – 7y + 3z – 105 = 0
c) 2x – y – z – 6 = 0
3) y – 2 = 0
4) D) 3x – 2y + z – 10 = 0
5) 2x – y + z + 5 = 0
Späť
10.2.16. Vypočítať vzdialenosť bodu od priamky (v rovine)
1) 8
2) Bta=Cta = 2 /2
3) 3
4) 5
Späť
10.2.17. Vypočítať odchýlku dvoch priamok
1) 30
2) a) 45
b) 51 13´
c)65 54´
3) q: x – y + 2 = 0
4) 45
Späť
10.2.18. Vypočítať odchýlku dvoch rovín
1) a) 80 24´
b) 90
c) 62 36´
2) 45
3) a) 66 38´
b) 64 21´
Späť
10.2.19. Vypočítať vzdialenosť bodu od roviny
1) a) 6
b) 2
c) 132 /5
2) 19/3
3) a) 2 / 2
4) P[1, 3, -2],
b) D´[4, -4, 0]
PA = 35
5) x + y + z + 3 = 0
Späť
10.2.20. Vypočítať odchýlku priamky od roviny
1) 0
2) 90
3)
a) 0
b) 0
c) 40 13´
d) 68 10´
Späť
5.Záver - prehľad použitých vzorcov
Parametrická rovnica priamky: X = A + tu; t R
Parametrická rovnica priamky: p (A, u) = { [a1 + t.u1; a2 + tu2] }
Všeobecná rovnica priamky: ax + by + c = 0
Smernicový tvar rovnice priamky: p: y = kx + q
Úsekový tvar rovnice priamky: x/p + y/q = 1
Normálový tvar rovnice priamky: x . cos α + y . sin α = n
Parametrické vyjadrenie roviny: X = A + tu + sv, t, s  R
Všeobecná rovnica roviny: ax + by + cz + d = 0
Polpriamka: AB: X= A + tu, t  <0,∞)
Polrovina: pC : X= C + tu + sv, t  R, s ≥ 0
Opačná polrovina:pC ´: X= C´ + tu + sv, t R, s ≤ 0
Polpriestor: ρD: X= D + tu + sv + rw, t,s R, r ≥ 0
Opačný polpriestor: ρD´: X= D´ + tu + sv + rw, t,s R, r ≤ 0
Obsah
u.v
Uhol dvoch priamok: cos α = ––––––|u| . |v|
nρ . n σ
Uhol dvoch rovín: cos α = ––––––––––
|nρ|.|nσ|
Uhol priamky a roviny:
u . nρ
cos β = –––––––
|u|.|nρ|
Vzdialenosť bodu od priamky
Vzdialenosť bodu od roviny
α = 90° - β
Iam1 + bm2 + cI
IMpI = ––––––––––––––
√ a2 + b2
I am1 + bm2 +cm3 + d I
IMpI = –––––––––––––––––––––––
√ a2 + b2 + + c2
Obsah