Transcript Matematika 3. ro*ník, septima

PERMUTACE S OPAKOVÁNÍM
Autor: Jana Buršová
DEFINICE

Permutace s opakováním jsou skupiny o n
prvcích vybíraných z n prvků, v nichž se mohou
prvky opakovat.
VÝPOČET POČTU
PERMUTACÍ S OPAKOVÁNÍM

P´(r, s, t) =
𝑟+𝑠+𝑡 !
,
𝑟!𝑠!.𝑡!
kde r, s, t, jsou počty jednotlivých druhů prvků
 𝑟 + 𝑠 + 𝑡 ! Je počet přeskupení všech prvků
 r!, s!, t! je počet přeskupení prvků v rámci
skupiny stejných prvků

PŘÍKLAD 1
Zjistěte počet přirozených trojciferných čísel,
která lze utvořit z cifer 4, 7, 9, jestliže se číslice
7 má v tomto čísle vyskytovat dvakrát.
 Řešení:


P´(2,1).2 =
3!
.2
2!.1!
=6
PŘÍKLAD 2
Kolik různých permutací lze vytvořit použitím
všech písmen slova
 a/ matematika
 b/ statistika
 Řešení:


a/

b/
10!
P´(2,3,2,1,1,1)=
= 151200
2!.3!.2!.1!.1!.1!
10!
P´(2,3,2,2,1) =
= 75600
2!.3!.2!.2!
PŘÍKLAD 3
Určete, kolika způsoby lze srovnat do řady 2
šedé, 2 modré a 2 černé kostky.
 Řešení:

6!
 P´(2,2,2)=
2!.2!.2!
= 90
PŘÍKLAD 4
Určete, kolika způsoby je možné srovnat do
řady 2 šedé, 3 modré a 4 černé kostky.
 Řešení:


P´(2,3,4) =
9!
2!.3!.4!
= 1260
PŘÍKLAD 5
Určete počet uspořádání těchto šesti prvků:
a,a,a,b,b,c.
 Řešení:


P´(3,2,1) =
6!
3!.2!.1!
= 60
PŘÍKLAD 6

Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova
Mississippi. Kolik z nich nezačíná písmenem M?

Řešení:

P´(1,4,4,2) =
11!
1!.4!.2!.2!
= 34650
10!
4!.4!.2!
34650 – P´(4,4,2) = 34650 = 34650 −
3150 = 31500
 P´(4,4,2) určuje, kolika způsoby lze při M na
prvním místě přeskupit ostatní písmena

PŘÍKLAD 7
Určete počet všech pěticiferných přirozených
čísel, jež lze sestavit z číslic 5 a 7, má-li v
každém z nich být číslice 5
 a/ právě třikrát
 b/ nejvýše třikrát
 c/ aspoň třikrát

PŘÍKLAD 7 - ŘEŠENÍ

a/ P´(3,2) =
5!
3!.2!
= 10
b/ 5 nejvýše třikrát:
 Vůbec + 1x + 2x + 3x =
 P´(5) + P´(1,4) + P´(2,3) + P´(3,2) =
1
+5
+ 10
+ 10 = 26
 c/ 5 aspoň třikrát
 3x + 4x + 5x = P´(3,2) + P´(4,1) + P´(5) =

10 + 5
+ 1 = 16

PŘÍKLAD 8

Určete počet všech deseticiferných přirozených
čísel, jejichž ciferný součet je roven třem. Kolik
z nich je sudých?
PŘÍKLAD 8 - ŘEŠENÍ
Mohou to být čísla tvořená číslicemi:
 1 na 1. místě + 2x1 + 7x0
P´(2,7) 36
 1 na 1 místě + 1x2 + 8x0
P´(1,8) 9
 2 na 1. místě + 1x1 + 8x0
P´(1,8) 9
 3 na 1 místě + 9x0
1
 Celkem: 55
 Sudá čísla: P´(2,6)+P´(1,8)+P´(1,7)+1=
 28 + 9+ 8+1 = 46

PŘÍKLAD 9
Ze sedmi kuliček, z nichž čtyři jsou modré, jedna
bílá, jedna červená a jedna zelená, máme vybrat a
položit do řady pět kuliček. Kolika způsoby to lze
provést?
 Řešení:
 4M+1(B nebo Č nebo Z) 3.P´(4,1) = 3.5=15
 3M+dvojice(BČ, BZ, ČZ)
3.P´(3,1,1)=3.20=60
 2M + trojice (B,Č,Z)
P´(2,1,1,1)=60
 Celkem: 135

PŘÍKLAD 10

Určete počet všech čtyřciferných čísel
dělitelných devíti, která můžeme napsat užitím
číslic 0, 1, 2, 5, 7. Přitom se mohou číslice
v čísle opakovat.
PŘÍKLAD 10 - ŘEŠENÍ









Aby bylo číslo dělitelné 9, musí být jeho ciferný
součet dělitelný 9, tzn. v našem př. jde o ciferný součet 9
nebo 18.
Z daných cifer tento součet tvoří tyto čtveřice:
1152
P´(2,1,1) = 12
2250 (na začátku 2 nebo 5): P´(1,1,1)+P´(2,1) = 6+3=9
2700 (na začátku 2 nebo 7): 2.P´(1,2) = 6
1170 (na začátku 1 nebo 7): P´(1,1,1) + P´(2,1) = 6+3 =
9
7722: P´(2,2) = 6
5517: P´(2,1,1) = 12
Celkem: 54