Transcript Pravděpodobnost a genetická prognóza

Pravděpodobnost a genetická
prognóza
Ing. Luboš Vostrý
Katedra genetiky a šlechtění
Pravděpodobnost
• Se užívá k zjištění, zda se nějaký jev
stane
• Příklad: „Je pravděpodobné, že zítra bude
pršet.“
• Jestliže můžeme spočítat, nebo můžeme
udělat závěr o početu příznivých jevů ->
můžeme vyjádřit pravděpodobnost.
• Je důležitá k zjištění závěrů o populaci
jedinců.
Pojetí pravděpodobnosti
• Klasické pojetí (předcházející)
• Statistické (následující)
Klasické pojetí
pravděpodobnosti
• Vychází z logické úvahy na základě
předchozích zkušeností.
– Příklad: Naše zkušenosti nám říkají:
• Jestliže je zamračeno, můžeme očekávat s
vysokou pravděpodobností, že bude pršet.
• Jestliže má zvíře určité specifické příznaky, je
vysoká pravděpodobnost, že má, nebo bude mít
specifické onemocnění.
Statistické pojetí pravděpodobnosti
• Chápe pravděpodobnost náhodného jevu
jako výsledek získaný z dostatečně
velkého počtu opakování.
• Zpravidla několik sérií
• Příklad:
Předpokládáme, že změna v krmné dávce
krmné dávce může vést k zvýšení mléčné
užitkovosti u krav. Ale pouze po
experimentu můžeme usuzovat, zda je
možné dané pravděpodobnosti zjistit i u
ostatních jedinců.
Obecně
• Každý proces sběru dat je experiment.
Matematické vyjádření
pravděpodobnosti
P( A) 
•
•
•
•
m( A)
n

M ( A)
N
m, n … Relativní četnost
M, N … Absolutní četnost
m,M … Počet případů příznivých
n, N … Počet všech případů
Pravidla pravděpodobnosti
• Pravděpodobnost
jednotlivých jevů musí
vyskytovat v intervalu
mezi 0 až 1 včetně.
• Suma pravděpodobnosti
všech možných jevů je
rovna 1.
0  P( Ei )  1
i P( Ei )  1
Příklad:
• Předpokládejme pokus zahrnující
vrhy kostkou. Možný výsledek je 1,
2, 3, 4, 5 a 6. Každý z těchto
možných výsledků je náhodný jev.
Pravděpodobnost každého možného
jevu je 1/6 tj. P(E1)=P(E2)=P(E3)=
P(E4)=P(E5)=P(E6).
Pozorování
Jev (Ei)
P(Ei)
1
E1
P(E1)=1/6
2
E2
P(E2)=1/6
3
E3
P(E3)=1/6
4
E4
P(E4)=1/6
5
E5
P(E5)=1/6
6
E6
P(E6)=1/6
ΣiP(Ei)=1
Obecně
• Nějaký jev A je soubor jevů – obsahuje jeden
nebo více jevů. Pravděpodobnost jevu A je
rovna pravděpodobnosti sumě jednotlivých
náhodných jevů v jevu A-> P(A)
Příklad: Náhodný jev je definován jako výskyt
hodnoty mešní než hodnota 3 při hodnu
kostkou. Jednotlivé jevy jsou 1 a 2 a každá
má pravděpodobnost výskytu 1/6.
Pravděpodobnost výskytu náhodného jevu A
je 1/3
• Náhodný jev… takový jev, který může
nebo nemusí nastat v závislosti na
náhodných veličinách
• Teorie pravděpodobnosti pracuje s tzv.
hromadnými náhodnými jevy
– za relativně stálých podmínek se vyznačují
stabilitou svého výskytu
Rozdělení jevů
• Jev náhodný – A, B, C
• Jev opačný -
A, B, C
Kombinace náhodných jevů
A B
A B
- Sjednocení jednotlivých jevů
…“buď a nebo“
- „Průnik“ současná přítomnost
jevu A i B
Příklad :
• Hody kostkou: jev A – výsledky hodu sudé,
jev B – výsledky větší než 3.
• Jevy A: {2, 4, 6}
• Jevy B: {4, 5, 6}
• Průnik jevů A a B: jsou jevy které jsou sudé a
zároveň větší než 3.
(A∩B) = {4, 6}
Pravděpodobnost:
P(A∩B)=P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6
• Sjednocení jevů A a B: jevy které jsou sudé,
nebo jsou větší než 3.
(AUB) = {2, 4, 5, 6}
Pravděpodobnost
P(AUB) = P(2) + P(4) + P(5) + P(6) = 4/6
Podmíněná pravděpodobnost
• Závislé – jaká je pravděpodobnost jevu A za
předpokladu realizace jevu B -> Jev A se
vyskytne pouze za předpokladu výskytu jevu B
P( A  B)
P( A | B) 
P( B)
Jevy nezávislé
• Jestliže jsou jevy na sobě nezávislé pak:
P(A|B)= P(A)
a
P(B|A) = P(A)
Pravděpodobnost jednotlivých
náhodných jevů
• Jevy náhodné
• Pravděpodobnost při binomickém rodělení
četností
Jevy náhodné
• Náhodné jevy neslučitelné „buď a nebo“
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )
• Náhodné jevy slučitelné
P( A  B)  P( A  B)  P( A  B)
Náhodný jev neslučitelný
P : Aa  Aa
• Příklad: Jaká bude
F1 : DD  1  A
pravděpodobnost
výskytu jedince AA,
Dd  2  B
pokud budu křížit dva
dd  1  C
jedince Aa × Aa?
P( A  B  C  ) 
 P( A)  P( B)  P(C ) 
A
1
P( A) 

A  B  C 1 2 1
P( A)  0,25
Náhodný slučitelný (Př. 1)
Příklad 1:Jev A – bude pršet v sobotu P(A) = 0,5
Jev B – bude pršet v neděli P(B) = 0,5
Jaká je pravděpodobnost že bude pršet v sobotu
a v neděli?
Jaká je pravděpodobnost že bude pršet o
víkendu (alespoň jeden den)?
V sobotu a v neděli:
P(A∩B) = P(A) x P(B) = 0,5 x 0,5 = 0,25
Během víkendu:
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,5 + 0,5
– 0,25 = 0,75
Během víkendu:
Pravděpodobnost že nebude pršet v sobotu
P(A´)=1-P(A) = 1 - 0,5 = 0,5
Pravděpodobnost že nebude pršet v neděli
P(B´) = 1 – P(B) = 1 – 0,5 = 0,5
Pravděpodobnost že o víkendu nebude pršet
P(A´∩B´) = P(A´) x P(B´) = 0,5 x 0,5 = 0,25
Pravděpodobnost že bude o víkendu pršet
(alespoň jeden den) = 1 - P(A´∩B´) = 1 – 0,25
Náhodný slučitelný (Př. 2)
•
Příklad: Chovatel provedl zpětné křížení
(Cc × cc) a očekává narození 3 potomků,
jaká je pravděpodobnost že:
•
Alespoň jeden z nich bude cc
0,5
 0,5
a) B1 
1
b) B2  P( B1  B2 )  P( B1  B2 )  P( B1  B2 ) 
P( B1  B2 )  (0,5  0,5)  (0,5  0,5)  0,75
c) B3  P( B1, 2  B3 )  P( B1, 2  B3 )  P( B1, 2  B3 ) 
P( B1, 2  B3 )  P(0,75  0,5)  P(0,75 0,5)  0,875
Pravděpodobnost že se z jednoho paření narodí
jedinec cc – P(A) = 0,5
Pravděpodobnost že se z jednoho páření nenarodí
jedinec cc – P(A´) = 1- P(A) = 0,5
Pravděpodobnost, že se chovateli nenarodí ze tří
páření jedinec cc – P(B´) = P(A´) x P(A´) x P(A´)
= 0,125
Pravděpodobnost že se chovateli narodí alespoň
jeden jedinec cc – 1 – P(B´) = 0,875
Podmíněná pravděpodobnost
• Závislé – jaká je pravděpodobnost jevu A za
předpokladu realizace jevu B -> Jev A se
vyskytne pouze za předpokladu výskytu jevu B
P( A  B)
P( A | B) 
P( B)
Příklad
• Mezi 150 odchovanými telaty je 90 býčků
a současně je v daném stádě 18 jedinců
heterozygotních (Cc).
• Jaká je pravděpodobnost že vybraný
býček je heterozygot?
18
P ( A) 
 0,12
150
90
P( B) 
 0,6
150
P( A  B ) 0,12  0,6
P( A / B) 

 0,12
P( B)
0,6
• Příklad 2:
Z balíčku 52 karet vybereme náhodně dvě
karty. Jaká je pravděpodobnost, že obě
karty budou esa?
V balíčku 52 karet jsou 4 esa.
• První tah je jev A a druhý tah je jev B.
• V balíčku jsou 4 esa
• Pravděpodobnost že obě vytažené karty
budou esa –> P(A∩B)
• Jedná se o jevy závislé –> Vytažení druhé
karty závisí na faktu, která karta byla
vytažená jako první
P( A  B)
P( A | B) 
P( B)
P( A  B)  P( A | B)  P( B)
P(A=Eso) = 4/52 = 1/13
P(B=Eso|A=Eso) = 3/51
- Jestliže první karta byla eso, v balíčku zůstalo
51 karet a 3 esa
P(A∩B) = P(A) x P(B|A) = 1/13 x 3/51 = 1/221
Pravděpodobnost, že vytáhnome 2 esa je 1/221
Náhodné jevy podmíněné
• Nezávislé -
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )
Příklad
• Očekáváme narození
3 potomků jaká je
pravděpodobnost je
všichni budou Cc
P : Cc  cc
F1 : Cc, cc
F1 : 1 : 1
P( A1  A2  A3 )  0,5  0,5  0,5  0,53  0,125
Pravděpodobnost při binomickém
rozdělení četností
• a)
• Frekvence jednotlivých tříd
rozvinutý binom
• Pravděpodobnost všech možných jevů
Příklad
• Porody dvojčat:
• Pravděpodobnost že daný porod bude
mnohočetný (dvojčata) : q = 0,01
• Pravděpodobnost že daný porod bude
jedináček: p = 0,99
• Vypočítejte pravděpodobnost všech
možných variant?
p 3  3 p 2 q  3 pq2  q 3
0,970299 0,029403 0,000297 0,000001 1
• p = pravděpodobnost, že nastane první
alternativa (jedináčci)
• q= pravděpodobnost že nastane druha
alternativa (dvojčata)
Pravděpodobnost při binomickém
rozdělení četností
• b) Pravděpodobnost jednoho konkrétního jevu
n!
s
t
z
p
 P ( A)  P ( B)  P (C ) 
s!t! z!
Příklad
•
•
Z křížení dvou heterozygotů očekáváme
6 potomků.
Zjistěte jaká bude pravděpodobnost
výskytu 3 DD, 3 Dd a 1 dd jedince
a) Bez ohledu na pořadí
b) V tomto pořadí
Bez ohledu na pořadí
n!
p
 P s ( A)  P t ( B )  P z (C )
s!t! z!
6  5  4  3  2 1
p
 0,253  0,52  0,251
3  2 1  2 1 1
p  60  0,015625 0,25 0,25
p  0,05859 5,859%
V tomto pořadí
• Pravděpodobnost narození ve výše
uvedeném pořadí, tzn. 3DD, 2Dd, dd;
• Jedná se o náhodný jev podmíněný
nezávislý
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )
p  0,25 0,25 0,25 0,5  0,5  0,25  0,000976
A
p  0,0976%
B
C