Transcript ppt

Realne funkcije više varijabli
Oznake
Neka je D neprazan podskup trodimenzionalnog realnog prostora R3.
Funkcija f koja pridružuje realan broj f (x, y, z) svakoj točki (x, y, z) iz
D naziva se realna funkcija tri varijable.
Skup D se naziva domena od f, a skup vrijednosti f (x, y, z) naziva se
slika od f.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kratki katalog ploha drugog reda
Krivulje u xy-ravnini definirane jednadžbama drugog stupnja u x i y su konike
(čunjosječnice): kružnica, elipsa, parabola, hiperbola. Plohe u trodimenzionalnom
prostoru definirane jednadžbama drugog stupnja u x, y, z
(∗)
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Hx + I y + Jz + K = 0,
zovu se kvadrike (plohe drugog reda). Jednadžba (∗) sadrži članove s xy, xz,
yz. Ovi članovi mogu se eliminirati prikladnom zamjenom varijabli. Zato su
kvadrike kod nas definirane jednadžbom
Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + Fz + H = 0
gdje nisu svi A, B,C nula. (Ako su svi A, B,C nula, nemamo jednadžbu
drugog stupnja.)
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kratki katalog ploha drugog reda
Kvadrike možemo promatrati kao trodimenzionalne analogone konika. One
spadaju u devet različitih klasa.
1. Elipsoid.
2. Jednoplošni hiperboloid.
3. Dvoplošni hiperboloid.
4. Eliptički konus (stožac).
5. Eliptički paraboloid.
6. Hiperbolički paraboloid.
7. Parabolički cilindar.
8. Eliptički cilindar.
9. Hiperbolički cilindar.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kratki katalog ploha drugog reda
Elipsoid
x2 y2 z 2
 2  2 1
2
a
b
c
Elipsoid ima središte u ishodištu i simetričan je s obzirom na sve tri koordinatne osi.
Siječe koordinatne osi u šest točaka: (±a, 0, 0), (0,±b, 0), (0, 0,±c) koje zovemo
tjemenima. Ova ploha je omeđena jer je sadržana u kugli
x2 + y2 + z2 ≤ a2 + b2 + c2.
Sva tri traga su elipse, npr. trag u xy-ravnini (skup z = 0) je elipsa
x2 y2
 2 1
2
a
b
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kratki katalog ploha drugog reda
Jednoplošni hiperboloid
2
2
2
x
y
z
 2  2 1
2
a
b
c
Ova ploha je neograničena, ima središte u ishodištu i simetrična je s obzirom na
koordinatne ravnine. Siječe koordinatne osi u četiri točke: (±a, 0, 0), (0,±b, 0).
Trag u xy-ravnini (skup z = 0) je elipsa
x2 y2
 2 1
2
a
b
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kratki katalog ploha drugog reda
Dvoplošni hiperboloid
x2 y 2 z 2
 2  2  1
2
a
b
c
Ploha siječe koordinatne osi samo u dva vrha (0, 0,±c). Sastoji
se od dva dijela: jedan za koji je z ≥ c, drugi za koji je z ≤ −c.
To možemo vidjeti napisavši jednadžbu u drugom obliku
x2 y 2 z 2
 2  2 1
2
a
b
c
Mora biti
z2
 1  0,
c2
z 2  c2 ,
z c
Svaki od ovih dvaju dijelova je neograničen.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kratki katalog ploha drugog reda
Eliptički stožac
Ploha siječe koordinatne osi samo u ishodištu. Ploha je
neograničena. Simetrična je s obzirom na sve tri
koordinatne ravnine.
Trag u xz-ravnini je par pravaca: z = ±x/a.
Trag u yz-ravnini je također par pravaca: z = ±y/b.
Trag u xy-ravnini je samo ishodište.
Presjek s ravninom paralelnom xy-osi je elipsa.
Ako je a = b, ovi presjeci su kružnice i imamo
rotacionu plohu koja se najčešće naziva dvostrani
kružni stožac ili samo stožac.
x2 y2
2
 2 z
2
a
b
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kratki katalog ploha drugog reda
Eliptički paraboloid
Ova ploha nema točaka ispod xy-ravnine, a odozgo je
neograničena. Ishodište se naziva tjeme. Presjeci plohe
s ravninama paralelnim xy-ravnini su elipse, presjeci
plohe s ravninama paralelnim drugim dvjema
koordinatnim ravninama su parabole. Zato se ploha i
zove “eliptički paraboloid”.
Ploha je simetrična s obzirom na xz-ravninu i yzravninu. Također je simetrična s obzirom na z-os. Ako
je a = b, onda je ploha rotacioni paraboloid.
2
2
x
y
 2 z
2
a
b
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kratki katalog ploha drugog reda
Hiperbolički paraboloid
Ovdje imamo simetriju s obzirom na xz-ravninu i yz-ravninu. Presjeci s
ravninama paralelnim xy-ravnini su hiperbole, presjeci s ravninama paralelnim
drugim koordinatnim ravninama su parabole. Stoga i naziv “hiperbolički
paraboloid”.
Ishodište je minimum za trag u xz-ravnini, ali maksimum za trag u yz-ravnini.
Ishodište se zove sedlasta točka ove plohe.
2
2
x
y
 2 z
2
a
b
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kratki katalog ploha drugog reda
Neka je C proizvoljna krivulja u ravnini. Svi pravci koji sijeku C i okomiti su na
ravninu u kojoj C leži čine plohu. Takva ploha naziva se cilindar
a okomiti pravci zovu se izvodnice tog cilindra.
Parabolički cilindar
x2 = 4cy
Ova ploha sastoji se od svih pravaca koji prolaze
točkama parabole x2 = 4cy (parabola leži u xyravnini) i okomiti su na xy-ravninu.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kratki katalog ploha drugog reda
Eliptički cilindar
2
2
x
y
 2 1
2
a
b
Ploha se sastoji od svih pravaca koji prolaze točkama
elipse
2
2
x
y

1
2
2
a
b
(elipsa leži u xy-ravnini) i okomiti su na xyravninu.
Ako je a = b, imamo uobičajeni uspravni kružni
cilindar.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Kratki katalog ploha drugog reda
Hiperbolički cilindar
x2 y2
 2 1
2
a
b
Ploha ima dva dijela, svaki od njih generiran
jednom granom hiperbole (u xy-ravnini)
x2 y2
 2 1
2
a
b
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Plohe
Projekcije
Neka su S1 : z = f (x, y) i S2 : z = g(x, y)
dvije plohe u trodimenzionalnom prostoru
koje se sijeku u prostornoj krivulji C.
Krivulja C je skup svih točaka (x, y, z)
za koje je
z = f (x, y) i z = g(x, y).
Skup svih točaka (x, y, z) takvih da je
f (x, y) = g(x, y)
(Ovdje je z neograničen.)
je vertikalni cilindar koji prolazi kroz C.
Skup svih točaka (x, y, 0) takvih da je
f (x, y) = g(x, y)
(Ovdje je z = 0.)
zove se projekcija od C na xy-ravninu. Na slici gore to je
krivulja u xy-ravnini koja leži upravo ispod C.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Nivo krivulje
Nivo krivulje
Neka je f nekonstantna funkcija definirana na nekom području u xy-ravnini.
Ako je c broj u slici funkcije f, onda možemo odrediti krivulju f (x, y) = c.
Takva krivulja zove se nivo krivulja od f.
Dobiva se kao projekcija presjeka grafa funkcije f (skupa točaka oblika
(x,y,f(x,y)), gdje (x,y) ide po domeni funkcije f ) i horizontalne ravnine z = c
na xy-ravninu.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Nivo krivulje
Na ovim i idućim slikama ucrtane su nivo krivulje za više različitih realnih brojeva c.
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Nivo krivulje
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Nivo krivulje
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Nivo krivulje
Applet za bolje upoznavanje nivo krivulja.
Na webu, adresa:
http://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/salas/0471698040/calc_applets/
figure15_3_6/contours.htm
Trebate imati instaliranu i omogućenu upotrebu Jave u vašem pregledniku
Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables
Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.