Transcript Trigonometrija - domacizadaci.com

Merenje ugla,
Trigonometrijska kružnica
Meni






Lekcija
Istorija Trigonometrije
Slike
Kviz
Zadaci za samostalan rad
Linkovi
Zdravo ja sam
virtuelni profesor.
Pomoći ću vam da
Savladate gradivo iz
trigonometrije.
Paratite moja
uputstva.
Lekcija



3.1 Ugao
3.2 Trigonometrijske funkcije proizvoljnog
ugla
Trigonometrijski indetiteti
3.1.1.Merenje ugla, radijan

Do sada smo kao mernu jedinicu za merenje ugla koristili
isključivo stepen(1° = 1/360 pun ugao). Stepenom se mogu
meriti ne samo uglovi, veći kružni lukovi. Uoči se centralni
ugao koji odgovaradatom kružnom luku i njegova mera
izržena u stepenima proistovećuje se s merom kružnog luka,
susrećemo se sa teškoćama. Jednom istom centralnom uglu
odgovara neograničeno mnogo kružnih lukova koji su različite
dužine, a svi imaju istu meru u stepenima(slika 1). Tada smo u
dilemi dućinu kojeg kružnog luka da uzmemo za meru
zajednićkog centralnog ugla α. Zbog toga se opreeljujemo za
luk A0 B0 čiji je poluprečnik jednak 1.

Jedinica mere u ovom slučaju je luk čija je dužina jednaka 1,
tj.jednakapoluprečniku.Taj kružni luk zove se radijan

Ugao koji odgovara luku od jednog radijana ima isti naziv – radijan. Radijan
koristimo i kao jedinicu za merenje uglova. Ugao ima onoliko radijana koliko ih
ima odgovarajući kružni luk poluprečnika 1 radijana.
Utvrdimo sada vezu između jedinica za merenje uglova, stepena i radijana. Luk
polurečnika 1 koji odgovara ravnom uglu (uglu od 180°) ima dužinu π·1=π.
Prema tome njegova radijanska era je π. Znači, 180°=π radijana, odakle sledi
1 radijan = 180°/ π ≈ 57.29578° ≈ 57° 17´ 44.8˝
1° = π/180 radijana ≈ 0.01745 radijana.
Na slici 2 je predstavljen ugao od 57°, tj. približno 1 radijan.













Ukoliko je mera ugla data u radijanima, uobičajno je da se pored
mernog broja ne stavlja nikakva oznaka za jedinicu, na primer :
180° = π, 90° = π/2 itd.
30° ; b) 50° ; c) 72° 35´ ; d) 100° 11´ 15˝
Rešenja
30° = 30 · π/180 = π/6 ≈0.52
b)50° = 50 · π/180 = 5π/18 ≈ 0.9
v) Uzimajući u obzir da je 1´ = 1/60 · 1°, dobijamo
72° 35´ = 72 · π/180 + 35 · 1/60 · π/180 ≈ 1.2
d) Kako je 1˝ = 1/3600 · 1°,to je
100° 11´ 15˝ = 100 · π/180 + 11· 1/60 · π /180 + 15 · 1/3600 ·
π/180 ≈ 1.7
Istorija Trigonometrije













Trigonometrija
Iz Vikipedije, slobodna enciklopedije
Trigonometrija(лат. trigonon - троугао, metron - мера) je deo matematike
Koji izučava zavisnost između strana i uglova trougla (trigonometrija u užem
smislu),
A takođe i osobine trigonometrijskih funkcija i vezu među njima ( goniometrija
).
Podela :
-Ravinska trigonometrija, trigonometrija u užem smislu; proučava
-Trigonometrijske funkcije posebno : sinus, kosinus, tangens, kotanges,
sakens i kosekans;
-Inverzne trigonometrijske funkcije, tzv. Ciklometrijske, ili arkus-funkcije:
-Sferna trigonometrija, na površini sfere;
-Hiperbolična trigonometrija, trigonometrija Lobačevskog;
-Hiperbolične funkcije : sinus hiperbolički, kosinus hiperbolički, tangens
hiperbolički, kotanges hiperbolički, sekans hiperbolički i kosakens
hiperbolički.
-Inverzne hiperboličke funkcije, tzv. area-funkcije.







Poreklo
Prvi koreni trigonometrije su nađeni u zapisima iz Egipta i Mesopotamije.
Tamo je nađena vavilonska kamena ploča ( oko 1900-1600. p.n.e.) koja sadrži
Problema se relacijam koje odgovaraju savremenim. Egipatski papirus Rind
(oko 1650. p.n.e.) sadrži probleme sa odnosima stranica trougla primenjenim na
Piramide. Niti Egipćani, niti Vavilonci nisu imali naše shvatanje mere ugla, a
relacijatog tipa su imali osobinama trouglova, pre nego samih uglova.
Važan napredak napravljen je u Grčkoj u vreme Hipokrata iz Knososa
(Elementi, oko430. p.n.e.), koji je proučavao odnose između centralnih uglova
kružnice i tetiva. Hiparhje 140. p.n.e. napravio tablicu tetiva (prvu preteču
savremenih sinusnih tablica).
Manelaj iz Aleksaendrij (Sferna geometrija. 100 nove ere)je prvi koristio
sferne trouglove i sfernu Trigonometriju. Ptolemej (Almagest, oko 100. n.e.)
je napravio tablicu tetiva uglova između 0.5° i 180° sa intervalom od pola
stepena. On je takođe istraživao trigonometrijske indetitete.







Grčku trigonometriju su dalje razvijali Hindu matematičari koji su
Ostvarili napredak razmeštanjem tetiva pruzetih od Grka na polu
teive kruga sa datim radijusom, tj. ekvivalentnom našoj sinusnoj
funkciji. Prvie takve tablice bile su Sidhantacu (sistem za astronomiju) u IV i V
veku ove ere. Poput brojeva, moderna trigonometrija nam dolazi od Hindu
matematičarapreko Araskih matematičara. Prevodi sa arapskog na latinski jezik
tokom XII veka uvel su trigonometriju u Evropi, Osoba odgovrna za „modernu“
trigonometrijubio jerenesansni matematičar Regiomontanus. Od doba Hiparha,
trigonometrija je bilajednostavno alat za astronomska izračunavanja.
Regionontanus (De triangulis omni modis, 1464; publikovano 1533.)bio je prvi
koji trigonometriju tretirao kao subjekt po sebi.Dalji napredak su napravili
Nikola Kopernik u De revolutionibus orbium coelestium (1543.)I njegov učenik
Retikus. U Opus palatinum de trianulis (комплетирао његов ученик 1596.),
Retikus je ustanovio upotrbu šest osnovnih trigonometrijskih funkcija,
Praveći tablice njihovih vrednosti i dežeći se idejeda te funkcije predstavljaju
Odnose stranica u pravouglom trouglu (rađe nego tradicionalne polutetive
krugova).
Slike
Kviz




1)Koliko iznosi ugao od 1 radijana?
a) 54° 35´
Odgovor na ovo
b) 57° 17´ 44.8˝
pitanje se nalazi u delu
prezentacijei ”
c) 60° 28´ 36.8˝
Merenje ugla,
radijan”
Odgovor je netačan !
Nažalost odgovor je
netačan.
Idi nazad.
Odgovor je tačan !
Odgovor je TAČAN !
Svaka čast, savladali ste
lekciju “Merenje ugla,
radijan”
Nastavi dalje.




2)Koje dve antičke civilizacije su prve koristile
trigonometriju?
Odgovor na ovo
a)Egipat i Mesopotamci
pitanje se nalazi u delu
prezentacije ”Istorija
b)Kinezi i Indijci
trigonometrije”
c)Rimljani i Gali
Odgovor je tačan !
odgovor je TAČAN !
Svaka čast savladali ste
lekciju “Istorija
trigonometrije”
Nastavi dalje.
Odgovor je netačan !
Nažalost odgovor je
netačan.
Idi nazad.
Zadaci za samostalan rad











Zadaci
1.Izrazi u radijanima uglove :
15° ; b) 45° ; c) 60° ; d) 90° ; e)120° ; f) 135° , g) 150° ; h) 20°
25´ : i) 52°13´27˝
2. Izrazi u stepenima uglove :
π/18 ; b) π/12 ; c) π/4 ; d) 7π/12 ; e)3 ; f) 2.31
3.Izrazi u stepenima ugao koji je naporedan uglu α ako je :
a)α = 5π/6 ; b) α = 11 π/12 ; c) 5 π/18 ; d) 0.3 π
4.Izrazi u radijanima :
a)uglovi jednakokrako-pravouglog trougla ;
b)ugao pravilnog prtougla ;
c)ugao pravilnog destougla.
Da biste bolje naučili
trigonometriju, uradite
ove zadatke za
samostalan rad.
Trigonometrijski forum


Marko Savić
Mnogo mi se dopao vasa
prezentacija o trigonometriji, uz ove zanimljive
informacije i lepo objašnjene lekcije, savladao
sam trigonometriju.



Prezentaciju radio:
-Miladinović Nikola
Profesor matematike : Spasojević Nela
Čestitamo

Savladali ste oblast “Merenje ugla,
Trigonometrijska kružnica”
Čestitam !
Trigonometrijski identiteti




sin²α+cos²α=1
tg α = sinα /cosα
ctg α= cosα/ sinα
tgα · ctgα =1







Sinα
sinα = 3/5
sin²α+cos²α=1
(3/5)²+ cos²α=1
9/25+ cos²α=1
cosα = ±√9/25
cosα = -4/5
Linkovi

http://sr.wikipedia.org/sr/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B
E%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%
D1%98%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/sr/%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80
%D0%B8%D1%98%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D
0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5